向量的运算法则文档格式.doc
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＝（A，B）。
（8）向量的平行与垂直：
设＝，＝，且0，则有：
1）||＝。
2）（0）·
＝0。
（9）线段的定比分公式：
设，，是线段的分点，是实数，且，则
（）。
（10）三角形的重心公式：
△ABC三个顶点的坐标分别为、、，则△ABC的重心的坐标为。
（11）平移公式：
。
（12）关于向量平移的结论。
1）点按向量＝平移后得到点。
2）函数的图像按向量＝平移后得到图像:
3）图像按向量＝平移后得到图像:
，则为。
4）曲线:
按向量＝平移后得到图像:
设a=（x，y），b=（x'
，y'
）。
1、向量的加法
向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
向量的加法
OB+OA=OC。
a+b=（x+x'
，y+y'
a+0=0+a=a。
向量加法的运算律：
交换律：
a+b=b+a；
结合律：
（a+b）+c=a+（b+c）。
[1]
2、向量的减法
如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0.0的反向量为0
AB-AC=CB.即“共同起点，指向被
向量的减法
减”
a=（x,y）b=（x'
y'
）则a-b=（x-x'
y-y'
）.
如图：
c=a-b以b的结束为起点，a的结束为终点。
3、向量的数乘
实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣·
∣a∣。
当λ>
0时，λa与a同方向
当λ<
0时，λa与a反方向；
向量的数乘
当λ=0时，λa=0，方向任意。
当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。
注：
按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。
实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。
1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ>
0）或反方向（λ<
0）上伸长为原来的∣λ∣倍
0）或×
×
反方向（λ<
0）上缩短为原来的∣λ∣倍。
数与向量的乘法满足下面的运算律
（λa）·
b=λ（a·
b）=（a·
λb）。
向量对于数的分配律（第一分配律）：
（λ+μ）a=λa+μa.
数对于向量的分配律（第二分配律）：
λ（a+b）=λa+λb.
数乘向量的消去律：
①如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。
②如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。
[2]
4、向量的数量积
定义：
已知两个非零向量a,b。
作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π
两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量（没有方向），记作a·
b。
若a、b不共线，则a·
b=|a|·
|b|·
cos〈a，b〉（依定义有：
cos〈a，b〉=a·
b/|a|·
|b|）；
若a、b共线，则a·
b=±
∣a∣∣b∣。
向量的数量积的坐标表示：
a·
b=x·
x'
+y·
y'
向量的数量积的运算律
b=b·
a（交换律）
b）（关于数乘法的结合律）
（a+b）·
c=a·
c+b·
c（分配律）
向量的数量积的性质
a=|a|的平方。
a⊥b〈=〉a·
b=0。
|a·
b|≤|a|·
|b|。
（该公式证明如下：
b|=|a|·
|cosα|因为0≤|cosα|≤1，所以|a·
|b|）
向量的数量积与实数运算的主要不同点
1．向量的数量积不满足结合律，即：
（a·
b）·
c≠a·
（b·
c）；
例如：
b）^2≠a^2·
b^2。
2．向量的数量积不满足消去律，即：
由a·
b=a·
c（a≠0），推不出b=c。
3．|a·
b|与|a|·
|b|不等价
4．由|a|=|b|，推不出a=b或a=-b。
5、向量的向量积
两个向量a和b的向量积
向量的几何表示
（外积、叉积）是一个向量，记作a×
b（这里“×
”并不是乘号，只是一种表示方法，与“·
”不同，也可记做“∧”）。
若a、b不共线，则a×
b的模是：
∣a×
b∣=|a|·
sin〈a，b〉；
a×
b的方向是：
垂直于a和b，且a、b和a×
b按这个次序构成右手系。
若a、b垂直，则a×
向量的向量积性质：
b∣是以a和b为边的平行四边形面积。
a=0。
a垂直b〈=〉a×
b=0
向量的向量积运算律
b=-b×
a
（λa）×
b=λ（a×
b）=a×
（λb）
（b+c）=a×
b+a×
c.
向量没有除法，“向量AB/向量CD”是没有意义的。
6、三向量的混合积
给定空间三向量a、b、c，向量a、b的向量积a×
b，再和向量c作数量积（a×
c，
向量的混合积
所得的数叫做三向量a、b、c的混合积，记作（a,b,c）或（abc），即（abc）=（a,b,c）=（a×
c
混合积具有下列性质：
1．三个不共面向量a、b、c的混合积的绝对值等于以a、b、c为棱的平行六面体的体积V，并且当a、b、c构成右手系时混合积是正数；
当a、b、c构成左手系时，混合积是负数，即（abc）=εV（当a、b、c构成右手系时ε=1；
当a、b、c构成左手系时ε=-1）
2．上性质的推论：
三向量a、b、c共面的充要条件是（abc）=0
3．（abc）=（bca）=（cab）=-（bac）=-（cba）=-（acb）
4．（a×
（b×
c）
7.例题
正方形ABCD,EFGA,CHIK首尾相连，L是EH中点，求证LB⊥GK？
设AE=a﹙向量﹚,AG=a'
AD=c,AB=c'
CH=b,CK=b'
有aa'
=bb'
=cc'
=0,a2=a'
2,b2=b'
2,c2=c'
2,a'
b=ab'
a'
c'
=-ac,a'
c=ac'
bc=b'
.b'
c=-bc'
﹙*﹚FH=-a+c+c'
+bLB=FH/2-b-c=﹙-a-c+c'
-b﹚/2,GK=-a'
+c'
+c+b'
从﹙*﹚：
﹙-a-c+c'
-b﹚·
﹙-a'
﹚=……=0.∴LB⊥GK
8、三向量二重向量积
由于二重向量叉乘的计算较为复杂，于是直接给出了下列化简公式以及证明过程：
二重向量叉乘化简公式及证明
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