利用直线参数方程t的几何性质解题Word文档格式.doc

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，则

性质一：

A、B两点之间的距离为，特别地，A、B两点到的距离分别为

性质二：

A、B两点的中点所对应的参数为，若是线段AB的中点，则

，反之亦然。

在解题时若能运用参数t的上述性质，则可起到事半功倍的效果。

应用一：

求距离

例1、直线过点，倾斜角为，且与圆相交于A、B两点。

（1）求弦长AB.

（2）求和的长。

解：

因为直线过点，倾斜角为，所以直线的参数方程为

，即，（t为参数），代入圆方程，得

，整理得

（1）设A、B所对应的参数分别为，所以，，

所以

（2）解方程得，，

所以，

应用二：

求点的坐标

例2、直线过点，倾斜角为，求出直线上与点相距为4的点的坐标。

，即，（t为参数），

（1）

设直线上与已知点相距为4的点为M点，且M点对应的参数为t，则

，所以，将t的值代入

（1）式，

当t＝4时，M点的坐标为；

当t＝－4时，M点的坐标为，

综上，所求M点的坐标为或.

点评：

若使用直线的普通方程，利用两点间的距离公式求M点的坐标较麻烦，而使用直线的参数方程，充分利用参数t的几何意义求M点的坐标较容易。

应用三：

解决有关弦的中点问题

例3、过点，倾斜角为的直线和抛物线相交于A、B两点，求线段AB的中点M点的坐标。

直线过点，倾斜角为，所以直线的参数方程为

，（t为参数），因为直线和抛物线相交，将直线的参数方程代入抛物线方程

中，得：

，整理得，

，设这个二次方程的两个根为，

由韦达定理得，由M为线段AB的中点，根据t的几何意义，得

，易知中点M所对应的参数为，将此值代入直线的参数方程得，M点的坐标为（2，1）

对于上述直线的参数方程，A、B两点对应的参数为，则它们的中点所对应的参数为