高三数列专题练习30道带答案Word下载.docx

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7．对于数列、，为数列的前项和，且，，，.

（1）求数列、的通项公式；

（2）令，求数列的前项和.

8．已知是各项均为正数的等比数列，且，

．

（1）求的通项公式；

（2）设，求数列的前项和．

9．已知数列的首项，前项和为，且（）.

（Ⅰ）求证：

数列为等比数列；

（Ⅱ）令，求数列的前项和.

10．已知各项都为正数的等比数列满足是与的等差中项，且．

（Ⅱ）设，且为数列的前项和，求数列的前项和．

11．已知数列的前项和为,．

（2）若,求．

12．设公差不为0的等差数列的首项为1，且构成等比数列．

（2）若数列满足，求的前项和．

13．已知数列是等比数列，满足，数列满足，且是等差数列.

（I）求数列和的通项公式；

（II）求数列的前n项和。

14．设数列满足，.

（2）设，求数列的前项和.

15．数列的前项和满足，且成等差数列．

16．已知各项都为正数的等比数列满足是与的等差中项，且.

（Ⅱ）设，且为数列的前项和，求数列的的前项和.

17．已知数列和满足，，（），（）.

（1）求与；

（2）记数列的前项和为，求.

18．已知数列中，，，数列中，，其中.

（1）求证：

数列是等差数列；

（2）设是数列的前项和，求

19．已知各项均为正数的数列的前项和为,满足恰为等比数列的前项.

（1）求数列,的通项公式；

（2）若,求数列的前项和为.

20．已知等比数列满足,,公比

（1）求数列的通项公式与前n项和；

（2）设，数列的前n项和为Tn，若对于任意的正整数，都有成立，求实

数m的取值范围．

21．已知等差数列满足：

前项和.

（2）若,求数列的前项和．

22．已知公差不为零的等差数列中，，且成等比数列。

（1）求数列的通项公式

（2）求数列的前项和。

23．（本小题满分14分）等比数列的前项和，数列满足

（）.

（1）求的值及的通项公式；

（2）求数列的前项和；

（3）求数列的最小项的值.

24．数列的通项是关于的不等式的解集中正整数的个数，．

（2）若，求数列的前项和；

（3）求证：

对且恒有．

25．已知各项均不为零的数列满足：

，且,．

（2）令，求数列的前项和．

26．已知是单调递增的等差数列，首项，前项和为，数列是等比数列，首项，且．

（1）求和通项公式；

（2）令，求的前项和．

27．在数列{an}中，a1=1，a4=7，an+2﹣2an+1+an=0（n∈N﹢）

（1）求数列an的通项公式；

（2）若bn=）（n∈N+），求数列{bn}的前n项和Sn．

28．已知数列的前项和为,且.

（2）若数列满足,求数列的通项公式；

（3）令,数列的前项和为.

29．已知数列的前项和.

（Ⅱ）设，求数列的前项和.

30．设数列满足：

，．设为数列的前项和，已知，，．

（1）求数列，的通项公式；

试卷第5页，总6页

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参考答案

1．

（1）

（2）

【解析】

试题分析：

（1）求等差数列通项公式，基本方法为待定系数法，即根据条件列两个关于首项与公差的方程：

，注意公差不为零，解得，代入通项公式得

（2）先根据等差数列求和公式得，因此代入化简数列通项公式，所以利用裂项相消法求和，即，

试题解析：

①设的公差为，依题意得，．．．．．．．．．．．．．．．．．3分

解得，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分

∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

②，

，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分

，故．．．．．．12分

考点：

等差数列通项，裂项相消法求和

【方法点睛】裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如（其中是各项均不为零的等差数列，c为常数）的数列.裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和（如本例），还有一类隔一项的裂项求和，如或.

2．（Ⅰ）（Ⅱ）

（Ⅰ）将已知条件转化为首项和公差表示，解方程组可得到基本量，从而确定数列的通项公式；

（Ⅱ）首先化简数列得到的通项公式，结合特点采用裂项相消法求和

（Ⅰ）依题意得

………2分

解得，…………4分

.………………………6分

（Ⅱ），…………………7分

……………………9分

∴………………………………12分

数列求通项公式及数列求和

3．

（1）；

（2）．

（1）设数列的公比为，由，，称等差数列，求解，即可求解数列的通项公式；

（2）由

（1）可知，利用乘公比错位相减法，求解数列的和，再根据不等式恒成立，利用关于单调性，即可求解的取值范围．

（1）设数列的公比为，

∵，，称等差数列，∴，∴，

∵，∴，∴，

∴．

（2）设数列的前项和为，则，

又，

∴，

，

两式相减得w，

对任意，不等式恒成立，

等价于恒成立，即恒成立，即恒成立，

令，，

∴关于单调递减，∴关于单调递增，∴，∴，

所以的取值范围为．

数列的综合问题．

【方法点晴】本题主要考查了数列的综合问题，其中解答中涉及到等比数列的通项公式、等比数列的性质、数列的乘公比错位相减法求和、数列与函数的应用等知识点的综合考查，着重中考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及学生转化与化归思想的应用，本题的解答中利用乘公比错位相减法求得数列的和，转化为利用函数的单调性是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题．

4．（Ⅰ）；

（Ⅱ）

（Ⅰ）因为等差数列{}的公差，所以有，解之得，得，设等比数列{}的公比为，则，由等比数列前n项和公式即可求出结果.（Ⅱ）由（Ⅰ）得，所以，采用裂项相消即可求出结果.

解：

（Ⅰ）因为等差数列{}的公差，

所以有，解之得

得，设等比数列{}的公比为，则，

于是

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，所以

因此

.

1.等差数列与等比数列；

2.数列求和.

【方法点睛】裂项相消在使用过程中有一个很重要得特征，就是能把一个数列的每一项裂为两项的差，其本质就是两大类型类型一:

型，通过拼凑法裂解成；

类型二：

通过有理化、对数的运算法则、阶乘和组合数公式直接裂项型；

该类型的特点是需要熟悉无理型的特征，对数的运算法则和阶乘和组合数公式。

无理型的特征是，分母为等差数列的连续两项的开方和，形如型，常见的有①；

②对数运算本身可以裂解；

③阶乘和组合数公式型要重点掌握和.

5．

（1）；

（2）；

（3）.

（1）由已知数列递推式求出首项，得到当时，，与原递推式作差后可得数列是以为首项，以为公比的等比数列．再由等比数列的通项公式得答案；

（2）由

（1）可得，由累加法可求其通项公式；

（3）由错位相减法求其前项和.

（1）解：

当时，，则，

当时，，

则，∴，所以，数列是以首相，公比为，而；

（2）∵，∴，

当时，

又满足，∴；

（3）∵，

①

而②

①---②得：

（1）数列递推式；

（2）数列的通项公式；

（3）数列求和.

【方法点晴】本题考查了数列的通项公式，考查了数列的求和，关键是会用累加法求通项公式和数列的错位相减法求和，难度适中；

解题中，在利用这一常用等式以及时，用累加法求其通项公式；

常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于，其中和分别为特殊数列，裂项相消法类似于，错位相减法类似于，其中为等差数列，为等比数列等.

6．

（1）；

（2）.

（1）当时，，时，利用求得通项公式为；

（2）根据

（1）化简，利用裂项求和法求得.

（1）对于任意的正整数①恒成立，当时，，即,当时，有②,得，即,,

数列是首项为公差为的等差数列..

（2）

递推数列求通项，裂项求和法.

7．

（1），；

（1）由

.由是等比数列，首项为，公比为；

.

（1）因为，所以，所以

，所以的通项公式为.由，得，所以是等比数列，首项为，公比为，所以，所以的通项公式为.

（2），所以，①

则②

②-①得.

所以.

1、等差数列及其性质；

2、等比数列及其性质；

3、数列的前项和.

【方法点晴】本题考查等差数列及其性质、等比数列及其性质、数列的前项和，涉及特殊与一般思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型.第一小题先由求得，再利用累加法求得.又由求得，可得是等比数列再求得.第二小题化简，再利用错位相减法求得.

8．

（1）；

（1）根据已知列出关于首项和公比的方程组，解出首项和公比的值即可求得的通项公式；

（2）由

（1）可知，分三组分别求和即可.

（1）设公比为，则，由已知有，

化简得

又，故，，

所以．

（2）由

（1）可知，

因此．

1、等比数列的通项及求和公式；

2、“分组求和”的应用.

9．（Ⅰ）见解析；

（Ⅱ）.

（Ⅰ）根据结合已知条件等式即可使问题得证；

（Ⅱ）首先根据（Ⅰ）求得的通项公式，然后利用分组求和法与错位相减法求解即可.

（Ⅰ）由，

两式相减，得，可得，4分

又，则，满足，

即是一个首项为2，公比为2的等比数列.6分

（Ⅱ）据（Ⅰ）得，

所以，7分

则.

令，则，

则.10分

所以.

1、等比数列的定义；

2、数列求和.

【方法点睛】对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列，此法称为辅助数列法.常用转化方法：

变换法、待定系数法、加减法