高中数学圆锥曲线之抛物线的常见题型Word文档下载推荐.docx
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【2014成都三诊】已知过抛物线的焦点的直线与抛物线相交于两点,若线段的中点的横坐标为3,则线段的长度为
(A)6 (B)8 (C)10 (D)12
答案:
B
根据抛物线定义来求解,设点的横坐标是,点的横坐标是,则
随堂练习
1、过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点,若,,则
,则
2、在直角坐标系中,直线过抛物线的焦点,且与该抛物线相交于两点,其中点在轴上方,若直线的倾斜角为,则的面积为_________.
联立和可解得
二、抛物线标准方程
【2013全国II】设抛物线C:
y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5,若以MF为直径的圆过点(0,2),则C的方程为( ).
A.y2=4x或y2=8xB.y2=2x或y2=8x
C.y2=4x或y2=16xD.y2=2x或y2=16x
C
设点M的坐标为(x0,y0),由抛物线的定义,得|MF|=x0+=5,则x0=5-.
又点F的坐标为,所以以MF为直径的圆的方程为(x-x0)+(y-y0)y=0.
将x=0,y=2代入得px0+8-4y0=0,即-4y0+8=0,所以y0=4.
由=2px0,得,解之得p=2,或p=8.
所以C的方程为y2=4x或y2=16x.故选C.
三、抛物线的几何性质
【2014全国I】设F为抛物线C:
的焦点,过F且倾斜角为30°
的直线交C于A,B两点,O为坐标原点,则的面积为()
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】
【2015成都三诊】如图,一隧道截面由一个长方形和抛物线构成.现欲在隧道抛物线拱顶上安装信息采集装置.若位置对隧道底的张角最大时,采集效果最好,则采集效果最好的为止到的距离是
(A) (B)
(C) (D)
A
建立如图所示直角坐标系,并过点作的垂线,垂足为,易知抛物线的方程为,设,则,
故当且仅当时,取最大值,故选.
随堂练习:
如图,正方形和正方形的边长分别为,原点为的中点,抛物线经过两点,则
,,代入可求得
四、抛物线综合问题
【2015三诊】如图,在平面直角坐标系中,和分别是椭圆和椭圆上的动点,已知的焦距为2,点在直线上,且,又当动点在上的射影为焦点时,点恰在双曲线的渐近线上.
(I)求椭圆的标准方程
(II)若与共焦点,且的长轴与的短轴长度相等,求的取值范围
(III)若是常数,且,证明为定值.
(I)双曲线的渐近线方程为,
由题意知椭圆的半焦距,则
又点的坐标为,且在渐近线上,故
解之得
椭圆的标准方程为
(II)与共焦点,且的长轴与的短轴长度相等
则,,即的方程为
①当直线的斜率存在且不为零时,设为,则直线的解析式为,
直线的解析式为分别联立所在的椭圆解析式可得:
又,当且仅当时取等号.
②当直线的斜率为零或者不存在时,有
综上,的取值范围是
(III)当直线的斜率存在且不为零时,设为
所以
由(II)可得
,当是常数时,为定值
易知当直线的斜率不存在或者为零时,上述结论也成立.
【2015全国I】在直角坐标系中,曲线直线交与两点
(Ⅰ)当时,分别求在点和处的切线方程;
(Ⅱ)轴上是否存在点,使得当变动时,总有?
说明理由。
(Ⅰ)当时,直线,故两点的坐标分别为或者
又,所以曲线在点的切线方程为
在点的切线方程为
(Ⅱ)存在符合题意的点,证明如下
设为符合题意的点,,直线的斜率分别为
则联立方程组可得
从而
当,即时,有
所以点符合题意.