第四章矩阵练习题参考答案Word文件下载.docx

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令∴

（）同样设

.

.解：

设,由于,考虑到,有

.

根据两个矩阵相等即对应元素相等,得

当时，,，.

只能是对角矩阵.

设（），，且

∴∴为与同型的准对角形矩阵.

（）设,

由,得,

（）（行）.

（列）

两式相等,对应元素相等,得,且,（≠）,,（≠）

（）由于与所有级矩阵可换，故

的第一行元素除外其余元素全为零.

的第二行除外其余元素全为.

的第三行除外其余元素全为.

的第行除外其余元素全为.

所以.

.证明：

．证明：

..

若为实对称矩阵，若,则.

若为

，矛盾，所以.

．证法：

设，,则.所以由

得,.

证法..

并且;

．

令,

，所以

.设是矩阵,证明存在一个非零矩阵使得的充要条件是.

证明：

则.

∵∴,

．设是矩阵,如果对于任意的维向量,均有,证明.

证法：

考虑.分别取条件中的为的每一列,则,所以.

又,得.

证法.设,取,….

.得.

证法.因为对于任意的维向量,均有,所以齐次线性方程组的解空间是

维空间,即解空间是维的（基础解系含有个向量）,该方程组含有个未知量,所以系

数矩阵的秩为,（）,于是.

.设是一个矩阵,为一个矩阵,且（）,证明:

（）如果，则。

（）如果,则.

（）证法.考虑齐线方程组,有个未知量,而（）（）未知量个数,所

以只有零解.由,,的列向量均为齐次线性方程组的解,所以

的各列元素均为零,得,.

证法.因为（）,所以有一个阶子式非零,不妨假设的前列作成的子式非零,即

由,得,于是对每一个,,…,有

上述齐次线性方程组的系数行列式不为零,从而只有零解,即,,….所以.

（）若,则（）,由（）得，.

（）（）（）.

设（）,（）,其极大无关组为的行向量为,其极大无关组为,那么

于是的行向量组可由向量组线性表出.（）（）（）（）.

.设为矩阵，证明：

如果,则（）（）.

设（）,那么，线性方程组的基础解系可设为.

设的各列为,,…,..由，得,即是的解,所以,,…,.可由线性表示，于是

（,,…,.）（）,

所以,（）（）.

如果,那么,.

由,得,从而

.

.解（）,∴

（）,首先,再考虑的伴随矩阵的元素:

（）

.

（）,,

∴.

（）法：

法：

……→

（）,

（）求，.

解法：

令,由于,所以（），再令，则.由题的结论，

（）（）2A（）（）

.

解法:

，

，，，

解法.

（,）.

.设

解：

由于，所以.

.设，求.

解法.块为，由题，（见上面）

.求矩阵.

∵

（）（）

（）由，且可逆得，故

所以.

（）,,

.①,∴.

若.

②若,,得,

于是不可逆.

.证明:

（）若上三角形，则.

时，对于中的每一项,当时,;

当时,由于,所以有,从而.这样

故为上三角.

.

所以为下三角.

（）证法.（）的主对角线上的元素均非零,

考虑为去掉的第行和第列得到的阶子式,它仍是一个上三角行列式,且位于主对角线的第个元素为了,所以.

∴上三角形矩阵，故也是上三角

（）同理,当为下三角形矩阵时，为上三角∴（）为上三角，即（）为上三角，故为下三角。

证法.考虑求解逆矩阵的方法,由于的主对角线上的元素均非零,首先对矩阵作第三种初等行变换:

,…,;

（第列除了外其余元素均为零）

再作:

…,;

（第列除了外其余元素均为零）

…,依次下去,使得的元素除了主对角线上的元以外全为零.再作第二类初等行变换使得主对角线上的于是均变为.这时,经过了一系列如上的变换,把化为.与上述所有行变换对应的初等矩阵均为上三角形矩阵,即是一系列上三角形矩阵的成乘积,从而是上三角形矩阵.

由,若则.

若由,题得秩.

∴.

总之，各种情形均有.

.证明：

如果是矩阵（），那么

（）若（）,则,由*,可知*可逆.

（）若（），则的解空间是一维的.又*,所以*的列向量都是的解.于是得（*）.再由于（）,所以至少有一个阶子式非零，即（*）,得（*）.

（）若（）<

则的所有元素的代数余子式全为零，所以*,（*）.

（）,,.

而

方法：

∵4A,.

.,

又,

得.

补充题

1.设是一个矩阵，（）,证明

（）证法：

因为（）,所以存在可逆矩阵和,使得

于是

，其中是的第一列元素，是的第一行元素.

证法.因为（）,所以的行向量组的秩为.设的行向量为,其极大无关组为,则其余的行向量都可由线性表出.设为

则.

（）

2.设是矩阵，证明：

如果（）,那么.

证明:

由于，所以（）.

若（）,则,结论成立.

设（）,由第一题，

若,则.若,则,得.但（）.所以必有，即.

3.设是矩阵，证明：

如果,那么

（）（）.

由得（）（）.所以一方面的列向量都是齐次线性方程组（）的解向量，从而（）（）.

另一方面，考虑（）（）,所以

（）（（）（））（）（）.

综上得（）（）.

4.设是矩阵，且,证明：

证明与题类似，略去.

5.证明：

由于*,所以*（*）**.又*,所以若（）<

则（*），>

所以（*）*,结论成立.若（）,则*,于是由*（*）**，（*）**,

6.设都是矩阵，且,,证明

证法:

因为可逆，所以

因为，所以

.设是一个矩阵,且（）.证明存在矩阵使得的后行全为零.

由（）.存在矩阵，，使得.于是，后者是一个后行元素全为零的矩阵.

.（）把矩阵表成形式为的矩阵的乘积.

（）设是一个复矩阵，,证明可以表成（（））这一类初等矩阵的乘积.

不妨假设,否则由均非零，可以对该矩阵作（（））类变换，使其位于（）位置的元素非零.对做这一类的初等变换使其变为单位矩阵.

得

.设是一个阶矩阵，,证明可表成（（））这一类初等矩阵的乘积.

（）设（）,由于,所以的第一列元素不全为零，于是可以用形如（（））的初等变换把位于（）位置的元变为非零元.所以不妨假设,用变换,,…,,即对左乘初等矩阵（（））,（（））,…,（（））,得.

由于这一类初等变换不改变行列式的值，所以.不妨假设,对再进行一系列第三类的初等变换，把它变为.

（）,且.对作如下变换：

再对上式右端的矩阵作变换

（,（）（））,（,（）（））,…,（,（）（））,…,最后化为单位矩阵.总结上述过程，相当于对左乘了一系列的第三类初等矩阵，把它变为单位矩阵.由于第三类初等矩阵的逆仍为第三类，所以可表为一系列第三类初等矩阵的乘积.

.设（）,（）,证明（）（）（）.

设（）,（）,则存在阶可逆矩阵和阶可逆矩阵使得

于是由（）（）,我们有

，其中为矩阵的前行.考虑到（）（）,所以假设的行向量为，，…，,则的行向量为，…，.考虑矩阵和向量组的秩：

（）（，，…，,）（，…，）（，…，）（）.

所以，（）（）（）（）（）.

.矩阵的列（行）向量如果是线性无关的，就称该矩阵为列（行）满秩.设是矩阵，则是列满秩的充要条件为存在可逆矩阵使,同样是行满秩的充要条件为存在可逆矩阵使（,）.

假设为列满秩矩阵，则（）,且的行向量组的秩为.所以交换的各行可以使得其前行的向量线性无关.相当于左乘初等矩阵,使得1A,其中.令,则.所以，其中（）.

类似可证行满秩的结论.

．矩阵的秩为，则有的列满秩矩阵和的行满秩矩阵使.

由条件存在阶可逆矩阵和阶可逆矩阵使得其中.是可逆矩阵的前列（线性无关）构成的矩阵，从而是列满秩的.同理，是由可逆矩阵的前行构成，为行满秩的矩阵.