解析几何七种常规题型及方法文档格式.doc

1、点评：本题抓住的特点简便地得出方程，再根据得方程，从而求得待定系数，得出椭圆的方程，解决直线与圆锥曲线的弦长问题时，常用韦达定理与弦长公式。二、 中点弦长问题：具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数。 典型例题 给定双曲线。过A（2，1）的直线与双曲线交于两点 及，求线段的中点P的轨迹方程。 分析：设，代入方程得，。 两式相减得 。 又设中点P（x,y），将，代入，当时得 又， 代入得。当弦斜率不存在时，其中点P（2，0）的坐标也满足上述方程。因此所求轨迹方程是说明：本题要注意思维的严密性，必须单独考虑斜

2、率不存在时的情况。例2、过点作抛物线的弦AB，恰被点P平分，求AB的所在直线方程及弦AB的长度。因为所求弦通过定点P，所以弦AB所在直线方程关键是求出斜率，有P是弦的中点，所以可用作差或韦达定理求得，然后套用弦长公式可求解弦长.解法1：设以P为中点的弦AB端点坐标为，则有，两式相减，得又则，所以所求直线AB的方程为，即.解法2：设AB所在的直线方程为 由，整理得. 设，由韦达定理得， 又P是AB的中点，所以所求直线AB的方程为.由 整理得，则有弦长公式得，.解决弦的中点有两种常用方法，一是利用韦达定理及中点坐标公式来构造条件；二是利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造中点坐标和斜率的关系求解

3、，然后可套用弦长公式求解弦长.三、焦点弦长问题：例3、（同例1、）另解：椭圆的右焦点，的方程为： ， 由过右焦点，有焦半径公式的弦长为. 即弦AB的长度为在解决直线与圆锥曲线的弦长问题时，通常应用韦达定理与弦长公式，若涉及到焦点弦长问题，则可利用焦半径公式求解，可大大简化运算过程.弦长问题在高考题及模拟题中经常出现，从理论上讲，利用弦长公式就能解决问题。但实际中，除个别简单题（本文从略）外，直接利用弦长公式会使问题变得非常繁琐。本文试图对此进行系统的总结，给出不同类型题目的解决策略。一、两线段相等类型I 有相同端点的不共线线段例1、（2204，北京西城区二模） 已知定点，过点A做倾斜角为的直线

4、L，交抛物线于A、B两点，且成等比数列（1）求抛物线方程；（2）问（1）中抛物线上是否存在D，使得成立？若存在，求出D的坐标。策略分析：由于D、B、C三点不共线，要使得成立，只需取BC中点P，满足。 由于这种类型题目的常见性与基础性，我们再举一个例子作为练习：例2、（2005，孝感二模） 已知（1）求点P（x,y）的轨迹方程C；（2）若直线L：（）与曲线C交与AB两点，D（0,1），且有，试求b的取值范围。类型II 共线线段例3、直线L与x轴不垂直，与抛物线交于AB两点，与椭圆交于CD两点，与x轴交于点M，且，求的取值范围。不妨设A在B下方，C在D下方，由于ABCD共线，要使,只需，即，结合韦

5、达定理可得结果。二、三线段相等类型I 正三角形例 4、（2003，北京春招） 已知动圆过定点P（1,0）且与定直线L：x=1相切，点C在L上（1）求动圆圆心的轨迹M的方程；（2）设过点P且斜率为的直线与曲线M相交于AB两点问三角形ABC能否为正三角形？若能，求点C坐标；若不能，说明理由；问三角形ABC能否为钝角三角形？若能，求点C纵坐标的取值范围；若不能，说明理由。对于本题涉及的正三角形问题，其突出特点是，落在直线上的两个顶点实际是已知的。所以，只需设C（1，y），根据和分别列方程求y值，判断两个y值是否相等。例5、（2005，学海大联考六） 如图，在直角坐标系中，点A（-1,0）、B（1,0

6、）、P（x,y），设，与x轴正方向的夹角分别为，且（1）求点P的轨迹G的方程；（2）设过点C的直线L与轨迹G交于不同的两点MN，问在x轴上是否存在一点E使为正三角形？设直线L：y=kx-1，由韦达定理求出MN中点F的坐标，再根据，求出；利用弦长公式求出MN，再根据解得。注意代入验证。例6、（2004，广东高考卷）设直线与椭圆相交于AB两点，又与双曲线相交于CD两点，CD三等分线段AB，求的方程。实质是。当与x轴垂直时，方程为；当与x轴不垂直时，先由，利用例3的方法，求得或，然后分类讨论求出ABCD的横坐标，利用，得出和。三、线段成比例类型I 两个已知点一个未知点例7、（2005，黄冈调研） 已

7、知椭圆C的方程为，双曲线的两条渐近线为，过椭圆的右焦点F做直线L，使，又L与交于点P。设L与椭圆的两个交点由上到下依次为AB，（1）当夹角为，双曲线的焦距为4时，求椭圆C的方程；（2）当时，求的最大值。F点和P点的坐标皆可求，根据定比分点公式，求出A点坐标，代入椭圆方程即可。类型II 一个已知点两个未知点例8、（2004，全国卷） 设双曲线C：（a0）与直线L：相交于两个不同的点AB（1）求双曲线的离心率e的取值范围；（2）设直线L与y轴的交点为P，且，求a值。设A、B、，由知，于是，前式平方除以后式消掉，结合韦达定理即可求出a。注：更一般的，若某直线与圆锥曲线交点AB，且，其中，则，可以算出

8、和，利用例8思想求解；或者，使用以下技巧，结合韦达定理。（2）焦点三角形问题椭圆或双曲线上一点P，与两个焦点、构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。 典型例题 设P（x,y）为椭圆上任一点，为焦点，。 （1）求证离心率； （2）求的最值。（1）设，由正弦定理得。 得 ， （2）。 当时，最小值是； 当时，最大值是。（3）直线与圆锥曲线位置关系问题 直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式，应特别注意数形结合的办法【高考会这样考】1考查圆锥曲线中的弦长问题、直线与圆锥曲线方程的联立、根与系数的关系、整体代入和设而不求的思想2高考对圆锥曲线的综合考查主要是

9、在解答题中进行，考查函数、方程、不等式、平面向量等在解决问题中的综合运用基础梳理1直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程AxByC0（A、B不同时为0）代入圆锥曲线C的方程F（x，y）0，消去y（也可以消去x）得到一个关于变量x（或变量y）的一元方程即消去y后得ax2bxc0.（1）当a0时，设一元二次方程ax2bxc0的判别式为，则0直线与圆锥曲线C相交；0直线与圆锥曲线C相切；0直线与圆锥曲线C无公共点（2）当a0，b0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C

10、为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行2.直线与圆锥曲线的位置关系：.从几何角度看：（特别注意）要特别注意当直线与双曲线的渐进线平行时，直线与双曲线只有一个交点；当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线也只有一个交点。.从代数角度看：设直线L的方程与圆锥曲线的方程联立得到。. 若=0，当圆锥曲线是双曲线时，直线L与双曲线的渐进线平行或重合；当圆锥曲线是抛物线时，直线L与抛物线的对称轴平行或重合。.若，设。.时，直线和圆锥曲线相交于不同两点，相交。b.时，直线和圆锥曲线相切于一点，相切。c.时，直线和圆锥曲线没有公共点，相离。双基自测1（人教A版教材习题改编）直线ykxk1与

11、椭圆1的位置关系为（）A相交 B相切C相离 D不确定解析直线ykxk1k（x1）1恒过定点（1,1），而点（1,1）在椭圆内部，故直线与椭圆相交答案A2（2012泉州质检）“直线与双曲线相切”是“直线与双曲线只有一个公共点”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析与渐近线平行的直线也与双曲线有一个公共点3已知以F1（2,0），F2（2,0）为焦点的椭圆与直线xy40有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为（）A3 B2 C2 D4解析根据题意设椭圆方程为1（b0），则将xy4代入椭圆方程，得4（b21）y28b2yb412b20，椭圆与直线xy40有且仅有一个交

12、点，（8b2）244（b21）（b412b2）0，即（b24）（b23）0，b23，长轴长为22.答案C4（2012成都月考）已知双曲线E的中心为原点，F（3,0）是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N（12，15），则E的方程为（）A.1 B.1 C.1 D.1解析设双曲线的标准方程为1（a0，b0），由题意知c3，a2b29，设A（x1，y1），B（x2，y2），则有：两式作差得：，又AB的斜率是1，所以将4b25a2代入a2b29得a24，b25，所以双曲线的标准方程是1.答案B5（2011泉州模拟）ykx2与y28x有且仅有一个公共点，则k的取值为_解析由得ky28y160，若k0，则y2；若k0，则0，即6464k0，解得k1.故k0或k1.答案0或1考向一直线与圆锥曲线的位置关系【例1】（2011合肥模拟）设抛物线y28x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（）A. B2,2C1,1 D4,4审题视点 设直线l的方程，将其与抛物线方程联立，利用0解得解析由题意得Q（2,0）设l的方程为yk（x2），代入y28x得k2x24（k22）x4k20，当k0时，直线l与抛物线恒有一个交点；当k0时，16（k22）216k40，即k21，1k1，且k0，综上1k1. 研究直线和圆锥曲线的位置关系