基本不等式练习题及答案Word文档格式.doc

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（　　）．

A．0B．1C．2D．3

3．若a＞0，b＞0，且a＋2b－2＝0，则ab的最大值为（　　）．

A.B．1C．2D．4

4．（2011·

重庆）若函数f（x）＝x＋（x＞2）在x＝a处取最小值，则a＝（　　）．

A．1＋B．1＋C．3D．4

5．已知t＞0，则函数y＝的最小值为________．

考向一　利用基本不等式求最值

【例1】►

（1）已知x＞0，y＞0，且2x＋y＝1，则＋的最小值为________；

（2）当x＞0时，则f（x）＝的最大值为________．

【训练1】

（1）已知x＞1，则f（x）＝x＋的最小值为________．

（2）已知0＜x＜，则y＝2x－5x2的最大值为________．

（3）若x，y∈（0，＋∞）且2x＋8y－xy＝0，则x＋y的最小值为________．

考向二　利用基本不等式证明不等式

【例2】►已知a＞0，b＞0，c＞0，求证：

＋＋≥a＋b＋c.

．

【训练2】已知a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1.

求证：

＋＋≥9.

考向三　利用基本不等式解决恒成立问题

【例3】►（2010·

山东）若对任意x＞0，≤a恒成立，则a的取值范围是________．

【训练3】（2011·

宿州模拟）已知x＞0，y＞0，xy＝x＋2y，若xy≥m－2恒成立，则实数m的最大值是________．

考向三　利用基本不等式解实际问题

【例3】►某单位建造一间地面面积为12m2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x不得超过5m．房屋正面的造价为400元/m2，房屋侧面的造价为150元/m2，屋顶和地面的造价费用合计为5800元，如果墙高为3m，且不计房屋背面的费用．当侧面的长度为多少时，总造价最低？

广东六校第二次联考）东海水晶制品厂去年的年产量为10万件，每件水晶产品的销售价格为100元，固定成本为80元．从今年起，工厂投入100万元科技成本．并计划以后每年比上一年多投入100万元科技成本．预计产量每年递增1万件，每件水晶产品的固定成本g（n）与科技成本的投入次数n的关系是g（n）＝.若水晶产品的销售价格不变，第n次投入后的年利润为f（n）万元．

（1）求出f（n）的表达式；

（2）求从今年算起第几年利润最高？

最高利润为多少万元？

【试一试】（2010·

四川）设a＞b＞0，则a2＋＋的最小值是（　　）．

A．1B．2C．3D．4

D．（2，＋∞）

答案　C

2．解析　①②不正确，③正确，x2＋＝（x2＋1）＋－1≥2－1＝1.答案　B

3．解析　∵a＞0，b＞0，a＋2b＝2，∴a＋2b＝2≥2，即ab≤.答案　A

4．解析　当x＞2时，x－2＞0，f（x）＝（x－2）＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－2＝（x＞2），即x＝3时取等号，即当f（x）取得最小值时，x＝3，即a＝3.答案　C

5．解析　∵t＞0，∴y＝＝t＋－4≥2－4＝－2，当且仅当t＝1时取等号．答案　－2　　

【例1】解析　

（1）∵x＞0，y＞0，且2x＋y＝1，

∴＋＝＋＝3＋＋≥3＋2.当且仅当＝时，取等号．

（2）∵x＞0，∴f（x）＝＝≤＝1，当且仅当x＝，即x＝1时取等号．答案　

（1）3＋2　

（2）1

【训练1】．解析　

（1）∵x＞1，∴f（x）＝（x－1）＋＋1≥2＋1＝3　当且仅当x＝2时取等号．

（2）y＝2x－5x2＝x（2－5x）＝·

5x·

（2－5x），∵0＜x＜，∴5x＜2,2－5x＞0，∴5x（2－5x）≤2＝1，∴y≤，当且仅当5x＝2－5x，

即x＝时，ymax＝.（3）由2x＋8y－xy＝0，得2x＋8y＝xy，∴＋＝1，

∴x＋y＝（x＋y）＝10＋＋＝10＋2≥10＋2×

2×

＝18，

当且仅当＝，即x＝2y时取等号，又2x＋8y－xy＝0，∴x＝12，y＝6，

∴当x＝12，y＝6时，x＋y取最小值18.

答案　

（1）3　

（2）　（3）18

【例2】证明　∵a＞0，b＞0，c＞0，∴＋≥2＝2c；

＋≥2＝2b；

＋≥2＝2a.以上三式相加得：

2≥2（a＋b＋c），即＋＋≥a＋b＋c.

【训练2】

证明　∵a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1，∴＋＋＝＋＋＝3＋＋＋＋＋＋＝3＋＋＋

≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a＝b＝c＝时，取等号．

解析　若对任意x＞0，≤a恒成立，只需求得y＝的最大值即可，因为x＞0，所以y＝＝≤＝，当且仅当x＝1时取等号，所以a的取值范围是答案　

【训练3】解析　由x＞0，y＞0，xy＝x＋2y≥2，得xy≥8，于是由m－2≤xy恒成立，得m－2≤8，m≤10，故m的最大值为10.答案　10

【例3．解　由题意可得，造价y＝3（2x×

150＋×

400）＋5800＝900＋5800（0＜x≤5），则y＝900＋5800≥900×

2＋5800＝13000（元），

当且仅当x＝，即x＝4时取等号．故当侧面的长度为4米时，总造价最低．

【训练3】解　

（1）第n次投入后，产量为（10＋n）万件，销售价格为100元，固定成本为元，科技成本投入为100n万元．所以，年利润为f（n）＝（10＋n）－100n（n∈N*）．

（2）由

（1）知f（n）＝（10＋n）－100n

＝1000－80≤520（万元）．当且仅当＝，

即n＝8时，利润最高，最高利润为520万元．所以，从今年算起第8年利润最高，最高利润为520万元．　　

【示例】．正解　∵a＞0，b＞0，且a＋b＝1，

∴＋＝（a＋b）＝1＋2＋＋≥3＋2＝3＋2.

当且仅当即时，＋的最小值为3＋2.

【试一试】尝试解答]　a2＋＋＝a2－ab＋ab＋＋＝a（a－b）＋＋ab＋≥2＋2＝2＋2＝4.当且仅当a（a－b）＝且ab＝，即a＝2b时，等号成立．答案　D