对数平均数不等式链的几何证明及变式探究Word格式文档下载.doc

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1对数平均数不等式链的几何证明

如图，先画反比例函数的图象，再画其他的辅助线，其中，轴，,.设函数在点处的切线分别与直线交于点，则根据左图可知：

因为，

所以.①

，

而根据右图可知：

，所以.②

另外，根据，可得：

.③

综上，结合重要不等式可知：

即.④

2对数平均数不等式链的变式探究

近年来，以对数平均数不等式链为落点的压轴试题层出不穷，如2010年湖北卷、2012年天津、2013年新课标Ⅰ、2014年陕西卷、2014福建预赛、2014年绵阳一、三诊、2015合肥最后一卷等等，因此关注对数平均数不等式链的变式探究是十分必要的.

为了行文叙述的方便，将对数平均数不等式链中的不等式，记为①式；

将，记为②式；

将，记为③式.

变式探究1：

取，则由①知：

.于是，可编制如下试题：

已知，求证：

.

变式探究2：

取，则由②知：

变式探究3：

取，则由③知：

变式探究4：

对任意，且，求证：

变式探究5：

变式探究6：

变式探究7：

变式探究8：

变式探究9：

变式探究10：

变式探究11：

变式探究12：

…………

总之，对数平均数不等式链的运用是近几年数学竞赛、名校模拟数学试题、高考数学真题的理论背景，正如陕西师范大学罗增儒教授所言：

我们可以通过有限的典型考题的学习，去领悟那种解无限道题的数学机智.这里的领悟解题的数学机智从某种意义上说就是对问题本质的理解，而对问题本质的发现还在于我们对问题信息的审视和挖掘.水有源，题有根，茫茫题海，寻觅其根源，领悟其通性通法，方是提升数学思维素养的有效途径.

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