高三数学二轮复习数列专题及其答案Word文档下载推荐.doc
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(1)等差数列通项公式:
an=a1+(n-1)d.
(2)等差数列前n项和公式:
Sn==na1+.
(3)等比数列通项公式:
ana1qn-1.
(4)等比数列前n项和公式:
Sn=.
(5)等差中项公式:
2an=an-1+an+1(n≥2).
(6)等比中项公式:
a=an-1·
an+1(n≥2).
(7)数列{an}的前n项和与通项an之间的关系:
an=.
2.重要性质
(1)通项公式的推广:
等差数列中,an=am+(n-m)d;
等比数列中,an=amqn-m.
(2)增减性:
①等差数列中,若公差大于零,则数列为递增数列;
若公差小于零,则数列为递减数列.
②等比数列中,若a1>0且q>1或a1<0且0<q<1,则数列为递增数列;
若a1>0且0<q<1或a1<0且q>1,则数列为递减数列.
3.易错提醒
(1)忽视等比数列的条件:
判断一个数列是等比数列时,忽视各项都不为零的条件.
(2)漏掉等比中项:
正数a,b的等比中项是±
,容易漏掉-.
【真题体验】
1.(2015·
新课标Ⅰ高考)已知{an}是公差为1的等差数列,Sn为{an}的前n项和.若S8=4S4,则a10=( )
A. B. C.10 D.12
2.(2015·
新课标Ⅱ高考)已知等比数列{an}满足a1=,a3a5=4(a4-1),则a2=( )
A.2B.1C.D.
3.(2015·
浙江高考)已知{an}是等差数列,公差d不为零.若a2,a3,a7成等比数列,且2a1+a2=1,则a1=__________,d=________.
4.(2016·
全国卷1)已知是公差为3的等差数列,数列满足,.
(I)求的通项公式;
(II)求的前n项和.
【考点突破】
考点一、等差(比)的基本运算
湖南高考)设Sn为等比数列{an}的前n项和,若a1=1,且3S1,2S2,S3成等差数列,则an=________.
重庆高考)已知等差数列{an}满足a3=2,前3项和S3=.
(1)求{an}的通项公式;
(2)设等比数列{bn}满足b1=a1,b4=a15,求{bn}的前n项和Tn.
考点二、等差(比)的证明与判断
【典例1】
(2017·
全国1)记Sn为等比数列的前n项和,已知S2=2,S3=-6.
(1)求的通项公式;
(2)求Sn,并判断Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差数列。
.
【规律感悟】 判断和证明数列是等差(比)数列的三种方法
(1)定义法:
对于n≥1的任意自然数,验证an+1-an为同一常数.
(2)通项公式法:
①若an=a1+(n-1)d=am+(n-m)d或an=kn+b(n∈N*),则{an}为等差数列;
②若an=a1qn-1=amqn-m或an=pqkn+b(n∈N*),则{an}为等比数列.
(3)中项公式法:
①若2an=an-1+an+1(n∈N*,n≥2),则{an}为等差数列;
②若a=an-1·
an+1(n∈N*,n≥2),且an≠0,则{an}为等比数列.
变式:
(2014·
全国大纲高考)数列{an}满足a1=1,a2=2,an+2=2an+1-an+2.
(1)设bn=an+1-an,证明{bn}是等差数列;
(2)求{an}的通项公式.
考点三、等差(比)数列的性质
命题角度一 与等差(比)数列的项有关的性质
【典例2】
(1)(2015·
新课标Ⅱ高考)已知等比数列{an}满足a1=3,a1+a3+a5=21,则a3+a5+a7=( )
A.21 B.42 C.63 D.84
(2)(2015·
铜陵模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S10=12,则a5+a6=( )
A.B.12C.6D.
命题角度二 与等差(比)数列的和有关的性质
【典例3】
(1)(2014·
全国大纲高考)设等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2=3,S4=15,则S6=( )A.31B.32C.63D.64
衡水中学二调)等差数列{an}中,3(a3+a5)+2(a7+a10+a13)=24,则该数列前13项的和是( )A.13B.26C.52D.156
[针对训练]
1.在等差数列{an}中,若a3+a4+a5+a6+a7=25,则a2+a8=________.
2.在等比数列{an}中,a4·
a8=16,则a4·
a5·
a7·
a8的值为________.
3.若等比数列{an}的各项均为正数,且a10a11+a9a12=2e5,则lna1+lna2+…+lna20=______.
【巩固训练】
一、选择题
新课标Ⅱ高考)设Sn是等差数列{an}的前n项和.若a1+a3+a5=3,则S5=( )
A.5 B.7 C.9 D.11
2.(2014·
福建高考)等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=2,S3=12,则a6等于( )
A.8B.10C.12D.14
3.(2014·
重庆高考)对任意等比数列{an},下列说法一定正确的是( )
A.a1,a3,a9成等比数列B.a2,a3,a6成等比数列
C.a2,a4,a8成等比数列D.a3,a6,a9成等比数列
4.(2014·
天津高考)设{an}是首项为a1,公差为-1的等差数列,Sn为其前n项和.若S1,S2,S4成等比数列,则a1=( )
A.2B.-2C.D.-
5.(2015·
辽宁大连模拟)数列{an}满足an-an+1=an·
an+1(n∈N*),数列{bn}满足bn=,且b1+b2+…+b9=90,则b4·
b6( )
A.最大值为99B.为定值99C.最大值为100D.最大值为200
二、填空题
6.(2015·
陕西高考)中位数为1010的一组数构成等差数列,其末项为2015,则该数列的首项为________.
7.(2015·
安徽高考)已知数列{an}是递增的等比数列,a1+a4=9,a2a3=8,则数列{an}的前n项和等于________.
8.(2014·
江西高考)在等差数列{an}中,a1=7,公差为d,前n项和为Sn,当且仅当n=8时Sn取得最大值,则d的取值范围为________.
三、解答题
9.(文)(2015·
兰州模拟)在等比数列{an}中,已知a1=2,a4=16.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若a3,a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项,试求数列{bn}的前n项和Sn.
10、(2014·
湖北高考)已知等差数列{an}满足:
a1=2,且a1,a2,a5成等比数列.
(2)记Sn为数列{an}的前n项和,是否存在正整数n,使得Sn>60n+800?
若存在,求n的最小值;
若不存在,说明理由.
11.(2015·
江苏高考)设a1,a2,a3,a4是各项为正数且公差为d(d≠0)的等差数列.
(1)证明:
2a1,2a2,2a3,2a4依次构成等比数列;
(2)是否存在a1,d,使得a1,a,a,a依次构成等比数列?
并说明理由
第2讲 数列求和(通项)及其综合应用
1.数列的通项公式
①考查等差、等比数列的基本量的求解;
②考查an与Sn的关系,递推关系等
2.数列的前n项和
①考查等差、等比数列前n项和公式;
②考查用裂项相消法、错位相减法、分解组合法求和.
三种题型均可出现,更多为解答题
中档题
3.数列的综合应用
①证明数列为等差或者等比;
②考查数列与不等式的综合.
解答题
北京高考)设{an}是等差数列,下列结论中正确的是( )
A.若a1+a2>0,则a2+a3>0
B.若a1+a3<0,则a1+a2<0
C.若0<a1<a2,则a2>
D.若a1<0,则(a2-a1)(a2-a3)>0
武汉模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a5=5,S5=15,则数列{}的前100项和为( )A. B.C.D.
福建高考)等差数列{an}中,a2=4,a4+a7=15.
(2)设bn=2an-2+n,求b1+b2+b3+…+b10的值.
考点一、数列的通项公式
【规律感悟】 求通项的常用方法
(1)归纳猜想法:
已知数列的前几项,求数列的通项公式,可采用归纳猜想法.
(2)已知Sn与an的关系,利用an=求an.
(3)累加法:
数列递推关系形如an+1=an+f(n),其中数列{f(n)}前n项和可求,这种类型的数列求通项公式时,常用累加法(叠加法).
(4)累乘法:
数列递推关系如an+1=g(n)an,其中数列{g(n)}前n项积可求,此数列求通项公式一般采用累乘法(叠乘法).
(5)构造法:
①递推关系形如an+1=pan+q(p,q为常数)可化为an+1+=p(p≠1)的形式,利用是以p为公比的等比数列求解.
②递推关系形如an+1=(p为非零常数)可化为=-的形式.
新课标Ⅱ高考)设Sn是数列{an}的前n项和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,则Sn=____________.
铜陵模拟)数列{an}满足a1+a2+…+an=3n+1,n∈N*,则an=________.
3.若数列{an}满足a1=3,an+1=,则a2015的值为________.
考点二、数列的前n项和
【规律感悟】
1.分组求和的常见方法
(1)根据等差、等比数列分组.
(2)根据正号、负号分组.
(3)根据数列的周期性分组.
2.裂项后相消的规律常用的拆项公式(其中n∈N*)
①=-.②=.③=(-).
3.错位相减法的关注点
(1)适用题型:
等差数列{an}乘以等比数列{bn}对应项({an·
bn})型数列求和.
(2)步骤:
①求和时先乘以数列{bn}的公比.②把两个和的形式错位相减.③整理结果形式.
4.倒序求和。
命题角度一 基本数列求和、分组求和
【典例1】 (2015·
湖北八校联考)等差数列{an}的前n项和为Sn,数列{bn}是等比数列,满足a1=3,b1=1,b2+S2=10,a5-2b2=