高三数学暑假衔接第四讲Word格式.doc

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（3）当α＞0时，幂函数的图象都过点（1,1）和（0,0），且在（0，＋∞）上单调递增；

（4）当α＜0时，幂函数的图象都过点（1,1），且在（0，＋∞）上单调递减．

例1．幂函数y＝f（x）的图象过点（4,2），则幂函数y＝f（x）的图象是（　　）

例2．已知幂函数f（x）＝（n2＋2n－2）xn2－3n（n∈Z）的图象关于y轴对称，且在（0，＋∞）上是减函数，则n的值为（　　）

A．－3　　　　B．1C．2D．1或2

例3．（安徽安庆三模）若（a＋1）－<

（3－2a）－，则实数a的取值范围是________________．

二次函数解析式的三种表示方法

（1）一般式：

y＝ax2＋bx＋c（a≠0）；

（2）顶点式：

y＝a（x－h）2＋k（a≠0），其中（h，k）为抛物线顶点坐标；

（3）零点式：

y＝a（x－x1）（x－x2）（a≠0），其中x1，x2是抛物线与x轴交点的横坐标．

例1已知二次函数f（x）满足f

（2）＝－1，f（－1）＝－1，且f（x）的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．

|[多角探明]

归纳起来常见的命题角度有：

（1）二次函数的最值问题；

（2）二次函数中恒成立问题；

（3）二次函数的零点问题．

角度一：

二次函数的最值问题

例1．已知函数f（x）＝－x2＋2ax＋1－a在x∈[0,1]时有最大值2，求a的值．

例2．设函数y＝x2－2x，x∈[－2，a]，若函数的最小值为g（x），求g（x）．

角度二：

二次函数中恒成立问题

例3．已知a是实数，函数f（x）＝2ax2＋2x－3在x∈[－1,1]上恒小于零，求实数a的取值范围．

角度三：

二次函数的零点问题

例4．已知关于x的二次函数f（x）＝x2＋（2t－1）x＋1－2t.

（1）求证：

对于任意t∈R，方程f（x）＝1必有实数根；

（2）若＜t＜，求证：

函数f（x）在区间（－1,0）及上各有一个零点．

指数与指数函数

|

（1）幂的有关概念：

①正分数指数幂：

a＝（a>

0，m，n∈N*，且n>

1）．

②负分数指数幂：

a＝＝（a>

③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．

（2）有理数指数幂的性质：

①aras＝ar＋s（a>

0，r，s∈Q）；

②（ar）s＝ars（a>

③（ab）r＝arbr（a>

0，b>

0，r∈Q）．

例：

求值与化简：

（1）0＋2－2·

－（0.01）0.5；

（2）a·

b－2·

（－3ab－1）÷

（4a·

b－3）；

（3）

（1）当a＞1时，指数函数的图象“上升”；

当0＜a＜1时，指数函数的图象“下降”．

（2）指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的图象过定点（0,1），且函数图象经过第一、二象限．

例1．函数y＝ax－（a>

0，且a≠1）的图象可能是（　　）

例2．（·

衡水模拟）若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．

变：

．若将典例2中“|y|＝2x＋1”改为“y＝|2x－1|”，且与直线y＝b有两个公共点，求b的取值范围．

.

（1）比较指数式的大小；

（2）简单的指数方程或不等式的应用；

（3）探究指数型函数的性质.

比较指数式的大小

例1．设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是________．

简单的指数方程或不等式的应用

例2．设函数f（x）＝若f（a）＜1，则实数a的取值范围是（　　）

A．（－∞，－3）　B．（1，＋∞）C．（－3,1）D．（－∞，－3）∪（1，＋∞）

探究指数型函数的性质

例3．已知函数f（x）＝.

（1）若a＝－1，求f（x）的单调区间；

（2）若f（x）有最大值3，求a的值；

（3）若f（x）的值域是（0，＋∞），求a的值．

对数与对数函数

对数的运算

（1）loga（MN）＝logaM＋logaN（a>

0，且a≠1，M>

0，N>

0）；

（2）loga＝logaM－logaN（a>

（3）logaMn＝nlogaM（a>

0，n∈R）；

（4）对数换底公式：

logbN＝（a>

0，a≠1，b>

0，b≠1，N>

（5）对数恒等式：

a＝N（a>

0，a≠1，N>

0）．

例1．（2013·

陕西高考）设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是（　　）

A．logab·

logcb＝logca　　　 B．logab·

logca＝logcb

C．loga（bc）＝logab·

logac D．loga（b＋c）＝logab＋logac

例2．计算下列各题：

（1）lg＋lg70－lg3－；

（2）log3·

log5[4－（3）－7]．

|（题点多变型考点——全面发掘）

对数函数图象的特点

（1）当a>

1时，对数函数的图象呈上升趋势；

当0<

a<

1时，对数函数的图象呈下降趋势．

（2）对数函数y＝logax（a>

0，且a≠1）的图象过定点（1,0），且过点（a,1），，函数图象只在第一、四象限．

[一题多变]

[典型母题]

x≤时，4x<

logax，则a的取值范围是（　　）

A．　　　　　B．C．（1，）D．（，2）

[题点发散1]　若本例变为：

若不等式x2－logax<

0对x∈恒成立，求实数a的取值范围．

[题点发散2]　若本例变为：

x≤时，<

logax，求实数a的取值范围．

[题点发散3]　若本例变为：

已知不等式loga（2a2＋1）<

loga（3a）<

0成立，求实数a的取值范围．

|（重点保分型考点——师生共研）

对数函数的性质

（1）定义域为（0，＋∞）；

（2）值域为R；

（3）过定点（1,0），即x＝1时，y＝0；

（4）当a>

1时，在（0，＋∞）上是增函数；

1时，在（0，＋∞）上是减函数；

已知函数f（x）＝log4（ax2＋2x＋3）．

（1）若f

（1）＝1，求f（x）的单调区间；

（2）是否存在实数a，使f（x）的最小值为0？

若存在，求出a的值；

若不存在，说明理由．

【基础限时训练】1．函数f（x）＝2|x－1|的图象是（　　）

2．已知f（x）＝3x－b（2≤x≤4，b为常数）的图象经过点（2,1），则f（x）的值域（　　）

A．[9,81]　　、B．[3,9]C．[1,9]D．[1，＋∞）

3．已知a＝20.2，b＝0.40.2，c＝0.40.6，则（　　）

A．a>

b>

cB．a>

c>

bC．c>

a>

bD．b>

a

4．（太原一模）函数y＝2x－2－x是（　　）

A．奇函数，在区间（0，＋∞）上单调递增

B．奇函数，在区间（0，＋∞）上单调递减

C．偶函数，在区间（－∞，0）上单调递增

D．偶函数，在区间（－∞，0）上单调递减

5．（·

丽水模拟）当x∈（－∞，－1]时，不等式（m2－m）·

4x－2x＜0恒成立，则实数m的取值范围是（　　）

A．（－2,1）B．（－4,3）C．（－1,2）D．（－3,4）

【拔高限时训练】1．（·

内江三模）lg－8＝（　　）

A．　　B．－C．－D．4

2．若函数y＝f（x）是函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的反函数，且f

（2）＝1，则f（x）＝（　　）

A．log2xB.C．logxD．2x－2

3．（·

天津高考）函数f（x）＝log（x2－4）的单调递增区间是（　　）

A．（0，＋∞） B．（－∞，0）

C．（2，＋∞） D．（－∞，－2）

4．（福州模拟）函数y＝lg|x－1|的图象是（　　）

长春质检）已知函数f（x）＝loga|x|在（0，＋∞）上单调递增，则（　　）

A．f（3）<

f（－2）<

f

（1） B．f

（1）<

f（3）

B．f（－2）<

f

（1）<

f（3） D．f（3）<

f（－2）

6．已知函数y＝f（x）是周期为2的奇函数，当x∈[2,3）时，f（x）＝log2（x－1），给出以下结论：

①函数y＝f（x）的图象关于点（k,0）（k∈Z）对称；

②函数y＝|f（x）|是以2为周期的周期函数；

③当x∈（－1,0）时，f（x）＝－log2（1－x）；

④函数y＝f（|x|）在（k，k＋1）（k∈Z）上单调递增．

其中，正确结论的序号是（　　）

A．①②③ B．①②④

C．②③④ D．①③④

【老师5分钟答疑】

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