导数应用：含参函数的单调性讨论(一)Word文档格式.doc

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即的增区间是和;

II）当时

此时在和都是单调增函数，

在和都是单调减函数，

即的增区间为和;

的减区间为和.

步骤小结：

1、先求函数的定义域，

2、求导函数（化为乘除分解式，便于讨论正负），

3、先讨论只有一种单调区间的（导函数同号的）情况，

4、再讨论有增有减的情况（导函数有正有负，以其零点分界），

5、注意函数的断点，不连续的同类单调区间不要合并。

变式练习1:

讨论的单调性，求其单调区间

解：

此时在为单调增函数，

即的增区间为，不存在减区间;

II）当时;

此时在为单调增函数，

在是单调减函数，

即的增区间为;

的减区间为.

例2．讨论的单调性

解：

I）当时，恒成立（此时没有意义）

此时在为单调增函数，即的增区间为

II）当时，恒成立，

（此时不在定义域内，没有意义）

此时在为单调增函数，即的增区间为

III）当时,令

于是，当x变化时，的变化情况如下表：

（结合g（x）图象定号）

x

增↗

减↘

所以，此时在为单调增函数，在是单调减函数，

小结：

导函数正负的相应区间也可以由导函数零点来分界，但要注意其定义域和连续性。

即先求出的零点，再其分区间然后定在相应区间内的符号。

一般先讨论无解情况，再讨论解过程产生增根的情况（即解方程变形中诸如平方、去分母、去对数符号等把自变量x范围扩大而出现有根，但根实际上不在定义域内的），即根据零点个数从少到多，相应原函数单调区间个数从少到多讨论，最后区间（最好结合导函数的图象）确定相应单调性。

变式练习2.讨论的单调性

它与同号.

令，

当时，无解；

当时,（另一根不在定义域内舍去）

i）当时，恒成立（此时没有意义）

ii）当时，恒成立，

（此时方程判别式,方程无解）

iii）当时,

当x变化时，的变化情况如下表：

（结合g（x）图象定号）

一般最后要综合讨论情况，合并同类的，如i）,ii）可合并为一类结果。

对于二次型函数（如）讨论正负一般先根据二次项系数分三种类型讨论。

例3．求的单调区间

的定义域为R，

I）当时，在R上单调递减，减区间为R，无增区间。

II）当时，是开口向上的二次函数，

令,因此可知（结合的图象）

i）当时，

所以此时，的增区间为；

的减区间为

ii）当时，

求函数单调区间可化为导函数的正负讨论（即分讨论其相应不等式的解区间），常见的是化为二次型不等式讨论，当二次函数开口定且有两根时，一般要注意讨论两根大小（分大、小、等三种情况）。

含参二次不等式解时要先看能否因式分解，若能则是计算简单的问题，需看开口及两根大小，注意结合图象确定相应区间正负。

变式练习3．求的单调区间

是开口向上的二次函数，

I）当时，恒成立

所以此时在R上单调递增，增区间为R，无减区间。

II）当时

令

因此可知（结合的图象）与随x变化情况如下表

所以此时，的增区间为；

三次函数的导函数是常见二次函数，当二次函数开口定时对其正负进行讨论的，要根据判别式讨论：

无根的或两根相等的导函数只有一种符号，相应原函数是单调的较简单应先讨论；

然后再讨论有两不等根的，结合导函数图象列变化表，注意用根的符号代替复杂的式，最后结论才写回。

个别点处导数为0不影响单调性。

只有在某区间内导数恒为0时，相应区间内原函数为常数，一般中学所见函数除分段函数和常函数外不会出现此种情况。

三、巩固作业：

1.已知函数，求的单调区间.

2.已知函数f（x）=x－ax+（a－1），讨论函数的单调性,求出其单调区间。

的定义域为.

（1）

（2）

①若即时，>

0,故在单调递增.

②若0<

即时，

由得，；

由得，

故在单调递减，在单调递增.

③若,即时，

综上所述，当，单调增区为,减区间是;

当时，的减区间是，增区间是；

当时，在定义域上递增，单调增区为（不存在减区间）;

当时，的减区间是，在增区间是.

注意：

必须问什么答什么，分类讨论最后必须有综述.

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