新课预习讲义选修2-1第二章双曲线(1)双曲线及其标准方程(教师版)Word下载.doc

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怎样区分？

复习3：

在椭圆的标准方程中，有何关系？

若，则

●预习教材：

第52页——第55页的内容。

●自主梳理：

1.双曲线的定义是_________________________________________________

2.双曲线的标准方程是_____________________________________________

●预习检测：

1．点F1，F2是两个定点，动点P满足||PF1|－|PF2||＝2a（a为非负常数），则动点P的轨迹是（　　）

A．两条射线　　　　　B．一条直线

C．双曲线 　D．前三种情况都有可能

答案：

　D

2．已知方程－＝1表示双曲线，则实数k的取值范围是（　　）

A．－4<

k<

4 B．k>

0　　　　　　C．k≥0 D．k>

4或k<

－4

解析：

　∵－＝1表示双曲线，∴（4＋k）（4－k）>

0，∴（k＋4）（k－4）<

0，∴－4<

4.答案：

　A

3．椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则a的值是________．

　依题意：

解得a＝1.答案：

　1

4．求与双曲线－＝1有相同的焦点，且经过点（3，2）的双曲线方程．

　∵所求双曲线与－＝1有相同的焦点，∴双曲线的焦点为（±

2，0）

设所求双曲线方程为－＝1.

∵双曲线经过点（3，2），∴－＝1，解得a2＝12.　　∴所求双曲线的方程为－＝1.

●问题与困惑：

二、互动探究

●问题探究：

探究1：

把椭圆定义中的“和”字改成“差”字，所得的轨迹是什么曲线？

探究2：

根据双曲线的定义，怎样导出双曲线的标准方程的？

探究3：

双曲线的标准方程与椭圆的标准方程在形式上有什么区别？

、、之间的关系有何不同？

探究4：

怎样区分焦点在不同位置的两类双曲线的方程？

它与椭圆的区分方法有何不同？

●基础知识归纳：

1．双曲线的定义

把平面内与两个定点F1，F2的距离的等于常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线．这叫做双曲线的焦点，叫做双曲线的焦距．

反思

（1）：

设常数为，为什么？

时，轨迹是；

时，轨迹．

　　　反思

（2）：

双曲线的定义中，为什么要加“绝对值”三个字？

没有“绝对值”三个字呢？

2．双曲线的标准方程

焦点在轴上

标准方程

焦点

的关系

小结：

双曲线的标准方程与椭圆的标准方程的区别：

1.焦点位置的判定：

椭圆由分母常数的大小判定，双曲线由各项前面的符号判定

2.、、之间的关系：

椭圆是，双曲线是（记忆方法：

椭圆的焦点在顶点之内，所有；

双曲线焦点在顶点之外，所有）

●典例导析：

题型一、求双曲线的标准方程

例1、根据下列条件，求双曲线的标准方程．

（1）双曲线中心在原点，焦点在坐标轴上，且过点A（4，－），B；

（2）c＝，经过点（－5,2），焦点在x轴上．

[思路点拨]

1.找出两个定量条件和定位条件，由定量条件求、的值（注意应用）；

由定位条件确定焦点所在的位置.

2.常用待定系数法.

[解题过程]　

（1）方法一：

①当焦点在x轴上时，

设双曲线标准方程为－＝1（a>

0，b>

0）．由于双曲线过点A（4，－），B，

∴解得∴所求双曲线标准方程是－y2＝1.

②当焦点在y轴上时，设双曲线标准方程为－＝1（a>

0）．

则解得不合题意，舍去．

综上所述，双曲线的标准方程是－y2＝1.

方法二：

设双曲线方程为mx2－ny2＝1，由双曲线经过A（4，－），B

可得解得

∴所求双曲线的标准方程为－y2＝1.

（2）设双曲线方程为－＝1

∵c＝，∴6＝a2＋b2①又∵双曲线经过点（－5,2），∴－＝1②

由①②得：

或（舍）　　

∴双曲线方程为－＝1.

[题后感悟]　　双曲线标准方程的求解步骤：

变式训练：

1.求适合下列条件的双曲线的标准方程：

（1）a＝3，c＝4，焦点在x轴上．

（2）a＝2，经过点A（2，－5），焦点在y轴上．

（3）焦点分别为F1（－10,0）、F2（10,0），且经过点（3，－4）．

（4）焦点在y轴上，并且双曲线过点（3，－4）和.

（1）由题设知，a＝3，c＝4，由c2＝a2＋b2得b2＝c2－a2＝42－32＝7.

因为双曲线的焦点在x轴上，所以所求双曲线的标准方程为－＝1.

（2）因为双曲线的焦点在y轴上，所以双曲线的标准方程可设为－＝1（a>

由题设知，a＝2，且点A（2，－5）在双曲线上，所以，解得a2＝20，b2＝16.

故所求双曲线的标准方程为－＝1.

（3）由题设知双曲线的焦点在x轴上，且c＝10.所以可设它的标准方程为－＝1（a>

从而将双曲线的标准方程化为－＝1，

将点（3，－4）代入并化简整理，得b4－39b2－1600＝0，解得b2＝64或b2＝－25（舍去），

（4）由已知可设所求双曲线方程为－＝1（a>

0），

则，解得

∴双曲线的方程为－＝1.

题型二、双曲线定义的应用

例2－1、已知定点F1（0，－4），F2（0,4），动点M满足|MF1|－|MF2|＝2a，当a＝3和a＝4时，点M的轨迹为（　　）

A．双曲线和一条直线　　　　　　　B．双曲线的一支和一条直线

C．双曲线和一条射线　　　　　　D．双曲线的一支和一条射线

[解题过程]　由已知，|F1F2|＝8.

当a＝3时，|MF1|－|MF2|＝6<

|F1F2|，故点M的轨迹是双曲线的一支

当a＝4时，|MF1|－|MF2|＝8＝|F1F2|，故点M的轨迹是一条射线F1F2

[题后感悟]　如何判断动点的轨迹？

（1）由已知条件，判断2a与|F1F2|的大小关系，大致确定动点的轨迹是双曲线或射线等；

（2）再据|MF1|－|MF2|＝2a有无绝对值，准确确定动点轨迹的特征．

2－1.已知点F1（0，－13），F2（0,13），动点P到F1与F2的距离之差的绝对值为26，则动点P的轨迹方程为

A．y＝0 B．y＝0（x≤－13或x≥13）　　C．x＝0（|y|≥13） D．以上都不对

　C

例2－2、若F1，F2是双曲线－＝1的两个焦点，P是双曲线上的点，且|PF1|·

|PF2|＝32，试求△F1PF2的面积．

[规范作答]　由双曲线方程－＝1，可知a＝3，b＝4，c＝＝5.

由双曲线的定义，得|PF1|－|PF2|＝±

2a＝±

6，将此式两边平方，得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·

|PF2|＝36，

∴|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·

|PF2|＝36＋2×

32＝100.

如图所示，在△F1PF2中，由余弦定理，得

cos∠F1PF2＝＝＝0，

∴∠F1PF2＝90°

，

∴S△F1PF2＝|PF1|·

|PF2|＝×

32＝16.

[题后感悟]　

在解决与焦点三角形有关的问题的时候，首先要注意定义条件||PF1|－|PF2||＝2a的应用．其次是要利用余弦定理、勾股定理等知识进行运算．在运算过程中要注意整体思想的应用和一些变形技巧的应用．

2－2.设F1，F2是双曲线－y2＝1的两个焦点，点P在双曲线上且满足∠F1PF2＝90°

，求△F1PF2的面积．

　在双曲线－y2＝1中，a2＝4，b2＝1，∴c2＝a2＋b2＝5，∴a＝2，c＝.

由于点P在双曲线上，所以|PF1|－|PF2|＝±

4.①

∵∠F1PF2＝90°

，∴|PF1|2＋|PF2|2＝20.②

②－①2得，2|PF1|·

|PF2|＝4，∴|PF1|·

|PF2|＝2，

∴△F1PF2的面积是S＝|PF1||PF2|＝1.

　　（想一想：

若改为“∠F1PF2＝60°

”呢？

）

题型三、求与双曲线相关的轨迹方程

例3、求与两个定圆C1：

x2＋y2＋10x－24＝0和C2：

x2＋y2－10x＋24＝0都外切或者都内切的动圆的圆心的轨迹方程．

[思路点拨]

[解题过程]　⊙C1：

（x＋5）2＋y2＝49⇒C1（－5,0），r1＝7，

⊙C2：

（x－5）2＋y2＝1⇒C2（5,0），r2＝1，

设动圆圆心为M（x，y），半径为R，

（1）如图①，当⊙M与⊙C1、⊙C2都外切时，

有|MC1|＝r1＋R，|MC2|＝r2＋R，　　则|MC1|－|MC2|＝r1－r2＝6.

（2）如图②，当⊙M与⊙C1、⊙C2都内切时，

有|MC1|＝R－r1，|MC2|＝R－r2.，则|MC1|－|MC2|＝r2－r1＝－6.

在

（1）

（2）两种情况下，点M与两定点C1、C2的距离的差的绝对值是6，由双曲线的定义，点M的轨迹是以C1（－5,0），C2（5,0）为焦点实轴长为6的双曲线，c＝5，a＝3⇒b＝＝＝4，

方程为：

－＝1.

[题后感悟]　

（1）本题是利用定义求动点的轨迹方程的，当判断出动点的轨迹是双曲线，且可求出a，b时，就可直接写出其标准方程，而无需用距离公式写出方程，再通过复杂的运算进行化简．

（2）由于动点M到两定点C2，C1的距离的差的绝对值为常数，因此，其轨迹是双曲线．

4．如图所示，在△ABC中，已知|AB|＝4，且三内角A，B，C满足

2sinA＋sinC＝2sinB，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程．

　如图所示，以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，

建立直角坐标系，则A（－2，0），B（2，0）．

由正弦定理得sinA＝，sinB＝，sinC＝.

∵sinB－sinA＝sinC，∴b－a＝.从而有|CA|－|CB|＝|AB|＝2<

|AB|.

由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支．

∵a＝，c＝2，∴b2＝c2－a2＝6.所以顶点C的轨迹方程为－＝1（x>

）．

故C点的轨迹为双曲线的右支且除去点（，0）．

[疑难解读]

1．双曲线定义中注意的三个问题

（1）注意定义中的条件2a＜|F1F2|不可缺少．

若2a＝|F1F2|，则动点的轨迹是以F1或F2为端点的射线；

若2a＞|F1F2|，则动点的轨迹不存在．

（2）注意定义中的常数2a是小于|F1F2|且大于0的实数．若a＝0，则动点的轨迹是线段F1F2的中垂线．

（3）注意定义中的关键词“绝对值”.若去掉定义中的“绝对值”三个字，则动点的轨迹只能是双曲线的一支．

2．待定系数法求双曲线标准方程的步骤

（1）作判断：

根据条件判断双曲线的焦点在x轴上还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能．

（2）设方程：

根据上述判断设方程为－＝1或－＝1（a＞0