双曲线及其标准方程习题Word文档格式.doc

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10.

3．以椭圆＋＝1的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线的方程是（　　）

A.－y2＝1 B．y2－＝1

C.－＝1 D.－＝1

选B.椭圆＋＝1的焦点为F1（0,1），F2（0，－1），长轴的端点A1（0,2），A2（0，－2），所以对于所求双曲线a＝1，c＝2，b2＝3，焦点在y轴上，双曲线的方程为y2－＝1.

4．在方程mx2－my2＝n中，若mn＜0，则方程表示的曲线是（　　）

A．焦点在x轴上的椭圆

B．焦点在x轴上的双曲线

C．焦点在y轴上的椭圆

D．焦点在y轴上的双曲线

选D.将方程化为－＝1.

5．若点M在双曲线－＝1上，双曲线的焦点为F1，F2，且|MF1|＝3|MF2|，则|MF2|等于（　　）

A．2 B．4

C．8 D．12

选B.双曲线中a2＝16，a＝4,2a＝8，由双曲线定义知||MF1|－|MF2||＝8，又|MF1|＝3|MF2|，所以3|MF2|－|MF2|＝8，解得|MF2|＝4.

6．设m是常数，若点F（0,5）是双曲线－＝1的一个焦点，则m＝________.

由点F（0,5）可知该双曲线－＝1的焦点落在y轴上，所以m＞0，且m＋9＝52，解得m＝16.

答案：

16

7．已知双曲线的焦点分别为（0，－2）、（0,2），且经过点P（－3，2），则双曲线的标准方程是________．

由题知c＝2，又点P到（0，－2）和（0,2）的距离之差的绝对值为2a，

2a＝|－|＝2，∴a＝1，∴b2＝c2－a2＝3.又焦点在y轴上，

∴双曲线的方程为y2－＝1.

y2－＝1

8．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线－＝1上一点M的横坐标为3，则点M到此双曲线的右焦点的距离为________．

由题易知，双曲线的右焦点为（4,0），点M的坐标为（3，）或（3，－），则点M到此双曲线的右焦点的距离为4.

4

9．求满足下列条件的双曲线的标准方程．

（1）已知双曲线的焦点在y轴上，并且双曲线过点（3，－4）和（，5）．

（2）与双曲线－＝1有公共焦点，且过点（3，2）．

解：

（1）由已知，可设所求双曲线方程为－＝1（a＞0，b＞0），则

解得

所以双曲线的方程为－＝1.

（2）设双曲线方程为－＝1（a＞0，b＞0）．

由题意知c＝2.

因为双曲线过点（3，2），

所以－＝1.

又因为a2＋b2＝

（2）2，

所以a2＝12，b2＝8.

故所求双曲线的方程为－＝1.

10．焦点在x轴上的双曲线过点P（4，－3），且点Q（0,5）与两焦点的连线互相垂直，求此双曲线的标准方程．

因为双曲线焦点在x轴上，所以设双曲线的标准方程为－＝1（a＞0，b＞0），F1（－c,0），F2（c,0）．

因为双曲线过点P（4，－3），

所以－＝1.①

又因为点Q（0,5）与两焦点的连线互相垂直，

所以·

＝0，即－c2＋25＝0.

解得c2＝25.②

又c2＝a2＋b2，③

所以由①②③可解得a2＝16或a2＝50（舍去）．所以b2＝9，所以所求的双曲线的标准方程是－＝1.

[高考水平训练]

1．已知双曲线－＝1的焦点为F1，F2，点M在双曲线上，且MF1⊥x轴，则F1到直线F2M的距离为（　　）

A. B.

C. D.

选C.

不妨设点F1（－3,0），

容易计算得出

|MF1|＝＝，

|MF2|－|MF1|＝2.

解得|MF2|＝.

而|F1F2|＝6，在直角三角形MF1F2中，

由|MF1|·

|F1F2|＝|MF2|·

d，

求得F1到直线F2M的距离d为.

2．已知双曲线的两个焦点F1（－，0），F2（，0），P是双曲线上一点，且·

＝0，|PF1|·

|PF2|＝2，则双曲线的标准方程为________．

由题意可设双曲线方程为

－＝1（a＞0，b＞0）．

由·

＝0，得PF1⊥PF2.根据勾股定理得

|PF1|2＋|PF2|2＝（2c）2，即|PF1|2＋|PF2|2＝20.

根据双曲线定义有|PF1|－|PF2|＝±

2a.

两边平方并代入|PF1|·

|PF2|＝2得

20－2×

2＝4a2，解得a2＝4，从而b2＝5－4＝1，

所以双曲线方程为－y2＝1.

－y2＝1

3．设圆C与两圆（x＋）2＋y2＝4，（x－）2＋y2＝4中的一个内切，另一个外切．求C的圆心轨迹L的方程．

设两圆（x＋）2＋y2＝4，（x－）2＋y2＝4的圆心分别为F1（－，0），F2（，0），两圆相离，

由题意得||CF1|－|CF2||＝4＜2＝|F1F2|，

从而得动圆的圆心C的轨迹是双曲线，

且a＝2，c＝，所以b＝＝1，

所求轨迹L的方程为－y2＝1.

4．如图，若F1，F2是双曲线－＝1的两个焦点．

（1）若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；

（2）若P是双曲线左支上的点，且|PF1|·

|PF2|＝32，试求△F1PF2的面积．

双曲线的标准方程为－＝1，

故a＝3，b＝4，c＝＝5.

（1）由双曲线的定义得||MF1|－|MF2||＝2a＝6，又双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，假设点M到另一个焦点的距离等于x，则|16－x|＝6，解得x＝10或x＝22.

故点M到另一个焦点的距离为10或22.

（2）将||PF2|－|PF1||＝2a＝6，两边平方得

|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·

|PF2|＝36，

∴|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·

|PF2|＝36＋2×

32＝100.

在△F1PF2中，由余弦定理得

cos∠F1PF2＝

＝＝0，

∴∠F1PF2＝90°

，

∴S△F1PF2＝|PF1|·

|PF2|＝×

32＝16.