数列求和优秀教案Word文档格式.doc

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经历数列裂差消项求和法的探究过程、深化过程和推广过程。

培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力。

体会知识的发生、发展过程，培养学生的学习能力。

3情感与价值观目标

通过数列裂差消项求和法的推广应用，使学生认识到在学习过程中的一切发现、发明，一切好的想法和念头都可以发扬光大。

激发学生的学习热情和创新意识，形成锲而不舍的钻研精神和合作交流的科学态度。

感悟数学的简洁美﹑对称美。

4教学的重点和难点

本节课的教学重点为裂项相消求和的方法和形式。

能将一些特殊数列的求和问题转化为裂项相消求和问题。

本节课的教学难点为用裂项相消的思维过程，不同的数列采用不同的方法，运用转化与化归思想分析问题和解决问题。

【课堂设计】

一、创设情景、导入新课

教师：

请同学们回忆一下，我们在推导数列求和公式时，先后发现了哪几种数列求和的方法？

学生1：

在等差数列求和公式的推导时我们用到了倒序相加法。

在等比数列求和公式的推导中我们发现了错位相减法、裂差消项求和法。

学生2：

在学习求和过程中，我们还发现了分组求和法和通项转换法。

我的思考：

在推导等比数列求和公式时，有的小组根据等比数列求和公式的形式，想到用裂差消项求和法。

这节课就是从学生的这种想法开始，使学生体会到自己的一个想法，再继续下去就能解决一类问题。

等比数列求和公式用裂差消项求和法证明如下：

=

二、题组探索、自主探究

请同学们思考下列探索性题组中问题解法：

出示探索性题组（多媒体投影）

求和:

1．

2．

3．

4．

学生独立思考后，各小组讨论交流各自的想法，各小组选派代表在全班交流。

学生3；

第一题去掉括号后，除第一项和最后一项外，其余各项都能消去。

学生4：

第2题的每一项与第一题相同，每一项都可裂成两项，

数列通项

所以，

用对吗？

为什么？

学生5：

不行了，很明显，左右是不相等的关系。

怎样改变呢？

待定系数法，配平系数，达到平衡。

应该乘以！

和第2题相似，每一项也可裂成两项实现裂差消项求和。

数列的项

=

学生6：

第4题的变形与第3题类似

变式问题：

求和

学生7：

每一项同样可裂成两项，通过裂差消项求和法求和：

通过以上探索性题组我们发现什么结论呢？

（学生表述，教师点评，补充。

）

结论：

一般地，{}是公差为d的等差数列，

则：

教师小结：

分母为等差数列的某相邻两项之积，而分子为常量的分式型数列的求和，将它的每一项分解为两项差的形式，前一项的减数恰与后一项的被减数相同，求和时中间项互相抵消，这种数列求和的方法就是裂差消项求和法。

三、题组研究、汇报交流

出示研究性题组

1．求数列的前n项和。

2．求数列的前n项和？

3．求和：

（学生分组讨论解题思路，教师巡回，对个别学生问题进行指导，师生共同讨论。

观察研究性题1和探索性问题的解法有何不同呢？

学生8：

有所不同，消去的项不一样了。

前面和后面各有两项没有消去，前面是两正项，后面是两负项。

解：

数列的通项公式可变形为：

学生9：

方法与第1题类似

通项

教师分析：

研究性题3中数列的分子是偶数的平方，分母是奇数列相邻两项的乘积；

从上面的经验看：

该数列求和使用“裂项相消法”的可能性较大，那就看分子能否化为常数。

注意到该数列的通项公式的特征：

分子、分母同次且没有一次项；

考虑到

所以使用处理分式函数的常用手段，分离常数法即可把分子化为常数。

变形如下：

学生10：

∴=

（学生说题，锻炼学生的表述能力，思维能力）

以上裂项求和类型大家掌握的比较好了，我们一起看下面的问题：

四、题组综合、巩固提高

1．求数列前n项的和。

2．求数列的前n项和

3．已知数列，求数列的前项和

（分组讨论解题思路，教师做适当点拨和引导，学生展示解题过程。

学生11：

学生12：

也可不裂项变为各项相乘约项。

很好，这又是一个好想法，课后同学们可探究一下有哪些数列求和适用这种方法。

对于第2题，很明显，我们没法进行合并，分母也不是两个积的乘积形式，不太符合以上方法。

我们搜寻一下，以前我们见过这种式子吗？

对它有什么变形方法？

学生13：

以前我们处理过这种无理式，可以分母有理化。

对（大部分学生也发现了这种方法），有理化后就变成两项之差的形式，同样可用裂差消项求和法。

（学生板演解题过程）

分母有理化，　∵

∴

学生开始兴奋起来，课堂上气氛达到了空前高涨。

小试牛刀：

在数列中，，且，则n＝_____

学生说明答案。

对于第3题，我们又遇到新问题。

分母变成三项积的形式，如何变形?

（学生纷纷试验各种裂项的方案。

学生：

还是应该考虑裂项的方法。

我最先试验的是能否像探索性题组那样分裂成、、的和差形式。

我发现不能直接化为它们的差，即使化为它们的差也解决不了相消的问题。

你们希望什么样的变形？

我希望也像探索性问题一样，每一项分裂成两项的差，并且要能消项才行。

对，“两项、能消项”，你们有想法就要设法按照自己的思路试一下。

学生14：

我有了一个想法，按照“两项、能消项”的要求，就不能考虑变成、、的和差形式。

两项又必须相对对称的，我们先考虑最简单的两项的变形，中，第一项和第二项都有2出现，是否可考虑让作差的两个式子中都出现2哪？

（在教师、学生的启发下，学生纷纷试验着裂项方法）

我试验过了，这也符合“对称、和谐”的美学原理。

五、归纳总结、提升拓展

应该注意什么问题？

裂差消项求和法多用于分母为等差数列的某相邻k项之积，而分子为常量的分式型数列的求和，对裂项相消法求和，其裂项可采用待定系数法确定，并注意能否正负抵消。

师生共同小结：

（学生叙述,教师进行补充和整理）

教师板演要点：

1裂项抵消法多用于分母为等差数列的某相邻项之积，而分子为常数的分式型数列的求和。

2裂项有困难时，可采用待定系数法来确定。

3在消项时一定注意消去了哪些项,还剩下哪些项，有困难时可多写几项,然后仔细观察消项规律，一般地剩下的正项与负项一样多。

4对于分母是两个二次根式的和，且被开方数是等差数列，利用分母有理化，使分母上的和变成了分子上的差，从而因中间项相消而可求Sn。

5裂项相消法适用于 

其中是各项不为0的等差数列，c为常数；

部分无理数列、含阶乘的数列等。

若求数列还能用裂项相消法吗？

请同学们课下探究以下。

（为后面数列的分组求和的教学做铺垫）

今天这节课我们主要研究了一些非等差（比）的特殊数列求和方法。

同学们回忆一下这些数列求和的指导思想是什么?

将部分数列求和通过变形转化为裂项求和。

对，解决这些数列求和问题的思路是将它们转化基本的裂差消项求和，从而解决问题。

这种思想也是我们数学解题中经常用到的一种思想——化归思想。

（给学生时间回顾以上内容及方法。

能否总结一下裂项相消法所应用的具体公式？

我们所用的裂项公式有：

（1），

（2）

（3）

（4）

（5）

教师课堂总结：

裂差消项求和法：

若一个数列的每一项都可以化为两项之差，并且前一项的减数恰与后一项的被减数相同，求和时中间项互相抵消。

以上题目虽然各有其特点，但总的原则是要善于改变原数列的形式结构，使其能进行消项处理，只要很好地把握这一规律，就能使数列求和化难为易，迎刃而解。

此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后，其中中间的大部分项都互相抵消了。

只剩下有限的几项。

注意：

余下的项前后的位置前后是对称的，余下的项前后的正负性是相反的。

最后，留几个问题供大家课后继续研究，希望大家能给出解答。

大家仔细观察，和习题中的题目具有哪些相似之处，联系在哪里？

又有哪些不同，可以类比的方法是哪些？

1．求和：

（）

【教有所思】

本节课心智教育方式之题组教学法。

充分体现学生是主体，问题是中心，探索是主线。

课堂是师生共同参与课堂活动的舞台。

“问题”是解决人类思维的一种普遍的表现形式，也是心理学家们热衷的重要研究课题之一。

在数学教学中，从课堂提问到新概念的形成与确立，新知识的巩固与应用和学生思维方法的训练与提高，以及实际应用能力和创新能力的增强。

无不从“问题”开始，在研究问题﹑解决问题的过程中努力实现。

因此，课堂教学实质上就是依据教材内容和学生实际，师生重组旧知识，不断发现问题﹑研究问题﹑解决问题的活动。

老师的作用是如何将学生的思路所隐藏的数学思想和方法挖掘出来，深化并完善它。

小组讨论的方式有利于培养学生的合作精神，互相启迪，互相促进。

从而在活动的过程中不断培养学生的科学素养和创新思维习惯。

本节课通过逐步引导，层层设疑，让学生经历裂差消项求和的过程，使教材更生动，更具亲和力。

在裂差消项求和法的教学设计中，设置了恰当的教学情境，引导学生合作与交流，强化学生的合作意识、协作精神，收到了很好的效果，学生学会了如何转化。

新课程的编排特点和学习方式的变化，使课堂教学方法发生了重大变化。

新课程提倡教学目标综合化、多元化和均衡性，知识生活化，使学生获得对数学知识理解的同时，在思维能力、观察能力、情感态度与价值观等方面得到进步和发展。

本节内容设计突出了某些重要的数学思想方法，如：

类比思想，归纳思想，特殊到一般的思想方法。

充分注意了学生的观察，猜想，发现，归纳，总结等学习过程的体验，强化了归纳思想的具体应用。

突出体现了特殊到一般的思想，突出了通过对特殊数列的各项关系，运算，性质的研究推广到一般数列相应问题研究的思想。

借助函数的背景和研究方法研究有关数列的问题，体现了数学知识的内在关联，培养学生用已知去研究未知的能力。

最后的小结要进一步使学生明白：

裂差消项求和法，如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻相邻项分裂后相关联，常选用裂项相消法求和，体现了知识的连贯性，有助于学生构建知识网络。