圆锥曲线之轨迹问题(有答案)Word下载.doc

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4.参数法：

有时求动点应满足的几何条件不易求出，也无明显的相关点，但却较易发现（或经分析可发现）这个动点的运动常常受到另一个变量（角度、斜率、比值、截距或时间等）的制约，即动点坐标中的分别随另一变量的变化而变化，我们可以把这个变量设为参数，建立轨迹的参数方程，这种方法叫做参数法，如果需要得到轨迹的普通方程，只要消去参变量即可。

5.交轨法：

在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常可通过解方程组得出交点含参数的坐标，再消去参数得出所求轨迹方程，此种方法称为交轨法。

二、小试牛刀

1.已知M（-3,0），N（3,0）,则动点P的轨迹方程为

析：

∴点P的轨迹一定是线段MN的延长线。

故所求轨迹方程是

2.已知圆O的方程为，圆的方程为，由动点P向两圆所引的切线长相等，则动点P的轨迹方程为

析：

∵圆O与圆外切于点M（2,0）∴两圆的内公切线上的点向两圆所引的切线长都相等，

故动点P的轨迹就是两圆的内公切线，其方程为

3.已知椭圆，M是椭圆上一动点，为椭圆的左焦点，则线段的中点P的轨迹方程为

设P又由中点坐标公式可得：

又点在椭圆上

∴因此中点P的轨迹方程为

4.已知A、B、C是不在同一直线上的三点，O是平面ABC内的一定点，P是动点，若,则点P的轨迹一定过三角形ABC的重心。

设点D为BC的中点，显然有

故点P的轨迹是射线AD，所以，轨迹一定过三角形的重心。

三、大显身手

1、直接法

例1、设过点P（x,y）的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A、B两点，点Q与点P关于y轴对称，若且,则P点的轨迹方程为

解：

设又所以

又所以

而点与点关于轴对称，∴点的坐标为即

又所以这个方程即为所求轨迹方程。

变式1、已知两点M（-2,0），N（2,0），点P满足,动点P的轨迹方程为

解:

设则：

又

化简得所求轨迹方程为：

2、定义法

例2、已知圆A的方程为，点B（-3,0），M为圆O上任意一点，BM的中垂线交AM于点P，求点P的轨迹方程。

由题意知：

又圆A的半径为10，所以

即点P的轨迹是以定点A（3,0）B（-3,0）为焦点，10为长轴的椭圆（椭圆与长轴所在的对称轴的两交点除外）其轨迹方程为

变式2、已知椭圆的焦点为，P是椭圆上的任意一点，如果M是线段的中点，则动点M的轨迹方程是

因为M是线段的中点，连接OM，则

由椭圆的定义知：

即点M到定点O、定点的距离和为定值，故动点M的轨迹是以O、为焦点，

以为长轴的椭圆，其方程为

（说明：

此题也可以用代入法解决）

3、坐标转移法（代入法）

例3、从双曲线上一点Q引直线x+y=2的垂线，垂足为N，求线段QN的中点P的轨迹方程。

设Q则由

可得N点坐标

设

由中点坐标公式可得：

又点Q在双曲线上，

所以代入得

化简得即为所求轨迹方程。

变式3、自抛物线上任意一点P向其准线引垂线，垂足为Q，连接顶点O与P的直线和连接焦点F与Q的直线交于R，求点R的轨迹方程。

设∵抛物线的方程是

∴

所以直线OP的方程是

直线QF的方程是

联立两方程得：

又

所以化简得：

即为所求轨迹方程。

4、参数法

例4、设椭圆方程为，过点M（0,1）的直线交椭圆于A、B，点P满足,点，当直线绕点M旋转时，求：

（1）动点P的轨迹方程；

（2）的最大、最小值。

（1）设直线的方程为代入椭圆方程得

设则

设动点P的坐标为，由可得

消去参数即得所求轨迹方程为：

当斜率不存在时，点P的坐标为（0,0）显然在轨迹上，

故动点P的轨迹方程为。

（2）P点的轨迹方程可以化为

所以可设点P的坐标为则

所以当时当时

变式4、过抛物线的顶点作互相垂直的两弦OA、OB.

（1）求弦AB