认识三角形知识点Word文档格式.doc
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若最大角是锐角，则三角形是锐角三角形；
若最大角是直角，则三角形直角三角形；
若最大角是钝角，则三角形钝角三角形．
3．三角形中边的关系
（1）三角形的任意两边之和大于第三边；
（2）三角形的任意两边之差小于第三边
如图7-4-1中，。
在任意给定的三条线段中，当三条线段中较短的两条线段之和大于另一条线段时，才能组成三角形。
例如：
有三条线段的长分别为3、4、6因为3+4>
6，所以这三条线段能组成三角形．
又如：
有三条线段的长分别为3、4、8要为3+4<
8，所以这三条线段不能组成三角形．
4．三角形的三种主要线段
（1）高：
从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点和垂足间的线段，叫做三角形的高。
如图7-4-2，AD是△ABC的高，可表示为ADBC或=90°
或
=90°
。
（2）中线：
在三角形中，连接顶点和它对边中点的线段，叫做三角形的中线。
如图7-4-3，AE是△ABC的中线，表示为BE=EC或BE=BC或BC=2EC.
（3）角平分线：
在三角形中，一个内角的平分线和这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线，一个角的平分线是一条射线，而三角形的角平分线是一条线段．
如图7-4-4，AF是的角平分线，可表示为或或.
一个三角形中三条中线交于一点，三条角平分线交于一点，三条高所在直线交于一点。
5．三角形的高、角平分线、中线的画法
（1）三角形高的画法，如图7-4-5．
①锐角三角形、直角三角形、钝角三角形都有三条高．
②锐角三角形的三条高交于三角形内部一点．如图7-4-5甲，
③钝角三角形的三条高交于三角形外部一点．如图7-4-5乙，
④直角三角形的三条高交于直角顶点．如图7-4-5丙．
（2）三角形的中线的画法：
将三角形一边的中点与这边所对角的顶点连接起来，就得到三角形一边上的中线．
（3）三角形的角平分线的画法：
三角形的角平分线的画法与角平分线的画法相同，可以用量角器。
防错档案：
画钝角三角形的高容易出错，要抓住从三角形一顶点向对边作垂线段．
6．面积法解题
例如：
如图7-4-6，在△ABC
中，AB=AC，AC边上的高BD=10，求
AB边上的高CE的长．
解析：
由三角形面积公式有：
因为AB=AC，BD=10，
所以CE=BD=10.
名题诠释
【例题1】如图7-4-7，点D是△ABC的边BC上的一点，点E在AD上．
（1）图中共有____个三角形；
（2）以.AC为边的三角形是____；
（3）以BDE为内角的三角形是____.
【解析】
（1）的左右两侧各有3个三角形，分别是△ABE、△ABD、△EBD、△ACE、△.ACD、△ECD，左右两侧组合又形成2个以BC为边的三角
形，它们是△ABC、△EBC.故共有8个三角形．
（2）以AC为边的三角形有3个，它们是△.ACE、△ACD、△ACB.（3）以BDE为内角的三角形有2个，它们是△EBD、△ABD．
【答案】
（1）8
（2）△ACE、△ACD、△ACB（3）△EBD、△ABD
【点评】数三角形要注意选择恰当的顺序，做到不重不漏，注意最容易漏掉的是最大的三角形．
【例题2】下列三角形分别是什么三角形？
（1）已知一个三角形的两个内角分别是50°
和60°
；
（2）已知一个三角形的两个内角分别是35°
和55°
（3）已知一个三角形的两个内角分别是30°
和45°
（4）已知一个三角形的周长为16cm，有两边的长分别是6cm和4cm.
【解析】确定三角形的形状，应紧扣定义．
【答案】
（1）锐角三角形，因为三角形内角和为180°
，而两个内角分别是50°
，所以第三个内角是70°
，即这个三角形是锐角三角形．
（2）直角三角形，同理．
（3）钝角三角形，同理．
（4）等腰三角形．因为第三条边的长为16-6-4=6（cm）．
【点评】应全面考虑三角形的边和角的条件，再根据定义判别．
【例题3】下列长度的三条线段能组成三角形的是（）．
A.lcm、2cm、3.5cmB.4cm、5cm、9cm
C.5cm、8cm、15cmD.8cm、8cm、9cm
【解析】因为1+2<
3.5，所以lcm、2cm、3.5cm的三条线段不能构成三角形
因为4+5=9，所以4cm、5cm、9cm的三条线段不能构成三角形；
因为5+8<
15，所以5cm、8cm、15cm的三条线段不能构成三角形；
因为8+8>
9，所以8cm、8cm、9cm的三条线段能构成三角形．
【答案】D
【点评】三条线段能否构成三角形的条件是三角形三边的关系，即是否满足任意两边之和大于第三边．简便方法是检验较小的两边之和是否大于最大边．
【例题4】甲地离学校4km，乙地离学校lkm．记甲、乙两地之间的距离
为dkm，则d的取值为（）．
A.3B.5C.3或5D．3≤d≤5
【解析】本题应分两种情况讨论：
（1）甲、乙两地与学校在一条直线上；
（2）甲、乙两地与学校不在同一条直线上，则构成三角形，可利用三角形三边关系解题．
【答案】D
【例题5】如图7-4-8，在△ABC中，=，G为AD的中点，延长BG交AC于E．F为AB上一点，CFAD于H，下面判断正确的有（）．
①AD是△ABE的角平分线；
②BE是△ABD边AD上的
中线；
③CH为△ACD边AD上的高；
④AH是△ACF的角平
分线和高线．
A.l个B．2个C.3个D．4个
【解析】由=知AD平分BAE．但AD不是△ABE内的线段，故①错，AD应是△ABC的角平分线；
同理，BE经过△ABD的边AD的中点G，但BE不是△ABD中的线段，故②不正确，正确的说法应是BG是△ABD边AD上的中线；
由于CHAD于H，故CH是△ACD边AD上的高，故③正确；
AH平分FAC并且在△ACF内，故AH是△ACF的角平分线，同理AH也是△ACF的高，故④正确．
【答案】B
【点评】三角形的角平分线和角的平分线之间的区别：
前者是线段，在三角形的内部，后者是射线，可以无限延伸．
【例题6】在△ABC中，AB=AC，AC边上的中线BD把三角形的周长分为12cm和15cm两部分，求三角形各边的长，
【解析】中线BD把三角形的周长分为12cm和15cm两部分，要分类讨论：
（1）当腰长小于底边时，AB+AD=12，如图7-4-9①；
（2）当腰长大于底边时，AB+AD=15，如图7-4-9②．
【答案】设AB=，则有：
AD=DC=．
（1）若AB+AD=12，即+=12，=8．
AB=AC=8,DC=4，故BC=15-4=11.
此时AB+AC>
BC，
所以三角形三边长分别为8cm，8cm，llcm.
（2）若AB+.4D=15，即+=15，=10．
即AB=AC=10，DC=5，
故BC=12-5=7．显然，此时三角形存在，
所以三角形三边长分别为l0cm，l0cm，7cm．
综上所述，此三角形的三边长分别为8cm，8cm．llcm或l0cm，l0cm，7cm．
【例题7】如图7-4-10，是甲、乙、丙、丁四位同学画的钝角△ABC的高BE，其中画法错误的是____________
【解析】甲图错在把三自形的高线与AC边的垂线定义相混淆，把“线段”画成“直线”；
乙图错在未抓住“垂线”这一特征，画出的BE与AC不垂直；
丙图错在没有过点B画AC的垂线，故不是高；
丁图错在没有向点B的对边画垂线．
【答案】甲、乙、丙、丁
【例题8】如图7—4-11，在△ABC中，AB=AC，AC边上高BD=10，P为边BC上任意一点，PMAB，PNAC，垂足分别为M,N．求PM+PN的值．
【解析】连接AP后，PM、PN就转化为△APB和△APC的高，从而由面积法可求得PM+PN的值．
【答案】连接AP，由图7-4-11可知：
，
即
因为AB=AC，BD=10，
所以PM+PN=BD=10.
速效基础演练
1如图7-4-12，图中三角形的个数共有（）．
A1个B．2个C.3个D．4个
2三角形两边的长分别为lcm和4cru，第三边的长是一个偶数，则第三边的长是________，这个三角形是___________三角形
3如图7-4-13．
（1）ADBC，垂足为D，则AD是___________的高，_______=_______=90°
（2）若AE平分，交BC于E点，AE叫___________的角平分线，=_______=________;
（3）若AF=FC，则△ABC的中线是_________;
（4）若BC=GH=HF．则AG是________的中线，AH是_________的中线。
4如图7-4-14，在△ABC中，=90°
，D、E为AC上的两点，且AE=DE，=，则下列说法中不正确的是（）．
A．BC是△ABE的高
B．BE是△ABD的中线
C．BD足△EBC的角平分线
D．
5如图7-4-15，哪一个图表示AD为△ABC的高？
（）
6如果三角形的两边分别为3和5，那么这个三角形的周长可能是（）．
A．15B．16C．8D．7
7下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）．
A.lcm，2cm，3cm
B.2cm，3cm，6cm
C.4cm，6cm，8cm
D.5cm，6cm，12cm
8如图7-4-16，为估计池塘岸边A、B两点的距离，小方在池塘的一侧选取一点O，测
得OA=15米，OB=10米，A、B间的距离不可能是（）．
A．5米B．10米C．15米
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