排列组合问题经典题型解析含答案Word文档下载推荐.doc

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A、24种B、60种C、90种D、120种

4.标号排位问题分步法:

把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.

例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（）

A、6种B、9种C、11种D、23种

5.有序分配问题逐分法:

有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法.

例5.

（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（）

A、1260种B、2025种C、2520种D、5040种

（2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有（）

A、种B、种C、种D、种

6.全员分配问题分组法:

例6.

（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？

（2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（）

A、480种B、240种C、120种D、96种

7.名额分配问题隔板法:

例7：

10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？

8.限制条件的分配问题分类法:

例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？

9.多元问题分类法：

元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数再相加。

例9

（1）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（）

A、210种B、300种C、464种D、600种

（2）从1，2，3…，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？

（3）从1，2，3，…，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种？

10.交叉问题集合法：

某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式

例10.从6名运动员中选出4人参加4×

100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？

11.定位问题优先法：

某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；

再排其它的元素。

例11.现1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种？

12.多排问题单排法:

把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。

例12.

（1）6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是（）

A、36种B、120种C、720种D、1440种

（2）8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有多少种不同排法？

13.“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法:

例13.从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同的取法共有（）

A、140种B、80种C、70种D、35种

14.选排问题先取后排:

从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定的位置上，可用先取后排法.

例14.

（1）四个不同球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？

（2）9名乒乓球运动员，其中男5名，女4名，现在要进行混合双打训练，有多少种不同的分组方法？

15.部分合条件问题排除法:

在选取的总数中，只有一部分合条件，可以从总数中减去不符合条件数，即为所求.

例15.

（1）以正方体的顶点为顶点的四面体共有（）

A、70种B、64种C、58种D、52种

（2）四面体的顶点和各棱中点共10点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有（）

A、150种B、147种C、144种D、141种

16.圆排问题单排法:

把个不同元素放在圆周个无编号位置上的排列，顺序（例如按顺时钟）不同的排法才算不同的排列，而顺序相同（即旋转一下就可以重合）的排法认为是相同的，它与普通排列的区别在于只计顺序而首位、末位之分，下列个普通排列：

在圆排列中只算一种，因为旋转后可以重合，故认为相同，个元素的圆排列数有种.因此可将某个元素固定展成单排，其它的元素全排列.

例16.有5对姐妹站成一圈，要求每对姐妹相邻，有多少种不同站法？

17.可重复的排列求幂法:

允许重复排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可逐一安排元素的位置，一般地个不同元素排在个不同位置的排列数有种方法.

例17.把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？

18.复杂排列组合问题构造模型法:

例18.马路上有编号为1，2，3…，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？

19.元素个数较少的排列组合问题可以考虑枚举法:

例19.设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的盒子现将这5个球投入5个盒子要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的号码与盒子号码相同，问有多少种不同的方法？

20.复杂的排列组合问题也可用分解与合成法:

例20.

（1）30030能被多少个不同偶数整除？

（2）正方体8个顶点可连成多少队异面直线？

21.利用对应思想转化法:

对应思想是教材中渗透的一种重要的解题方法，它可以将复杂的问题转化为简单问题处理.

例21.

（1）圆周上有10点，以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有多少个？

（2）某城市的街区有12个全等的矩形组成，其中实线表示马路，从A到B的最短路径有多少种？

22.全错位排列问题公式法:

全错位排列问题（贺卡问题，信封问题）记住公式即可

瑞士数学家欧拉按一般情况给出了一个递推公式：

用A、B、C……表示写着n位友人名字的信封，a、b、c……表示n份相应的写好的信纸。

把错装的总数为记作f（n）。

假设把a错装进B里了，包含着这个错误的一切错装法分两类：

（1）b装入A里，这时每种错装的其余部分都与A、B、a、b无关，应有f（n-2）种错装法。

（2）b装入A、B之外的一个信封，这时的装信工作实际是把（除a之外的）份信纸b、c……装入（除B以外的）n－1个信封A、C……，显然这时装错的方法有f（n-1）种。

总之在a装入B的错误之下，共有错装法f（n-2）+f（n-1）种。

a装入C，装入D……的n－2种错误之下，同样都有f（n-2）+f（n-1）种错装法，因此:

得到一个递推公式：

f（n）=（n-1）{f（n-1）+f（n-2）}，分别带入n=2、3、4等可推得结果。

也可用迭代法推导出一般公式：

排列组合问题经典题型与通用方法解析版

例1.五人并排站成一排，如果必须相邻且在的右边，则不同的排法有（）

A、60种B、48种C、36种D、24种

解析：

把视为一人，且固定在的右边，则本题相当于4人的全排列，种，

答案：

.

例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（）

A、1440种B、3600种C、4820种D、4800种

除甲乙外，其余5个排列数为种，再用甲乙去插6个空位有种，不同的排法种数是种，选.

例3.五人并排站成一排，如果必须站在的右边（可以不相邻）那么不同的排法有（）

A、24种B、60种C、90种D、120种

在的右边与在的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即种，选.

A、6种B、9种C、11种D、23种

先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；

第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×

3×

1=9种填法，选.

例5.

（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（）

A、1260种B、2025种C、2520种D、5040种

先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有种，

选.

A、种B、种

C、种D、种

例6.

（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校