函数的单调性与最值练习题Word格式文档下载.doc

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4．下列区间中，函数f（x）＝|ln（2－x）|在其上为增函数的是（　　）

A．（－∞，1] B．[－1，]

C．[0，） D．[1,2）

5．函数y＝（）2x2－3x＋1的递减区间为（　　）

A．（1，＋∞） B．（－∞，）

C．（，＋∞） D．[，＋∞）

6．已知函数f（x）是定义在（－∞，0）∪（0，＋∞）上的偶函数，在（0，＋∞）上单调递减，且f（）>

0>

f（－），则方程f（x）＝0的根的个数为（　　）

A．0 B．1

C．2 D．3

二、填空题

7．函数f（x）＝log5（2x＋1）的单调增区间是________．

8．函数f（x）＝，g（x）＝x2f（x－1），则函数g（x）的递减区间是________．

9．已知函数f（x）＝（a≠1），若f（x）在区间（0,1]上是减函数，则实数a的取值范围是________．

三、解答题

10．已知函数f（x）对任意的a，b∈R恒有f（a＋b）＝f（a）＋f（b）－1，并且当x>

0时，f（x）>

1.

（1）求证：

f（x）是R上的增函数；

（2）若f（4）＝5，解不等式f（3m2－m－2）<

3.

11．已知f（x）＝（x≠a）．

（1）若a＝－2，试证f（x）在（－∞，－2）内单调递增；

（2）若a>

0且f（x）在（1，＋∞）内单调递减，求a的取值范围．

12．设奇函数f（x）在[－1,1]上是增函数，f（－1）＝－1.若函数f（x）≤t2－2at＋1对所有的x∈[－1,1]，a∈[－1,1]都成立，求t的取值范围．

详解答案

1．解析：

A选项中，函数y＝x3是奇函数；

B选项中，y＝|x|＋1是偶函数，且在（0，＋∞）上是增函数；

C选项中，y＝－x2＋1是偶函数，但在（0，＋∞）上是减函数；

D选项中，y＝2－|x|＝（）|x|是偶函数，但在（0，＋∞）上是减函数．

答案：

B

2．解析：

由题意可知，函数f（x）在（0，＋∞）上为减函数．

A

3．解析：

据单调性定义，f（x）为减函数应满足：

即≤a<

4．解析：

由2－x>

0，得x<

2，即函数定义域是（－∞，2）．作出函数y＝|ln（－x）|的图象，再将其向右平移2个单位，即函数f（x）＝|ln（2－x）|的图象，由图象知f（x）在[1,2）上为增函数．

D

5．解析：

作出t＝2x2－3x＋1的示意图如右，

∵0<

<

1，

∴y＝（）t单调递减．

要使y＝（）2x2－3x＋1递减，

只需x∈[，＋∞]．

6．解析：

因为在（0，＋∞）上函数递减，且f（）·

f（－）<

0，又f（x）是偶函数，

所以f（）·

f（）<

0.

所以f（x）在（0，＋∞）上只有一个零点．

又因为f（x）是偶函数，则它在（－∞，0）上也有唯一的零点，故方程f（x）＝0的根有2个．

C

7．解析：

由题意知，函数f（x）＝log5（2x＋1）的定义域为{x|x＞－}，且函数y＝log5u，u＝2x＋1在各自定义域上都是增函数，所以该函数的单调增区间为（－，＋∞）．

（－，＋∞）

8．解析：

由条件知，g（x）＝

如图所示，其递减区间是[0,1）．

[0,1）

9．解析：

当a－1>

0，即a>

1时，要使f（x）在（0,1]上是减函数，

则需3－a×

1≥0，此时1<

a≤3.

当a－1<

0，即a<

1时，要使f（x）在（0,1]上是减函数，

则需－a>

0，此时a<

所以，实数a的取值范围是（－∞，0）∪（1,3]

（－∞，0）∪（1,3]

10．解：

（1）证明：

任取x1，x2∈R,且x1<

x2，

∵f（x2）＝f（（x2－x1）＋x1）＝f（x2－x1）＋f（x1）－1，

又x2－x1>

0，∴f（x2－x1）>

∴f（x2）－f（x1）＝f（x2－x1）－1>

0，即f（x2）>

f（x1）．

∴f（x）是R上的增函数．

（2）令a＝b＝2，得f（4）＝f

（2）＋f

（2）－1＝2f

（2）－1，

∴f

（2）＝3，

而f（3m2－m－2）<

3，∴f（3m2－m－2）<

f

（2）．

又f（x）在R上是单调递增函数，

∴3m2－m－2<

2.

∴3m2－m－4<

0，解得－1<

m<

.

故原不等式的解集为（－1，）．

11．解：

任设x1<

x2<

－2，

则f（x1）－f（x2）＝－＝.

∵（x1＋2）（x2＋2）>

0，x1－x2<

0，

∴f（x1）－f（x2）<

0，即f（x1）<

f（x2），.

∴f（x）在（－∞，－2）内单调递增．

（2）任设1<

x1<

x2，则

f（x1）－f（x2）＝－＝.

∵a>

0，x2－x1>

∴要使f（x1）－f（x2）>

0，只需（x1－a）（x2－a）>

0恒成立，∴a≤1.综上所述，a的取值范围是（0,1]．

12．解：

∵f（x）是奇函数，

∴f

（1）＝－f（－1）＝1，

又f（x）是[－1,1]上的奇函数，

∴当x∈[－1,1]时，f（x）≤f

（1）＝1.

又函数f（x）≤t2－2at＋1对所有的x∈[－1,1]都成立，

∴1≤t2－2at＋1⇔2at－t2≤0，

设g（a）＝2at－t2（－1≤a≤1），欲使2at－t2≤0恒成立，

则⇔t≥2或t＝0或t≤－2.

即所求t的取值范围是（－∞，－2]∪{0}∪[2，＋∞）．

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