初高中数学衔接内容Word文件下载.doc

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8.2点的轨迹

1.1绝对值

【要点回顾】

1．绝对值

[1]绝对值的代数意义：

．即．

[2]绝对值的几何意义：

的距离．

[3]两个数的差的绝对值的几何意义：

表示的距离．

[4]两个绝对值不等式:

；

．．

【例题选讲】

例1解下列不等式：

（1）

（2）＞4

练习

1．填空：

（1）若，则x=_________；

若，则x=_________.

（2）如果，且，则b＝________；

若，则c＝________.

2．选择题：

下列叙述正确的是（）

（A）若，则（B）若，则

（C）若，则（D）若，则

3．化简：

|x－5|－|2x－13|（x＞5）．

4、解答题：

已知，求的值.

1.2.乘法公式

乘法公式

我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：

[1]平方差公式：

；

[2]完全平方和公式：

；

[3]完全平方差公式：

．

我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：

[公式1]

[公式2]（立方和公式）

[公式3]（立方差公式）

例1计算：

（1）

（2）

（3）（4）

例2已知，，求的值．

练习1．填空：

（1）（）；

（2）；

（3）．

（1）若是一个完全平方式，则等于（）

（A）（B）（C）（D）

（2）不论，为何实数，的值（）

（A）总是正数（B）总是负数（C）可以是零（D）可以是正数也可以是负数

1.3．二次根式

[1]式子叫做二次根式，其性质如下：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）．

[2]平方根与算术平方根的概念：

叫做的平方根，记作，其中叫做的算术平方根．

[3]立方根的概念：

叫做的立方根，记为

例1.将下列式子化为最简二次根式：

（1）；

（2）；

（3）（4）

例2计算：

（1）

（2）

（3） （4）

例3　化简：

（2）

练习1．填空：

（1）若，则的取值范围是_____；

（3）_____；

（4）若，则________．

等式成立的条件是（　　）

（A）　（B）　　（C）　　（D）

3、若，求的值

4、解答：

设，求代数式的值

1.４．分式

[1]分式的意义形如的式子，若B中含有字母，且，则称为分式．当时，分式具有下列性质：

（1）；

（2）．

[2]繁分式当分式的分子、分母中至少有一个是分式时，就叫做繁分式，

[3]分母（子）有理化

把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；

而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程

例1　若，求常数的值．

例2　

（1）试证：

（其中n是正整数）；

（2）计算：

（3）证明：

对任意大于1的正整数n，有．

例3　设，且e＞1，2c2－5ac＋2a2＝0，求e的值．

练习

1．填空题：

对任意的正整数n，（）；

若，则＝　　（　　）

　　（A）１（B）　（C）　（D）

3．正数满足，求的值．

4．计算．

专题检测

（一）

1．解不等式：

（1）；

（2）；

（3）．

2．填空：

（1）＝________；

（2）若，则的取值范围是________；

（3）________．

（4），，则________；

（5）若，则____；

3．选择题：

（1）若，则　　（　　）

（A）（B）　（C）　（D）

（2）计算等于　　　　　　　　　　　　　（　　）

（A）　（B）　（C）　（D）

4．求值

（1）已知，求的值．

（2）已知：

，求的值．

5．解方程．

6．计算：

．

7．试证：

对任意的正整数n，有＜．

专题二因式分解

【要点回顾】

因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形．在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用．是一种重要的基本技能．

因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法（平方差公式和完全平方公式）外，还有公式法（立方和、立方差公式）、十字相乘法和分组分解法等等．

1．公式法

常用的乘法公式：

；

；

．

[4]

[5]（立方和公式）

[6]（立方差公式）

由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形，所以把整式乘法公式反过来写，运用上述公式可以进行因式分解．

2．分组分解法

从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式．而对于四项以上的多项式，如既没有公式可用，也没有公因式可以提取．因此，可以先将多项式分组处理．这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法．分组分解法的关键在于如何分组．

常见题型：

（1）分组后能提取公因式

（2）分组后能直接运用公式

3．十字相乘法

（1）型的因式分解

这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：

①二次项系数是1；

②常数项是两个数之积；

③一次项系数是常数项的两个因数之和．

∵，

∴

运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式．

（2）一般二次三项式型的因式分解

由我们发现，二次项系数分解成，常数项分解成，把写成，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到，如果它正好等于的一次项系数，那么就可以分解成，其中位于上一行，位于下一行．这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．

必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解．

4．其它因式分解的方法

其他常用的因式分解的方法：

（1）配方法

（2）拆、添项法

例分解因式：

（1）

（2）（3）；

（4）．（5）（6）

（7）（8）（9）

（10） （11）（12）

练习

1．分解因式：

（2）；

（3）；

　（4）．

（5）；

（6）；

（7）；

（8）．

3．三边，，满足，试判定的形状．

4．分解因式：

x2＋x－（a2－a）．

专题三一元二次方程

1．一元二次方程的根的判断式

一元二次方程，用配方法将其变形为：

由于可以用的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因此，把叫做一元二次方程的根的判别式，表示为：

对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），有

[1]当Δ0时，方程有两个不相等的实数根：

；

[2]当Δ0时，方程有两个相等的实数根：

[3]当Δ0时，方程没有实数根．

2．一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）

定理：

如果一元二次方程的两个根为，那么：

说明：

一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为”韦达定理”．上述定理成立的前提是．

特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x2＋px＋q＝0，若x1，x2是其两根，由韦达定理可知

x1＋x2＝－p，x1·

x2＝q，即p＝－（x1＋x2），q＝x1·

x2，

所以，方程x2＋px＋q＝0可化为x2－（x1＋x2）x＋x1·

x2＝0，由于x1，x2是一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根，所以，x1，x2也是一元二次方程x2－（x1＋x2）x＋x1·

x2＝0．因此有

以两个数x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x2－（x1＋x2）x＋x1·

x2＝0．

例1