正弦定理导学案人教版Word文件下载.doc
《正弦定理导学案人教版Word文件下载.doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《正弦定理导学案人教版Word文件下载.doc(3页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
彭江龙
学习目标:
1、通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理的内容及其证明方法;
2、会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。
重点:
正弦定理的探索和证明及其基本应用
难点:
已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。
自主学习
1、三角形的内角和=。
2、三角形的三边之间的关系:
。
3、三角形的边、角之间的关系:
。
4、的基本元素:
。
5、由已知的边和角求出未知的边和角,称为解三角形.已学习过任意三角形的哪些边角关系?
(内角和、大边对大角)是否可以把边、角关系准确量化?
________________________________________
6、在△ABC中,若,则________
(一)课题导入
如图,固定ABC的边CB及B,使边AC绕着顶点C转动.A
思考:
C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系?
B
C
显然,边AB的长度随着其对角C的大小的增大而增大.能否
用一个等式把这种关系精确地表示出来?
引出课题———正弦定理
《设计意图》:
激发学生学习兴趣,引导学生思考,为后续学习做好铺垫。
(二)探索研究:
在三角形,如果已知角A,所对的边BC长为a,角B所对的边AC长为b,角C所对的边AB长为c,研究角A、B、C与边a、b、c之间的关系
首先我们研究特殊的三角形————直角三角形
如图1.1-2,在RtABC中,设BC=a,AC=b,AB=c,
老师:
要建立角与边之间了连线,就目前而言?
可通过什么建立?
生:
正弦、余弦、正切函数定义。
根据锐角三角函数中正弦函数的定义,有,,又
则
从而在直角三角形ABC中,
1页
探究2:
那么对于任意的三角形,以上关系式是否仍然成立?
可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况:
学生合作探究,讨论:
当ABC是锐角三角形时,设边AB上的高是CD,根据任意角三角函数的定义,
有CD=______=_______,则______=________,
同理可得________=_______,从而.
类似可推出,当ABC是钝角三角形时,以上关系式仍然成立.
由学生课后自己推导.
激发学生学习兴趣,让学生主动参与,自己摸索探究过程。
从上面的研探过程,可得以下定理
正弦定理:
在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即
精讲点评
例1.在中,已知,,cm,解三角形。
分析:
由已知条件,知道两个角的大小,及其中一条边,根据正弦定理可求出另外一条边,另外在已知两个角的大小,还可求出第三个角,故课求出第三条边
例2、(2010山东)在中,a、b、c分别为角A、B、C的对边,若a=,b=2,sinB+cosB=,则角A的大小。
分析:
已知两边,若再已知一角即可,由sinB+cosB=,两边平方可得B的大小,进而可求解。
老师小结:
看清属于哪一类型,明确已知量、未知量;
并注意已知两边和其中一边的对角解三角形时,可能有两解的情形。
2页
例3(其它证法:
)
证明一:
(等积法)在任意△ABC当中S△ABC=.
两边同除以即得:
______=_______=______
证明二:
(外接圆法)如图所示,∠A=∠D,∴,
同理=2R,=2R.
(证法二):
过点A作,C
由向量的加法可得
则AB
∴
∴,即
同理,过点C作,可得
从而当为钝角时,同理可得。
当堂练习
1、已知△ABC中,A∶B∶C=1∶1∶4,则a∶b∶c等于().
A.1∶1∶4B.1∶1∶2 C.1∶1∶ D.2∶2∶
2、在△ABC中,若,则等于()
A.B.C.D.
3、在△ABC中,若,则。
4、三角形ABC中,a、b、c分别为角A、B、C的对边,设a+c=2b,A-C=,求sinB的值。
变式:
在中,已知cm,cm,,解三角形(角度精确到,边长精确到1cm)。
属于哪一种类型?
第二种
应该如何求解?
3页
课堂总结:
(1)定理的表示形式:
;
或,,
(2)正弦定理的应用范围:
①已知两角和任一边,求其它两边及一角;
②已知两边和其中一边对角,求另一边的对角。
课后巩固:
A:
1.在△中,若,则等于()
A.B.C.D.
2.在△ABC中,若,则等于()
A.B.C.D.
3.在△ABC中,角均为锐角,且则△ABC的形状是()
A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形
4、已知△ABC中,a=4,b=8,∠A=30°
,则∠B等于.
1.等腰三角形一腰上的高是,这条高与底边的夹角为,则底边长为()
A.B.C.D.
2.在△ABC中,若,则△ABC的形状是()
A.直角三角形B.等边三角形C.不能确定D.等腰三角形
3.已知ABC中,A,,则=.
4.在△ABC中,,则的最大值是_______________。
5、在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c,已知
(I)求sinC的值;
(Ⅱ)当a=2,2sinA=sinC时,求c的长.
4页
南充十一中学案稿