立体几何专题二-存在性问题讲义Word格式文档下载.doc
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证明空间线面平行、垂直关系；
求空间的角和距离；
利用空间向量，将空间中的性质及位置关系的判定与向量运算相结合，使几何问题代数化等等。
考查的重点是点线面的位置关系及空间距离和空间角，突出空间想象能力，侧重于空间线面位置关系的定性与定量考查，算中有证。
其中选择、填空题注重几何符号语言、文字语言、图形语言三种语言的相互转化，考查学生对图形的识别、理解和加工能力；
解答题则一般将线面集中于一个几何体中，即以一个多面体为依托，设置几个小问，设问形式以证明或计算为主。
二、热点题型范例
题型一、平行与垂直的证明；
题型二、空间角与距离；
题型三、探索性问题
题型四、折叠、展开问题；
题型五、表面积与体积问题
三、方法与技巧（空间向量的应用）
1．异面直线所成的角
设a、b是异面直线，分别是直线a,b上的向量，则异面直线a,b所成的角与的夹角的余弦值的绝对值相等.
2.二面角：
求两平面法向量的夹角与其夹角的补角
3．距离：
（在两者之间各取一点A与点B，是法向量）
3.解决有关垂直问题的方法：
（1）．线线垂直：
（2）．线面垂直：
（是直线的方向向量，平面法向量）
（3）．面面垂直：
四、实例解析
例1、如图，在三棱柱中，，顶点在底面上的射影恰为点B，且
B
A
C
A1
B1
C1
．
（1）求棱与BC所成的角的大小；
（2）在线段上确定一点P，使，
并求出二面角的平面角的余弦值．ks5u
解：
（1）如图，以A为原点建立空间直角坐标系，
z
x
y
P
则，
，．
，
故与棱BC所成的角是．………………6分
（2）设，
则．
于是（舍去），
则P为棱的中点，其坐标为．……………8分
设平面的法向量为，
则,即
令
故……………11分
而平面的法向量=（1,0,0），则
故二面角的平面角的余弦值是．………………14分
例2．如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，，E，F分别是BC,PC的中点.
（Ⅰ）证明：
AE⊥PD；
（Ⅱ）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为，
求二面角E—AF—C的余弦值.
由四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°
，可得△ABC为正三角形.
因为E为BC的中点，所以AE⊥BC.
又BC∥AD，因此AE⊥AD.
因为PA⊥平面ABCD，AE平面ABCD，所以PA⊥AE.
而PA平面PAD，AD平面PAD且PA∩AD=A，
所以AE⊥平面PAD，又PD平面PAD.
所以AE⊥PD.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，
建立如图所示的空间直角坐标系，又E、F分别为BC、PC的中点，
所以A（0，0，0），B（，-1，0），C（C，1，0），
D（0，2，0），P（0，0，2），E（，0，0），F（），
所以
设平面AEF的一法向量为
则因此
取
因为BD⊥AC，BD⊥PA，PA∩AC=A，所以BD⊥平面AFC，
故为平面AFC的一法向量.
又=（），所以cos＜,＞=
因为二面角E-AF-C为锐角，所以所求二面角的余弦值为
例3、如图3，在四面体中,，且
图3
（1）设为的中点，证明：
在上存在一点，使，并计算的值；
（2）求二面角的平面角的余弦值.
解法一：
（1）在平面内作交于，连接.
又，，
，
.
取为的中点，则，
，
在等腰中，，
，
在中，，，
在中，，
，
（2）连接，由，知：
.
又，又由，.
又,又是的中点,
,,
为二面角的平面角
在等腰中，，
在中，，在中,.
解法二：
在平面中,过点,作交于,取为坐标原点，分别以，,所在的直线为轴，轴,轴，建立空间直角坐标系（如图所示）
则
为中点，
设
.
即，.
所以存在点使得且.
（2）记平面的法向量为,则由，，且，
得，故可取
又平面的法向量为..
二面角的平面角是锐角，记为，则
例4、如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=，BC=1，PA=2，E为PD的中点.
（Ⅰ）求直线AC与PB所成角的余弦值；
（Ⅱ）在侧面PAB内找一点N，使NE⊥面PAC，并求出N点到AB和AP的距离.
解法1：
（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，
则A、B、C、D、P、E的坐标为A（0，0，0）、
B（，0，0）、C（，1，0）、D（0，1，0）、
P（0，0，2）、E（0，，1），
从而
设的夹角为θ，则
∴AC与PB所成角的余弦值为.
（Ⅱ）由于N点在侧面PAB内，故可设N点坐标为（x，O，z），
则，由NE⊥面PAC可得，
∴
即N点的坐标为，从而N点到AB、AP的距离分别为1，.
解法2：
（Ⅰ）设AC∩BD=O，连OE，则OE//PB，
∴∠EOA即为AC与PB所成的角或其补角.
在△AOE中，AO=1，OE=
∴
即AC与PB所成角的余弦值为.
（Ⅱ）在面ABCD内过D作AC的垂线交AB于F，则.
连PF，则在Rt△ADF中
设N为PF的中点，连NE，则NE//DF，
∵DF⊥AC，DF⊥PA，∴DF⊥面PAC，从而NE⊥面PAC.
∴N点到AB的距离，N点到AP的距离
例5、如图，已知平面∥平面β∥平面γ，且β位于与γ之间．点A、D∈，C、F∈γ，
AC∩β＝B，DF∩β＝E.
（1）求证：
=；
（2）设AF交β于M，AD与CF不平行，与β间距离为h′，与γ间距离为h，当的值是多少时，S△BEM的面积最大？
（1）证明：
，，
同理：
（2）由
（1）知
同理：
据题意知：
AD与CF异面，只是在间变化位置，故CF、AD是常量，
是AD与CF所成角的正弦值，也是常量.
令，只要考查函数的最值，
显然，当时，即时，有最大值.
当时，即在两平面的中间时面积最大.
例5、如图5，在三棱柱中，侧棱底面,为的中点,.
（1）求证：
平面；
（2）若四棱锥的体积为,求二面角的正切值.
（1）证明:
连接,设与相交于点,连接,
∵四边形是平行四边形,
∴点为的中点.
∵为的中点，
∴为△的中位线
∴.……2分
∵平面,平面,
∴平面.……4分
（2）解:
依题意知，，
∵平面,平面,
∴平面平面，且平面平面.
作，垂足为，则平面，……6分
设，
在Rt△中，，，
∴四棱锥的体积
.……8分
依题意得，，即.……9分
（以下求二面角的正切值提供两种解法）
解法1:
∵,平面，平面，
∴平面.
取的中点，连接，则,且.
作，垂足为，连接，
由于，且，
∵平面,
∴.
∴为二面角的平面角.……12分
由Rt△～Rt△,得,
得,
在Rt△中,.
∴二面角的正切值为.……14分
解法2:
∵,平面，平面，
∴平面.
以点为坐标原点,分别以,,所在直线为轴,
轴和轴,建立空间直角坐标系.
则,,,.
∴,
设平面的法向量为,
由及,得
令,得.
故平面的一个法向量为,……11分
又平面的一个法向量为,
∴,.……12分
∴,.……13分
∴,.
∴二面角的正切值为.……14分
例6．如图6，正方形所在平面与圆所在平面相交于，线段为圆的弦，垂直于圆所在平面，垂足是圆上异于、的点，，圆的直径为9．
（1）求证：
平面平面；
（2）求二面角的平面角的正切值．
（1）证明：
∵垂直于圆所在平面，在圆所在平面上，
∴．
在正方形中，，
∵，∴平面．
∵平面，
∴平面平面．
（2）解法1：
∵平面，平面，
∴为圆的直径，即．
设正方形的边长为，
在△中，，
由，解得，．
过点作于点，作交于点，连结，
G
F
由于平面，平面，
∴．
∵，
∴平面．
∵，，
∴是二面角的平面角．
在△中，，，，
在△中，，
故二面角的平面角的正切值为．
∴为圆的直径，即．
由，解得，．
以为坐标原点，分别以、所在的直线为轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，
．
设平面的法向量为，
则即
取，则是平面的一个法向量．
则
即
∵，
故二面角的平面角的正切值为．
例7、在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,AB∥CD,PD=CD=AD=AB=a,
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