江苏省南京市2015-2016学年高二(上)期末数学试卷(文科)(解析版)Word文档格式.doc

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12．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x，y=0，x=t（t＞0）围成的△OAB的面积为S（t），则S（t）在t=2时的瞬时变化率是______．

13．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：

x+y+m=0和圆M：

x2+y2=9，若圆M上存在点P，使得P到直线l的距离为2，则实数m的取值范围是______．

14．已知函数y=x3﹣3x在区间[a，a+1]（a≥0）上的最大值和最小值的差为2，则满足条件的实数a的所有值是______．

二、解答题：

本大题共6小题，共计58分.应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C过点（0，2），其焦点为F1（﹣，0），F2（，0）．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）已知点P在椭圆C上，且PF1=4，求△PF1F2的面积．

16．已知集合A={x|1＜x＜3}，集合B={x|x2﹣ax＜0}．

（1）若a=2，求A∩B；

（2）若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数a的取值范围．

17．在平面直角坐标系xOy中，已知圆M经过点A（1，0），B（3，0），C（0，1）．

（1）求圆M的方程；

（2）若直线l“mx﹣2y﹣（2m+1）=0与圆M交于点P，Q，且•=0，求实数m的值．

18．A，B两地相距300km，汽车从A地以vkm/h的速度匀速行驶到B地（速度不得超过60km/h）．已知汽车每小时的运输成本由固定成本和可变成本组成，固定成本为250元，可变成本（单位：

元）与速度v的立方成正比，比例系数，设全程的运输成本为y元．

（1）求y关于v的函数关系；

（2）为使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？

19．已知函数f（x）=lnx．

（1）若直线y=2x+p（p∈R）是函数y=f（x）图象的一条切线，求实数p的值；

（2）若函数g（x）=x﹣﹣2f（x）（m∈R）有两个极值点，求实数m的取值范围．

20．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：

+=1（m＞0）的离心率为．

（1）求m的值；

（2）设点A为椭圆C的上顶点，问是否存在椭圆C的一条弦AB，使直线AB与圆（x﹣1）2+y2=r2（r＞0）相切，且切点P恰好为线段AB的中点？

若存在，其满足条件的所有直线AB的方程和对应的r的值？

若不存在，说明理由．

参考答案与试题解析

“∃x∈Q，x2﹣8=0”的否定是　∀x∈Q，x2﹣8≠0　．

【考点】命题的否定．

【分析】利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．

【解答】解：

因为特称命题的否定是全称命题，所以命题：

“∃x∈Q，x2﹣8=0”的否定是：

∀x∈Q，x2﹣8≠0．

故答案为：

2．在平面直角坐标系xOy中，若抛物线y2=2px经过点（4，2），则实数p=　1　．

【考点】抛物线的标准方程．

【分析】利用抛物线经过的点，求解即可．

抛物线y2=2px经过点（4，2），

可得4=4P，

解得p=1．

1．

3．在平面直角坐标系xOy中，圆x2+y2﹣6x+8y+21=0的半径为　2　．

【考点】圆的一般方程．

【分析】利用圆的半径的求法．

圆x2+y2﹣6x+8y+21=0的半径：

r==2．

故答案：

2．

4．在平面直角坐标系xOy中，双曲线x2﹣y2=1的渐近线方程是　y=±

x　．

【考点】双曲线的简单性质；

双曲线的标准方程．

【分析】直接利用双曲线的标准方程求出渐近线方程即可．

双曲线x2﹣y2=1的渐近线方程：

y=±

x．

椭圆+y2=1的焦点在y轴上，则p是q的　充要　条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”填空）

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．

【分析】q：

椭圆+y2=1的焦点在y轴上，可得0＜m＜1．即可判断出结论．

p：

0＜m＜1，

q：

椭圆+y2=1的焦点在y轴上，∴0＜m＜1．

则p是q的充要条件．

充要．

6．函数f（x）=x+sinx的图象在点O（0，0）处的切线方程是　y=2x　．

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．

【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率，由点斜式方程可得切线的方程．

函数f（x）=x+sinx的导数为f′（x）=1+cosx，

即有图象在点O（0，0）处的切线斜率为k=1+cos0=2，

则图象在点O（0，0）处的切线方程为y=2x．

y=2x．

7．已知实数x，y满足，则z=x﹣2y的最大值是　2　．

【考点】简单线性规划．

【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．

化目标函数z=x﹣2y为，

由图可知，当直线过A（2，2）时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为2．

8．如图，在平面直角坐标系xOy中，以正方形ABCD的两个顶点A，B为焦点，且过点C，D的双曲线的离心率是　　．

【考点】双曲线的简单性质．

【分析】设出双曲线方程求出C的坐标，代入化简求解双曲线的离心率即可．

设双曲线方程为：

，以正方形ABCD的两个顶点A，B为焦点，且过点C，D的双曲线，

可得C（c，2c），

代入双曲线方程：

，

即．

可得，

解得e2=3+2，

∴e=．

．

9．函数f（x）=（e为自然对数的底数）的最大值是　　．

【考点】函数的最值及其几何意义．

【分析】求出函数的导数，求出单调区间，可得极大值，也为最大值，计算即可得到所求值．

函数f（x）=的导数为f′（x）==，

当x＞1时，f′（x）＜0，f（x）递减；

当x＜1时，f′（x）＞0，f（x）递增．

即有x=1处取得极大值，且为最大值．

10．在平面直角坐标系xOy中，已知点O（0，0），A（3，0），动点P满足2PO=PA，则点P的轨迹方程是　x2+y2+2x﹣3=0　．

【考点】轨迹方程．

【分析】利用点O（0，0），A（3，0），动点P满足2PO=PA，直接计算，即可求出点P的轨迹方程．

设P（x，y），则

∵点O（0，0），A（3，0），动点P满足2PO=PA，

∴4x2+4y2=（x﹣3）2+y2，

∴x2+y2+2x﹣3=0．

x2+y2+2x﹣3=0．

11．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=4x上一点P到点A（3，0）的距离等于它到准线的距离，则PA=　3　．

【考点】抛物线的简单性质．

【分析】由抛物线的定义，可得PA=PF，准线方程为x=﹣1，求出P的横坐标，即可得出结论．

由抛物线的定义，可得PA=PF，准线方程为x=﹣1

∵A（3，0），F（1，0），

∴P的横坐标为2，

∴PA=2+1=3，

3．

12．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x，y=0，x=t（t＞0）围成的△OAB的面积为S（t），则S（t）在t=2时的瞬时变化率是　2　．

【考点】变化的快慢与变化率．

【分析】先用t表示出三角形的面积，再求导，代值计算即可．

由|AB|==t，

∴S（t）=|OA|•|OB|=t•t=t2，

∴S′（t）=t，

∴S′

（2）=2，

x2+y2=9，若圆M上存在点P，使得P到直线l的距离为2，则实数m的取值范围是　[﹣5，5]　．

【考点】直线与圆的位置关系．

【分析】设P（3cosθ，3sinθ），0≤θ＜2π，求出P到直线l的距离，利用三铁函数的性质能求出实数m的取值范围．

∵直线l：

x2+y2=9，若圆M上存在点P，使得P到直线l的距离为2，

∴设P（3cosθ，3sinθ），0≤θ＜2π，

∴P到直线l的距离d===2，

∵﹣3，|3+m|=2，

∴﹣5，

∴实数m的取值范围是[﹣5，5]．

[﹣5，5]．

14．已知函数y=x3﹣3x在区间[a，a+1]（a≥0）上的最大值和最小值的差为2，则满足条件的实数a的所有值是　a=﹣1或0　．

【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．

【分析】求出函数的导数，通过讨论a的范围，确定函数的单调区间，求出最大值和最小值，得到关于a的方程，解出即可．

y′=f′（x）=3（x+1）（x﹣1），

∴函数在在（﹣∞，﹣1）递增，在（﹣1，1）递减，在（1，+∞）递增，

①a=0时，函数在[0，1]递减，

函数的最大值是f（0）=0，函数的最小值是f

（1）=﹣2，

∴f（0）﹣f

（1）=0﹣（﹣2）=2，

故a=0符合题意；

②0＜a＜1时，1＜a+1＜2，

∴函数在[a，1）递减，在（1，a+1]递增，

函数的最小值是f

（1）=﹣2，

由f（a）=f（a+1），

得3a2+3a﹣2=0，解得：

a=，

（i）∴0≤a＜时，f（x）的最大值是f（a），

∴a3﹣3a﹣（﹣2）=2，解得a=0或或﹣，不合题意，舍，

（ii）≤a＜1时，f（x）的最大值是f（a+1），

∴（a+1）3﹣3（a+1）﹣（﹣2）=2，解得a=﹣1，符合题意，

③a≥1时，f（x）在[a，a+1]递增，

∴f（x）min=f（a），f（x）max=f（a+1），

∴（a+1）3﹣3（a+1）﹣a3+3a=2，

解得：

a=＜1，舍，

综上：

a=﹣1或0．

本大