解析几何七种常规题型及方法文档格式.doc
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点评:
本题抓住的特点简便地得出方程①,再根据得方程②,从而求得待定系数,得出椭圆的方程,解决直线与圆锥曲线的弦长问题时,常用韦达定理与弦长公式。
二、中点弦长问题:
具有斜率的弦中点问题,常用设而不求法(点差法):
设曲线上两点为,,代入方程,然后两方程相减,再应用中点关系及斜率公式,消去四个参数。
典型例题给定双曲线。
过A(2,1)的直线与双曲线交于两点及,求线段的中点P的轨迹方程。
分析:
设,代入方程得,。
两式相减得
。
又设中点P(x,y),将,代入,当时得
又,
代入得。
当弦斜率不存在时,其中点P(2,0)的坐标也满足上述方程。
因此所求轨迹方程是
说明:
本题要注意思维的严密性,必须单独考虑斜率不存在时的情况。
例2、过点作抛物线的弦AB,恰被点P平分,求AB的所在直线方程及弦AB的长度。
因为所求弦通过定点P,所以弦AB所在直线方程关键是求出斜率,有P是弦的中点,所以可用作差或韦达定理求得,然后套用弦长公式可求解弦长.
解法1:
设以P为中点的弦AB端点坐标为,
则有,两式相减,得
又
则,所以所求直线AB的方程为,即.
解法2:
设AB所在的直线方程为
由,整理得.
设,由韦达定理得,
又∵P是AB的中点,∴,∴
所以所求直线AB的方程为.
由整理得,,则
有弦长公式得,.
解决弦的中点有两种常用方法,一是利用韦达定理及中点坐标公式来构造条件;
二是利用端点在曲线上,坐标满足方程,作差构造中点坐标和斜率的关系求解,然后可套用弦长公式求解弦长.
三、焦点弦长问题:
例3、(同例1、⑵)
另解:
⑵∴椭圆的右焦点,∴的方程为:
,
由过右焦点,有焦半径公式的弦长为.
即弦AB的长度为
在解决直线与圆锥曲线的弦长问题时,通常应用韦达定理与弦长公式,若涉及到焦点弦长问题,则可利用焦半径公式求解,可大大简化运算过程.
弦长问题在高考题及模拟题中经常出现,从理论上讲,利用弦长公式就能解决问题。
但实际中,除个别简单题(本文从略)外,直接利用弦长公式会使问题变得非常繁琐。
本文试图对此进行系统的总结,给出不同类型题目的解决策略。
一、两线段相等
类型I有相同端点的不共线线段
例1、(2204,北京西城区二模)
已知定点,过点A做倾斜角为的直线L,交抛物线于A、B两点,且成等比数列
(1)求抛物线方程;
(2)问
(1)中抛物线上是否存在D,使得成立?
若存在,求出D的坐标。
策略分析:
由于D、B、C三点不共线,要使得成立,只需取BC中点P,满足。
由于这种类型题目的常见性与基础性,我们再举一个例子作为练习:
例2、(2005,孝感二模)
已知
(1)求点P(x,y)的轨迹方程C;
(2)若直线L:
()与曲线C交与AB两点,D(0,-1),且有,试求b的取值范围。
类型II共线线段
例3、直线L与x轴不垂直,与抛物线交于AB两点,与椭圆交于CD两点,与x轴交于点M,且,求的取值范围。
不妨设A在B下方,C在D下方,由于ABCD共线,要使,只需,即,结合韦达定理可得结果。
二、三线段相等
类型I正三角形
例4、(2003,北京春招)
已知动圆过定点P(1,0)且与定直线L:
x=-1相切,点C在L上
(1)求动圆圆心的轨迹M的方程;
(2)设过点P且斜率为的直线与曲线M相交于AB两点
①问三角形ABC能否为正三角形?
若能,求点C坐标;
若不能,说明理由;
②问三角形ABC能否为钝角三角形?
若能,求点C纵坐标的取值范围;
若不能,说明理由。
对于本题涉及的正三角形问题,其突出特点是,落在直线上的两个顶点实际是已知的。
所以,只需设C(-1,y),根据和分别列方程求y值,判断两个y值是否相等。
例5、(2005,学海大联考六)
如图,在直角坐标系中,点A(-1,0)、B(1,0)、P(x,y),设,与x轴正方向的夹角分别为,且
(1)求点P的轨迹G的方程;
(2)设过点C的直线L与轨迹G交于
不同的两点MN,问在x轴上是否存在一点
E使为正三角形?
设直线L:
y=kx-1,由韦达定理求出MN中点F的坐标,再根据,求出;
利用弦长公式求出|MN|,再根据解得。
注意代入验证。
例6、(2004,广东高考卷)
设直线与椭圆相交于AB两点,又与双曲线相交于CD两点,CD三等分线段AB,求的方程。
实质是。
当与x轴垂直时,方程为;
当与x轴不垂直时,先由,利用例3的方法,求得或,然后分类讨论求出ABCD的横坐标,利用,得出和。
三、线段成比例
类型I两个已知点一个未知点
例7、(2005,黄冈调研)
已知椭圆C的方程为,双曲线的两条渐近线为,过椭圆的右焦点F做直线L,使,又L与交于点P。
设L与椭圆的两个交点由上到下依次为AB,
(1)当夹角为,双曲线的焦距为4时,求椭圆C的方程;
(2)当时,求的最大值。
F点和P点的坐标皆可求,根据定比分点公式,求出A点坐标,代入椭圆方程即可。
类型II一个已知点两个未知点
例8、(2004,全国卷)
设双曲线C:
(a>
0)与直线L:
相交于两个不同的点AB
(1)求双曲线的离心率e的取值范围;
(2)设直线L与y轴的交点为P,且,求a值。
设A、B、,由知,于是,,,前式平方除以后式消掉,结合韦达定理即可求出a。
注:
更一般的,若某直线与圆锥曲线交点AB,且,其中,,则,可以算出和,利用例8思想求解;
或者,使用以下技巧,结合韦达定理。
(2)焦点三角形问题
椭圆或双曲线上一点P,与两个焦点、构成的三角形问题,常用正、余弦定理搭桥。
典型例题设P(x,y)为椭圆上任一点,,为焦点,,。
(1)求证离心率;
(2)求的最值。
(1)设,,由正弦定理得。
得,
(2)。
当时,最小值是;
当时,最大值是。
(3)直线与圆锥曲线位置关系问题
直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组,进而转化为一元二次方程后利用判别式,应特别注意数形结合的办法
【高考会这样考】
1.考查圆锥曲线中的弦长问题、直线与圆锥曲线方程的联立、根与系数的关系、整体代入和设而不求的思想.
2.高考对圆锥曲线的综合考查主要是在解答题中进行,考查函数、方程、不等式、平面向量等在解决问题中的综合运用.
基础梳理
1.直线与圆锥曲线的位置关系
判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时,通常将直线l的方程Ax+By+C=0(A、B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x,y)=0,消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程.
即消去y后得ax2+bx+c=0.
(1)当a≠0时,设一元二次方程ax2+bx+c=0的判别式为Δ,则Δ>0⇔直线与圆锥曲线C相交;
Δ=0⇔直线与圆锥曲线C相切;
Δ<0⇔直线与圆锥曲线C无公共点.
(2)当a=0,b≠0时,即得到一个一次方程,则直线l与圆锥曲线C相交,且只有一个交点,此时,若C为双曲线,则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行;
若C为抛物线,则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行.
2.直线与圆锥曲线的位置关系:
⑴.从几何角度看:
(特别注意)要特别注意当直线与双曲线的渐进线平行时,直线与双曲线只有一个交点;
当直线与抛物线的对称轴平行或重合时,直线与抛物线也只有一个交点。
⑵.从代数角度看:
设直线L的方程与圆锥曲线的方程联立得到。
①.若=0,当圆锥曲线是双曲线时,直线L与双曲线的渐进线平行或重合;
当圆锥曲线是抛物线时,直线L与抛物线的对称轴平行或重合。
②.若,设。
.时,直线和圆锥曲线相交于不同两点,相交。
b.时,直线和圆锥曲线相切于一点,相切。
c.时,直线和圆锥曲线没有公共点,相离。
双基自测
1.(人教A版教材习题改编)直线y=kx-k+1与椭圆+=1的位置关系为( ).
A.相交 B.相切
C.相离 D.不确定
解析 直线y=kx-k+1=k(x-1)+1恒过定点(1,1),而点(1,1)在椭圆内部,故直线与椭圆相交.
答案 A
2.(2012·
泉州质检)“直线与双曲线相切”是“直线与双曲线只有一个公共点”的( ).
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析 与渐近线平行的直线也与双曲线有一个公共点.
3.已知以F1(-2,0),F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x+y+4=0有且仅有一个交点,则椭圆的长轴长为( ).
A.3B.2C.2D.4
解析 根据题意设椭圆方程为+=1(b>0),则将x=-y-4代入椭圆方程,得4(b2+1)y2+8b2y-b4+12b2=0,∵椭圆与直线x+y+4=0有且仅有一个交点,∴Δ=(8b2)2-4×
4(b2+1)·
(-b4+12b2)=0,即(b2+4)(b2-3)=0,∴b2=3,
长轴长为2=2.
答案 C
4.(2012·
成都月考)已知双曲线E的中心为原点,F(3,0)是E的焦点,过F的直线l与E相交于A,B两点,且AB的中点为N(-12,-15),则E的方程为( ).
A.-=1B.-=1C.-=1 D.-=1
解析 设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0),由题意知c=3,a2+b2=9,设A(x1,y1),B(x2,y2),则有:
两式作差得:
===,又AB的斜率是=1,所以将4b2=5a2代入a2+b2=9得a2=4,b2=5,所以双曲线的标准方程是-=1.
答案 B
5.(2011·
泉州模拟)y=kx+2与y2=8x有且仅有一个公共点,则k的取值为________.
解析 由得ky2-8y+16=0,若k=0,则y=2;
若k≠0,则Δ=0,即64-64k=0,解得k=1.故k=0或k=1.
答案 0或1
考向一 直线与圆锥曲线的位置关系
【例1】►(2011·
合肥模拟)设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围是( ).
A. B.[-2,2]
C.[-1,1] D.[-4,4]
[审题视点]设直线l的方程,将其与抛物线方程联立,利用Δ≥0解得.
解析 由题意得Q(-2,0).设l的方程为y=k(x+2),代入y2=8x得k2x2+4(k2-2)x+4k2=0,∴当k=0时,直线l与抛物线恒有一个交点;
当k≠0时,Δ=16(k2-2)2-16k4≥0,即k2≤1,∴-1≤k≤1,且k≠0,综上-1≤k≤1.
研究直线和圆锥曲线的位置关系