高三数列专题练习30道带答案Word下载.docx
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7.对于数列、,为数列的前项和,且,,,.
(1)求数列、的通项公式;
(2)令,求数列的前项和.
8.已知是各项均为正数的等比数列,且,
.
(1)求的通项公式;
(2)设,求数列的前项和.
9.已知数列的首项,前项和为,且().
(Ⅰ)求证:
数列为等比数列;
(Ⅱ)令,求数列的前项和.
10.已知各项都为正数的等比数列满足是与的等差中项,且.
(Ⅱ)设,且为数列的前项和,求数列的前项和.
11.已知数列的前项和为,.
(2)若,求.
12.设公差不为0的等差数列的首项为1,且构成等比数列.
(2)若数列满足,求的前项和.
13.已知数列是等比数列,满足,数列满足,且是等差数列.
(I)求数列和的通项公式;
(II)求数列的前n项和。
14.设数列满足,.
(2)设,求数列的前项和.
15.数列的前项和满足,且成等差数列.
16.已知各项都为正数的等比数列满足是与的等差中项,且.
(Ⅱ)设,且为数列的前项和,求数列的的前项和.
17.已知数列和满足,,(),().
(1)求与;
(2)记数列的前项和为,求.
18.已知数列中,,,数列中,,其中.
(1)求证:
数列是等差数列;
(2)设是数列的前项和,求
19.已知各项均为正数的数列的前项和为,满足恰为等比数列的前项.
(1)求数列,的通项公式;
(2)若,求数列的前项和为.
20.已知等比数列满足,,公比
(1)求数列的通项公式与前n项和;
(2)设,数列的前n项和为Tn,若对于任意的正整数,都有成立,求实
数m的取值范围.
21.已知等差数列满足:
前项和.
(2)若,求数列的前项和.
22.已知公差不为零的等差数列中,,且成等比数列。
(1)求数列的通项公式
(2)求数列的前项和。
23.(本小题满分14分)等比数列的前项和,数列满足
().
(1)求的值及的通项公式;
(2)求数列的前项和;
(3)求数列的最小项的值.
24.数列的通项是关于的不等式的解集中正整数的个数,.
(2)若,求数列的前项和;
(3)求证:
对且恒有.
25.已知各项均不为零的数列满足:
,且,.
(2)令,求数列的前项和.
26.已知是单调递增的等差数列,首项,前项和为,数列是等比数列,首项,且.
(1)求和通项公式;
(2)令,求的前项和.
27.在数列{an}中,a1=1,a4=7,an+2﹣2an+1+an=0(n∈N﹢)
(1)求数列an的通项公式;
(2)若bn=)(n∈N+),求数列{bn}的前n项和Sn.
28.已知数列的前项和为,且.
(2)若数列满足,求数列的通项公式;
(3)令,数列的前项和为.
29.已知数列的前项和.
(Ⅱ)设,求数列的前项和.
30.设数列满足:
,.设为数列的前项和,已知,,.
(1)求数列,的通项公式;
试卷第5页,总6页
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参考答案
1.
(1)
(2)
【解析】
试题分析:
(1)求等差数列通项公式,基本方法为待定系数法,即根据条件列两个关于首项与公差的方程:
,注意公差不为零,解得,代入通项公式得
(2)先根据等差数列求和公式得,因此代入化简数列通项公式,所以利用裂项相消法求和,即,
试题解析:
①设的公差为,依题意得,.................3分
解得,........................5分
∴.............................6分
②,
,..............................9分
,故......12分
考点:
等差数列通项,裂项相消法求和
【方法点睛】裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式,然后通过累加抵消中间若干项的方法,裂项相消法适用于形如(其中是各项均不为零的等差数列,c为常数)的数列.裂项相消法求和,常见的有相邻两项的裂项求和(如本例),还有一类隔一项的裂项求和,如或.
2.(Ⅰ)(Ⅱ)
(Ⅰ)将已知条件转化为首项和公差表示,解方程组可得到基本量,从而确定数列的通项公式;
(Ⅱ)首先化简数列得到的通项公式,结合特点采用裂项相消法求和
(Ⅰ)依题意得
………2分
解得,…………4分
.………………………6分
(Ⅱ),…………………7分
……………………9分
∴………………………………12分
数列求通项公式及数列求和
3.
(1);
(2).
(1)设数列的公比为,由,,称等差数列,求解,即可求解数列的通项公式;
(2)由
(1)可知,利用乘公比错位相减法,求解数列的和,再根据不等式恒成立,利用关于单调性,即可求解的取值范围.
(1)设数列的公比为,
∵,,称等差数列,∴,∴,
∵,∴,∴,
∴.
(2)设数列的前项和为,则,
又,
∴,
,
两式相减得w,
对任意,不等式恒成立,
等价于恒成立,即恒成立,即恒成立,
令,,
∴关于单调递减,∴关于单调递增,∴,∴,
所以的取值范围为.
数列的综合问题.
【方法点晴】本题主要考查了数列的综合问题,其中解答中涉及到等比数列的通项公式、等比数列的性质、数列的乘公比错位相减法求和、数列与函数的应用等知识点的综合考查,着重中考查了学生分析问题和解答问题的能力,以及学生转化与化归思想的应用,本题的解答中利用乘公比错位相减法求得数列的和,转化为利用函数的单调性是解答的关键,试题有一定的难度,属于中档试题.
4.(Ⅰ);
(Ⅱ)
(Ⅰ)因为等差数列{}的公差,所以有,解之得,得,设等比数列{}的公比为,则,由等比数列前n项和公式即可求出结果.(Ⅱ)由(Ⅰ)得,所以,采用裂项相消即可求出结果.
解:
(Ⅰ)因为等差数列{}的公差,
所以有,解之得
得,设等比数列{}的公比为,则,
于是
(Ⅱ)由(Ⅰ)得,所以
因此
.
1.等差数列与等比数列;
2.数列求和.
【方法点睛】裂项相消在使用过程中有一个很重要得特征,就是能把一个数列的每一项裂为两项的差,其本质就是两大类型类型一:
型,通过拼凑法裂解成;
类型二:
通过有理化、对数的运算法则、阶乘和组合数公式直接裂项型;
该类型的特点是需要熟悉无理型的特征,对数的运算法则和阶乘和组合数公式。
无理型的特征是,分母为等差数列的连续两项的开方和,形如型,常见的有①;
②对数运算本身可以裂解;
③阶乘和组合数公式型要重点掌握和.
5.
(1);
(2);
(3).
(1)由已知数列递推式求出首项,得到当时,,与原递推式作差后可得数列是以为首项,以为公比的等比数列.再由等比数列的通项公式得答案;
(2)由
(1)可得,由累加法可求其通项公式;
(3)由错位相减法求其前项和.
(1)解:
当时,,则,
当时,,
则,∴,所以,数列是以首相,公比为,而;
(2)∵,∴,
当时,
又满足,∴;
(3)∵,
①
而②
①---②得:
(1)数列递推式;
(2)数列的通项公式;
(3)数列求和.
【方法点晴】本题考查了数列的通项公式,考查了数列的求和,关键是会用累加法求通项公式和数列的错位相减法求和,难度适中;
解题中,在利用这一常用等式以及时,用累加法求其通项公式;
常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式,分组求和类似于,其中和分别为特殊数列,裂项相消法类似于,错位相减法类似于,其中为等差数列,为等比数列等.
6.
(1);
(2).
(1)当时,,时,利用求得通项公式为;
(2)根据
(1)化简,利用裂项求和法求得.
(1)对于任意的正整数①恒成立,当时,,即,当时,有②,得,即,,
数列是首项为公差为的等差数列..
(2)
递推数列求通项,裂项求和法.
7.
(1),;
(1)由
.由是等比数列,首项为,公比为;
.
(1)因为,所以,所以
,所以的通项公式为.由,得,所以是等比数列,首项为,公比为,所以,所以的通项公式为.
(2),所以,①
则②
②-①得.
所以.
1、等差数列及其性质;
2、等比数列及其性质;
3、数列的前项和.
【方法点晴】本题考查等差数列及其性质、等比数列及其性质、数列的前项和,涉及特殊与一般思想和转化化归思想,考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力,综合性较强,属于较难题型.第一小题先由求得,再利用累加法求得.又由求得,可得是等比数列再求得.第二小题化简,再利用错位相减法求得.
8.
(1);
(1)根据已知列出关于首项和公比的方程组,解出首项和公比的值即可求得的通项公式;
(2)由
(1)可知,分三组分别求和即可.
(1)设公比为,则,由已知有,
化简得
又,故,,
所以.
(2)由
(1)可知,
因此.
1、等比数列的通项及求和公式;
2、“分组求和”的应用.
9.(Ⅰ)见解析;
(Ⅱ).
(Ⅰ)根据结合已知条件等式即可使问题得证;
(Ⅱ)首先根据(Ⅰ)求得的通项公式,然后利用分组求和法与错位相减法求解即可.
(Ⅰ)由,
两式相减,得,可得,4分
又,则,满足,
即是一个首项为2,公比为2的等比数列.6分
(Ⅱ)据(Ⅰ)得,
所以,7分
则.
令,则,
则.10分
所以.
1、等比数列的定义;
2、数列求和.
【方法点睛】对于递推公式确定的数列的求解,通常可以通过递推公式的变换,转化为等差或等比数列问题,有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列,此法称为辅助数列法.常用转化方法:
变换法、待定系数法、加减法