选修1-2第二章推理与证明讲义文档格式.doc
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推理的概念根据一个或几个已知事实(或假设)得出一个判断,这种思维方式叫做推理.从结构上说,推理一般由两部分组成,一部分是已知的事实(或假设)叫做前提,一部分是由已知推出的判断,叫做结论.
知识点二:
合情推理根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)、实验和实践的结果、个人的经验和直觉等,经过观察、分析、比较、联想、归纳、类比等推测出某些结果的推理过程。
其中归纳推理和类比推理是最常见的合情推理。
1.归纳推理
(1)定义:
由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理(简称归纳)。
(2)一般模式:
部分整体,个体一般
(3)一般步骤:
①通过观察个别情况发现某些相同性质;
②从已知的相同的性质中猜想出一个明确表述的一般性命题;
③检验猜想.
(4)归纳推理的结论可真可假
归纳推理一般都是从观察、实验、分析特殊情况开始,提出有规律性的猜想;
一般地,归纳的个别情况越多,就越具有代表性,推广的一般性命题就越可靠.由于归纳推理的前提是部分的、个别的事实,因此归纳推理的结论超出了前提所界定的范围,其前提和结论之间的联系不是必然的,而是或然的,所以归纳推理所得的结论不一定是正确的.
2.类比推理
由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比).
特殊特殊
(3)类比的原则:
可以从不同的角度选择类比对象,但类比的原则是根据当前问题的需要,选择恰当的类比对象.
(4)一般步骤:
①找出两类对象之间的相似性或一致性;
②用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征,得出一个明确的命题(猜想);
③检验猜想.
(5)类比推理的结论可真可假
类比推理中的两类对象是具有某些相似性的对象,同时又应是两类不同的对象;
一般情况下,如果类比的相似性越多,相似的性质与推测的性质越相关,那么类比得出的命题就越可靠.类比结论具有或然性,所以类比推理所得的结论不一定是正确的。
知识点三:
演绎推理
从一般性的原理出发,按照严格的逻辑法则,推出某个特殊情况下的结论的推理,叫做演绎推理.简言之,演绎推理是由一般到特殊的推理.
“三段论”是演绎推理的一般模式,常用的一种格式
①大前提——已知的一般原理;
②小前提——所研究的特殊情况;
③结论——根据一般原理,对特殊情况作出的结论.
(3)用集合的观点理解“三段论”
若集合的所有元素都具有性质,是的子集,那么中所有元素都具有性质
(4)演绎推理的结论一定正确
演绎推理是一个必然性的推理,因而只要大前提、小前提及推理形式正确,那么结论一定是正确的,它是完全可靠的推理。
规律方法指导
合情推理与演绎推理的区别与联系
(1)从推理模式看:
①归纳推理是由特殊到一般的推理.
②类比推理是由特殊到特殊的推理.
③演绎推理是由一般到特殊的推理.
(2)从推理的结论看:
①合情推理所得的结论不一定正确,有待证明。
②演绎推理所得的结论一定正确。
(3)总体来说,从推理的形式和推理的正确性上讲,二者有差异;
从二者在认识事物的过程中所发挥的作用的角度考虑,它们又是紧密联系,相辅相成的。
合情推理的结论需要演绎推理的验证,而演绎推理的内容一般是通过合情推理获得的;
演绎推理可以验证合情推理的正确性,合情推理可以为演绎推理提供方向和思路.
经典例题透析
类型一:
归纳推理
1.用推理的形式表示数列的前项和的归纳过程.
举一反三:
【变式1】用推理的形式表示等差数列1,3,5,…,(2-1),…的前项和的归纳过程.
【变式2】设,计算的值,同时归纳结果所具有的性质,并用验证猜想的结论是否正确.
2.平面内的1条直线把平面分成2部分,2条相交直线把平面分成4部分,3条相交但不共点的直线把平面分成7部分,n条彼此相交而无三条共点的直线,把平面分成多少部分?
【变式1】图(a)、(b)、(c)、(d)为四个平面图形
(1)数一数,每个平面图各有多少个顶点?
多少条边?
它们将平面各分成了多少个区域?
(2)推断一个平面图形的顶点数,边数,区域数之间的关系.
类型二:
类比推理
3.在三角形中有下面的性质:
(1)三角形的两边之和大于第三边;
(2)三角形的中位线等于第三边的一半,且平行于第三边;
(3)三角形的三条内角平分线交于一点,且这个点是三角形的内心;
(4)三角形的面积,(为三角形的三边长,为三角形的内切圆半径).
请类比写出四面体的有关性质.
类型三:
演绎推理
4.已知:
在空间四边形中,、分别为、的中点,用三段论证明:
∥平面
例4变式2
【变式1】有一位同学利用三段论证明了这样一个问题:
证明:
因为所有边长都相等的凸多边形是正多边形,…………大前提
而菱形是所有边长都相等的凸多边形,…………………………小前提
所以菱形是正多边形.………………………………………………结论
(1)上面的推理形式正确吗?
(2)推理的结论正确吗?
为什么?
【变式2】如图2-1-8所示,D,E,F分别是BC,CA,AB上的点,∠BFD=∠A,DE∥BA,求证:
ED=AF.
2.2直接证明与间接证明
目标认知
1.结合已经学过的数学实例,了解直接证明的两种基本方法:
综合法和分析法,了解间接证明的一种基本方法:
反证法;
2.了解综合法、分析法和反证法的思考过程、特点.
根据问题的特点,结合综合法、分析法和反证法的思考过程、特点,选择适当的证明方法或把不同的证明方法结合使用.
根据问题的特点,选择适当的证明方法或把不同的证明方法结合使用.
学习策略分析法和综合法在证明方法中都占有重要地位,是解决数学问题的重要思想方法。
当所证命题的结论与所给条件间联系不明确,常常采用分析法证明;
当所证的命题与相应定义、定理、公理有直接联系时,常常采用综合法证明.在解决问题时,常常把分析法和综合法结合起来使用。
反证法解题的实质是否定结论导出矛盾,从而说明原结论正确。
在否定结论时,其反面要找对、找全.它适合证明“存在性问题、唯一性问题”,带有“至少有一个”或“至多有一个”等字样的数学问题.
直接证明
1、综合法
一般地,从命题的已知条件出发,利用公理、已知的定义及定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法.
(2)综合法的的基本思路:
执因索果综合法又叫“顺推证法”或“由因导果法”.它是从已知条件和某些学过的定义、公理、公式、定理等出发,通过推导得出结论.
(3)综合法的思维框图:
用表示已知条件,为定义、定理、公理等,表示所要证明的结论,则综合法可用框图表示为:
(已知)(逐步推导结论成立的必要条件)(结论)
2、分析法
一般地,从需要证明的命题出发,分析使这个命题成立的充分条件,逐步寻找使命题成立的充分条件,直至所寻求的充分条件显然成立(已知条件、定理、定义、公理等),或由已知证明成立,从而确定所证的命题成立的一种证明方法,叫做分析法.
(2)分析法的基本思路:
执果索因分析法又叫“逆推证法”或“执果索因法”.它是从要证明的结论出发,分析使之成立的条件,即寻求使每一步成立的充分条件,直到最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止.
(3)分析法的思维框图:
用表示已知条件和已有的定义、公理、公式、定理等,所要证明的结论,则用分析法证明可用框图表示为:
(结论)(逐步寻找使结论成立的充分条件)(已知)
(4)分析法的格式:
要证……,只需证……,只需证……,因为……成立,所以原不等式得证。
间接证明
反证法
一般地,首先假设要证明的命题结论不正确,即结论的反面成立,然后利用公理,已知的定义、定理,命题的条件逐步分析,得到和命题的条件或公理、定理、定义及明显成立的事实等矛盾的结论,以此说明假设的结论不成立,从而证明了原命题成立,这样的证明方法叫做反证法.
(2)反证法的特点:
反证法是间接证明的一种基本方法.它是先假设要证的命题不成立,即结论的反面成立,在已知条件和“假设”这个新条件下,通过逻辑推理,得出与定义、公理、定理、已知条件、临时假设等相矛盾的结论,从而判定结论的反面不能成立,即证明了命题的结论一定是正确的.
(3)反证法的基本思路:
“假设——矛盾——肯定”
①分清命题的条件和结论.
②做出与命题结论相矛盾的假设.
③由假设出发,结合已知条件,应用演绎推理方法,推出矛盾的结果.
④断定产生矛盾结果的原因,在于开始所做的假定不真,于是原结论成立,从而间接地证明原命题为真.
(4)用反证法证明命题“若则”,它的全部过程和逻辑根据可以表示为:
(5)反证法的优点:
对原结论否定的假定的提出,相当于增加了一个已知条件.
1.用反证法证明数学命题的一般步骤:
①反设——假设命题的结论不成立,即假定原命题的反面为真;
②归谬——从反设和已知条件出发,经过一系列正确的逻辑推理,得出矛盾结果;
③存真——由矛盾结果,断定反设不真,从而肯定原结论成立.
2.适合使用反证法的数学问题:
①要证的结论与条件之间的联系不明显,直接由条件推出结论的线索不够清晰;
比如“存在性问题、唯一性问题”等;
②如果从正面证明,需要分成多种情形进行分类讨论,而从反面进行证明,只要研究一种或很少的几种情形.比如带有“至少有一个”或“至多有一个”等字样的数学问题.
经典例题透析类型一:
综合法
1.如图,设在四面体中,,,是的中点. 求证:
垂直于所在的平面.
【变式1在锐角三角形ABC中,求证:
分析法
2.求证:
【变式1】求证:
反证法
3。
设函数在内都有,且恒成立,求证:
对任意都有.
【变式1】已知:
,求证
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