第四章矩阵练习题参考答案Word文件下载.docx
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令∴
()同样设
.
.解:
设,由于,考虑到,有
.
根据两个矩阵相等即对应元素相等,得
当时,,,.
只能是对角矩阵.
设(),,且
∴∴为与同型的准对角形矩阵.
()设,
由,得,
()(行).
(列)
两式相等,对应元素相等,得,且,(≠),,(≠)
()由于与所有级矩阵可换,故
的第一行元素除外其余元素全为零.
的第二行除外其余元素全为.
的第三行除外其余元素全为.
的第行除外其余元素全为.
所以.
.证明:
.证明:
..
若为实对称矩阵,若,则.
若为
,矛盾,所以.
.证法:
设,,则.所以由
得,.
证法..
并且;
.
令,
,所以
.设是矩阵,证明存在一个非零矩阵使得的充要条件是.
证明:
则.
∵∴,
.设是矩阵,如果对于任意的维向量,均有,证明.
证法:
考虑.分别取条件中的为的每一列,则,所以.
又,得.
证法.设,取,….
.得.
证法.因为对于任意的维向量,均有,所以齐次线性方程组的解空间是
维空间,即解空间是维的(基础解系含有个向量),该方程组含有个未知量,所以系
数矩阵的秩为,(),于是.
.设是一个矩阵,为一个矩阵,且(),证明:
()如果,则。
()如果,则.
()证法.考虑齐线方程组,有个未知量,而()()未知量个数,所
以只有零解.由,,的列向量均为齐次线性方程组的解,所以
的各列元素均为零,得,.
证法.因为(),所以有一个阶子式非零,不妨假设的前列作成的子式非零,即
由,得,于是对每一个,,…,有
上述齐次线性方程组的系数行列式不为零,从而只有零解,即,,….所以.
()若,则(),由()得,.
()()().
设(),(),其极大无关组为的行向量为,其极大无关组为,那么
于是的行向量组可由向量组线性表出.()()()().
.设为矩阵,证明:
如果,则()().
设(),那么,线性方程组的基础解系可设为.
设的各列为,,…,..由,得,即是的解,所以,,…,.可由线性表示,于是
(,,…,.)(),
所以,()().
如果,那么,.
由,得,从而
.
.解(),∴
(),首先,再考虑的伴随矩阵的元素:
()
.
(),,
∴.
()法:
法:
……→
(),
()求,.
解法:
令,由于,所以(),再令,则.由题的结论,
()()2A()()
.
解法:
,
,,,
解法.
(,).
.设
解:
由于,所以.
.设,求.
解法.块为,由题,(见上面)
.求矩阵.
∵
()()
()由,且可逆得,故
所以.
(),,
.①,∴.
若.
②若,,得,
于是不可逆.
.证明:
()若上三角形,则.
时,对于中的每一项,当时,;
当时,由于,所以有,从而.这样
故为上三角.
.
所以为下三角.
()证法.()的主对角线上的元素均非零,
考虑为去掉的第行和第列得到的阶子式,它仍是一个上三角行列式,且位于主对角线的第个元素为了,所以.
∴上三角形矩阵,故也是上三角
()同理,当为下三角形矩阵时,为上三角∴()为上三角,即()为上三角,故为下三角。
证法.考虑求解逆矩阵的方法,由于的主对角线上的元素均非零,首先对矩阵作第三种初等行变换:
,…,;
(第列除了外其余元素均为零)
再作:
…,;
(第列除了外其余元素均为零)
…,依次下去,使得的元素除了主对角线上的元以外全为零.再作第二类初等行变换使得主对角线上的于是均变为.这时,经过了一系列如上的变换,把化为.与上述所有行变换对应的初等矩阵均为上三角形矩阵,即是一系列上三角形矩阵的成乘积,从而是上三角形矩阵.
由,若则.
若由,题得秩.
∴.
总之,各种情形均有.
.证明:
如果是矩阵(),那么
()若(),则,由*,可知*可逆.
()若(),则的解空间是一维的.又*,所以*的列向量都是的解.于是得(*).再由于(),所以至少有一个阶子式非零,即(*),得(*).
()若()<
则的所有元素的代数余子式全为零,所以*,(*).
(),,.
而
方法:
∵4A,.
.,
又,
得.
补充题
1.设是一个矩阵,(),证明
()证法:
因为(),所以存在可逆矩阵和,使得
于是
,其中是的第一列元素,是的第一行元素.
证法.因为(),所以的行向量组的秩为.设的行向量为,其极大无关组为,则其余的行向量都可由线性表出.设为
则.
()
2.设是矩阵,证明:
如果(),那么.
证明:
由于,所以().
若(),则,结论成立.
设(),由第一题,
若,则.若,则,得.但().所以必有,即.
3.设是矩阵,证明:
如果,那么
()().
由得()().所以一方面的列向量都是齐次线性方程组()的解向量,从而()().
另一方面,考虑()(),所以
()(()())()().
综上得()().
4.设是矩阵,且,证明:
证明与题类似,略去.
5.证明:
由于*,所以*(*)**.又*,所以若()<
则(*),>
所以(*)*,结论成立.若(),则*,于是由*(*)**,(*)**,
6.设都是矩阵,且,,证明
证法:
因为可逆,所以
因为,所以
.设是一个矩阵,且().证明存在矩阵使得的后行全为零.
由().存在矩阵,,使得.于是,后者是一个后行元素全为零的矩阵.
.()把矩阵表成形式为的矩阵的乘积.
()设是一个复矩阵,,证明可以表成(())这一类初等矩阵的乘积.
不妨假设,否则由均非零,可以对该矩阵作(())类变换,使其位于()位置的元素非零.对做这一类的初等变换使其变为单位矩阵.
得
.设是一个阶矩阵,,证明可表成(())这一类初等矩阵的乘积.
()设(),由于,所以的第一列元素不全为零,于是可以用形如(())的初等变换把位于()位置的元变为非零元.所以不妨假设,用变换,,…,,即对左乘初等矩阵(()),(()),…,(()),得.
由于这一类初等变换不改变行列式的值,所以.不妨假设,对再进行一系列第三类的初等变换,把它变为.
(),且.对作如下变换:
再对上式右端的矩阵作变换
(,()()),(,()()),…,(,()()),…,最后化为单位矩阵.总结上述过程,相当于对左乘了一系列的第三类初等矩阵,把它变为单位矩阵.由于第三类初等矩阵的逆仍为第三类,所以可表为一系列第三类初等矩阵的乘积.
.设(),(),证明()()().
设(),(),则存在阶可逆矩阵和阶可逆矩阵使得
于是由()(),我们有
,其中为矩阵的前行.考虑到()(),所以假设的行向量为,,…,,则的行向量为,…,.考虑矩阵和向量组的秩:
()(,,…,,)(,…,)(,…,)().
所以,()()()()().
.矩阵的列(行)向量如果是线性无关的,就称该矩阵为列(行)满秩.设是矩阵,则是列满秩的充要条件为存在可逆矩阵使,同样是行满秩的充要条件为存在可逆矩阵使(,).
假设为列满秩矩阵,则(),且的行向量组的秩为.所以交换的各行可以使得其前行的向量线性无关.相当于左乘初等矩阵,使得1A,其中.令,则.所以,其中().
类似可证行满秩的结论.
.矩阵的秩为,则有的列满秩矩阵和的行满秩矩阵使.
由条件存在阶可逆矩阵和阶可逆矩阵使得其中.是可逆矩阵的前列(线性无关)构成的矩阵,从而是列满秩的.同理,是由可逆矩阵的前行构成,为行满秩的矩阵.