1、 彭江龙 学习目标:1、 通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理的内容及其证明方法;2、 会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。重点:正弦定理的探索和证明及其基本应用难点:已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。自主学习1、三角形的内角和= 。2、三角形的三边之间的关系: 。3、三角形的边、角之间的关系: 。4、的基本元素: 。5、由已知的边和角求出未知的边和角,称为解三角形. 已学习过任意三角形的哪些边角关系?(内角和、大边对大角) 是否可以把边、角关系准确量化? _6、在ABC中,若,则_(一)课题导入如图,固定ABC的边CB及B,使边AC绕着顶点C
2、转动. A思考:C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系?BC显然,边AB的长度随着其对角C的大小的增大而增大.能否用一个等式把这种关系精确地表示出来? 引出课题正弦定理设计意图:激发学生学习兴趣,引导学生思考,为后续学习做好铺垫。(二)探索研究:在三角形,如果已知角A,所对的边BC长为a,角B所对的边AC长为b,角C所对的边AB长为c,研究角A、B、C与边a、b、c之间的关系首先我们研究特殊的三角形直角三角形 如图11-2,在RtABC中,设BC=a,AC=b,AB=c,老师:要建立角与边之间了连线,就目前而言?可通过什么建立?生:正弦、余弦、正切函数定义。 根据锐角三角函数中正弦函
3、数的定义,有,又, 则 从而在直角三角形ABC中, 1页探究2:那么对于任意的三角形,以上关系式是否仍然成立?可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况:学生合作探究,讨论:当ABC是锐角三角形时,设边AB上的高是CD,根据任意角三角函数的定义, 有CD=_=_,则_=_, 同理可得_=_, 从而 类似可推出,当ABC是钝角三角形时,以上关系式仍然成立由学生课后自己推导.激发学生学习兴趣,让学生主动参与,自己摸索探究过程。从上面的研探过程,可得以下定理正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即精讲点评 例1在中,已知,cm,解三角形。 分析:由已知条件,知道两个角的大小,及其中一条边
4、,根据正弦定理可求出另外一条边,另外在已知两个角的大小,还可求出第三个角,故课求出第三条边例2、(2010山东)在中,a、b、c分别为角A、B、C的对边,若a=,b=2,sinB+cosB=,则角A的大小。分析:已知两边,若再已知一角即可,由sinB+cosB=,两边平方可得B的大小,进而可求解。 老师小结:看清属于哪一类型,明确已知量、未知量;并注意已知两边和其中一边的对角解三角形时,可能有两解的情形。 2页例3 (其它证法:)证明一:(等积法)在任意ABC当中SABC=. 两边同除以即得: _=_=_证明二:(外接圆法)如图所示,AD,同理 =2R,2R. (证法二):过点A作, C由向量
5、的加法可得 则 A B ,即同理,过点C作,可得 从而 当为钝角时,同理可得。当堂练习1、已知ABC中, ABC114,则abc等于( ).A114 B112 C11 D222、在ABC中,若,则等于( ) A B C D 3、在ABC中,若,则 。4、三角形ABC中,a、b、c分别为角A、B、C的对边,设a+c=2b,A-C=,求sinB的值。变式: 在中,已知cm,cm,解三角形(角度精确到,边长精确到1cm)。属于哪一种类型?第二种应该如何求解? 3页课堂总结:(1)定理的表示形式:;或,(2)正弦定理的应用范围: 已知两角和任一边,求其它两边及一角; 已知两边和其中一边对角,求另一边的
6、对角。课后巩固:A:1在中,若,则等于( )A B C D2在ABC中,若,则 等于( )A B C D3在ABC中,角均为锐角,且则ABC的形状是( )A直角三角形 B锐角三角形 C钝角三角形 D等腰三角形 4、已知ABC中,a4,b8,A30,则B等于 1等腰三角形一腰上的高是,这条高与底边的夹角为,则底边长为( ) A B C D2在ABC中,若,则ABC的形状是( ) A直角三角形 B等边三角形 C不能确定 D等腰三角形 3.已知ABC中,A,则= 4在ABC中,则的最大值是_。5、在ABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c,已知(I)求sinC的值;()当a=2, 2sinA=sinC时,求c的长 4页南充十一中学案稿
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