椭圆和双曲线练习题及答案解析Word格式.doc

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P点轨迹是椭圆．则命题甲是命题乙的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

选B　利用椭圆定义．若P点轨迹是椭圆，则|PA|＋|PB|＝2a（a＞0，常数），故甲是乙的必要条件．

反过来，若|PA|＋|PB|＝2a（a＞0，常数）是不能推出P点轨迹是椭圆的．

这是因为：

仅当2a＞|AB|时，P点轨迹才是椭圆；

而当2a＝|AB|时，P点轨迹是线段AB；

当2a＜|AB|时，P点无轨迹，故甲不是乙的充分条件．

综上，甲是乙的必要不充分条件．

4．如果方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是（　　）

A．（3，＋∞）B．（－∞，－2）C．（－∞，－2）∪（3，＋∞）D．（－6，－2）∪（3，＋∞）

选D　由a2＞a＋6＞0，得所以，所以a＞3或－6＜a＜－2.

5．已知P为椭圆C上一点，F1，F2为椭圆的焦点，且|F1F2|＝2，若|PF1|与|PF2|的等差中项为|F1F2|，则椭圆C的标准方程为（　　）

A.＋＝1B.＋＝1或＋＝1

C.＋＝1D.＋＝1或＋＝1

选B　由已知2c＝|F1F2|＝2，得c＝.

由2a＝|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝4，得a＝2.

∴b2＝a2－c2＝9.

故椭圆C的标准方程是＋＝1或＋＝1.

6．椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是（0,13），另一个顶点是（－10,0），则焦点坐标为（　　）

A．（±

13,0） B．（0，±

10）C．（0，±

13） D．（0，±

）

选D　由题意知椭圆焦点在y轴上，且a＝13，b＝10，则c＝＝，故焦点坐标为（0，±

）．

7．已知椭圆C：

＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点．若△AF1B的周长为4，则C的方程为（　　）

A.＋＝1B.＋y2＝1C.＋＝1D.＋＝1

选A　由椭圆的性质知，|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，

又∵△AF1B的周长＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4，∴a＝.

又e＝，∴c＝1.∴b2＝a2－c2＝2，∴椭圆的方程为＋＝1.

8．已知椭圆＋＝1与椭圆＋＝1有相同的长轴，椭圆＋＝1的短轴长与椭圆＋＝1的短轴长相等，则（　　）

A．a2＝25，b2＝16B．a2＝9，b2＝25

C．a2＝25，b2＝9或a2＝9，b2＝25D．a2＝25，b2＝9

选D　因为椭圆＋＝1的长轴长为10，焦点在x轴上，椭圆＋＝1的短轴长为6，

所以a2＝25，b2＝9.

9．已知椭圆＋＝1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P.若＝2，则椭圆的离心率是（　　）

A. B.C.D.

选D　∵＝2，∴||＝2||.又∵PO∥BF，∴＝＝，即＝，∴e＝＝.

10．过椭圆＋＝1（a＞b＞0）的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°

，则椭圆的离心率为（　　）

A.B.C.D.

选B　法一：

将x＝－c代入椭圆方程可解得点P－c，±

，故|PF1|＝，

又在Rt△F1PF2中∠F1PF2＝60°

，所以|PF2|＝，根据椭圆定义得＝2a，从而可得e＝＝.

法二：

设|F1F2|＝2c，则在Rt△F1PF2中，|PF1|＝c，|PF2|＝c.

所以|PF1|＋|PF2|＝2c＝2a，离心率e＝＝.

11．已知双曲线的a＝5，c＝7，则该双曲线的标准方程为（　　）

A.－＝1B.－＝1

C.－＝1或－＝1D.－＝0或－＝0

选C　由于焦点所在轴不确定，∴有两种情况．又∵a＝5，c＝7，∴b2＝72－52＝24.

12．已知m，n∈R，则“m·

n＜0”是“方程＋＝1表示双曲线”的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件

选C　若方程＋＝1表示双曲线，则必有m·

n＜0；

当m·

n＜0时，方程＋＝1表示双曲线．所以“m·

n＜0”是“方程＋＝1表示双曲线”的充要条件．

13．已知定点A，B且|AB|＝4，动点P满足|PA|－|PB|＝3，则|PA|的最小值为（　　）

A.B.C. D．5

选C　如图所示，点P是以A，B为焦点的双曲线的右支上的点，当P在M处时，|PA|最小，最小值为a＋c＝＋2＝.

14．双曲线－＝1的两个焦点分别是F1，F2，双曲线上一点P到焦点F1的距离是12，则点P到焦点F2的距离是（　　）

A．17B．7C．7或17D．2或22

选D　依题意及双曲线定义知，||PF1|－|PF2||＝10，即12－|PF2|＝±

10，∴|PF2|＝2或22，故选D.

15．焦点分别为（－2,0），（2,0）且经过点（2,3）的双曲线的标准方程为（　　）

A．x2－＝1B.－y2＝1C．y2－＝1 D.－＝1

选A　由双曲线定义知，2a＝－＝5－3＝2，

∴a＝1.又c＝2，∴b2＝c2－a2＝4－1＝3，因此所求双曲线的标准方程为x2－＝1.

16．下列双曲线中离心率为的是（　　）

A.－＝1　　　　　B.－＝1C.－＝1 D.－＝1

选B　由e＝得e2＝，∴＝，则＝，∴＝，即a2＝2b2.因此可知B正确．

17．中心在原点，实轴在x轴上，一个焦点在直线3x－4y＋12＝0上的等轴双曲线方程是（　　）

A．x2－y2＝8B．x2－y2＝4C．y2－x2＝8 D．y2－x2＝4

选A　令y＝0得，x＝－4，∴等轴双曲线的一个焦点坐标为（－4,0），

∴c＝4，a2＝c2＝×

16＝8，故选A.

18．（广东高考）若实数k满足0＜k＜5，则曲线－＝1与曲线－＝1的（　　）

A．实半轴长相等B.虚半轴长相等C．离心率相等D.焦距相等

选D　由0＜k＜5易知两曲线均为双曲线，且焦点都在x轴上，由于16＋5－k＝16－k＋5，所以两曲线的焦距相等．

19．双曲线＋＝1的离心率e∈（1,2），则k的取值范围是（　　）

A．（－10,0）B．（－12,0）C．（－3,0） D．（－60，－12）

选B　由题意知k＜0，∴a2＝4，b2＝－k.∴e2＝＝＝1－.

又e∈（1,2），∴1＜1－＜4，∴－12＜k＜0.

20．（天津高考）已知双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：

y＝2x＋10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（　　）

A.－＝1B.－＝1C.－＝1 D.－＝1

选A　由题意可知，双曲线的其中一条渐近线y＝x与直线y＝2x＋10平行，

所以＝2且左焦点为（－5,0），所以a2＋b2＝c2＝25，解得a2＝5，b2＝20，故双曲线的方程为－＝1.

二、填空题

21．椭圆＋＝1的焦距是2，则m的值是________．

当椭圆的焦点在x轴上时，a2＝m，b2＝4，c2＝m－4，又2c＝2，∴c＝1.∴m－4＝1，m＝5.

当椭圆的焦点在y轴上时，a2＝4，b2＝m，∴c2＝4－m＝1，∴m＝3.

答案：

3或5

22．已知椭圆C经过点A（2,3），且点F（2,0）为其右焦点，则椭圆C的标准方程为____________．

法一：

依题意，可设椭圆C的方程为＋＝1（a＞b＞0），且可知左焦点为F′（－2,0）．

从而有解得

又a2＝b2＋c2，所以b2＝12，故椭圆C的标准方程为＋＝1.

依题意，可设椭圆C的方程为＋＝1（a＞b＞0），则解得b2＝12或b2＝－3（舍去），从而a2＝16.所以椭圆C的标准方程为＋＝1.

＋＝1

23．椭圆的两焦点为F1（－4,0），F2（4,0），点P在椭圆上，若△PF1F2的面积最大为12，则椭圆的标准方程为__________．

资*源%库解析：

如图，当P在y轴上时△PF1F2的面积最大，.com∴×

8b＝12，∴b＝3.又∵c＝4，∴a2＝b2＋c2＝25.

∴椭圆的标准方程为＋＝1.

24．与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且短轴长为4的椭圆方程是________________．

椭圆9x2＋4y2＝36可化为＋＝1，因此可设待求椭圆为＋＝1.

又b＝2，故m＝20，得＋＝1.

25．椭圆＋＝1的离心率为，则m＝________.

当焦点在x轴上时，＝⇒m＝3；

当焦点在y轴上时，＝⇒m＝.综上，m＝3或m＝.

3或

26．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且过P（－5,4），则椭圆的方程为__________．

∵e＝＝，∴＝＝，∴5a2－5b2＝a2即4a2＝5b2.

设椭圆的标准方程为＋＝1（a＞0），an∵椭圆过点P（－5,4），∴＋＝1.解得a2＝45.∴椭圆的方程为＋＝1.

27．设m是常数，若点F（0,5）是双曲线－＝1的一个焦点，则m＝________.

由点F（0,5）可知该双曲线－＝1的焦点落在y轴上，所以m＞0，且m＋9＝52，解得m＝16.

16

28．经过点P（－3,2）和Q（－6，－7），且焦点在y轴上的双曲线的标准方程是__________