全国高中数学联赛贵州省初赛试题文档格式.doc

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若前次出现绿灯，则下次出现红灯的概率是，出现绿灯的概率是.则开关第3次闭合后出现红灯的概率是.

5.已知则取值范围是.

6.已知，则函数的最小值是.

7.已知函数与的图象有且只有三个交点，则实数的取值范围.

8.对任意，任意，都有恒成立（注：

为自然对数的底数），则实数的取值范围.

二、填空题：

本大题共小题，共分。

9.（本小题满分分）

已知数列中，，且．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设数列的前项和为，求证：

．

10.（本小题满分分）

已知函数.若实数使得

有实根，求的最小值.

11.（本小题满分分）

已知椭圆的离心率为点、分别为其左、右焦点，其右焦点到点的距离为一动圆过点，且与直线相切，记动圆圆心的轨迹为G.

（Ⅰ）在轨迹G上有两点,椭圆上有两点满足，，且求四边形PMQN面积的最小值．

（Ⅱ）过点且斜率为的直线与椭圆C相交于不同的两点A，B．问在直线上是否存在点D，使得是与无关的常数？

参考答案

1.解：

依题意，有

，即

由正弦定理，得

又，所以

故.

2.解：

显然，开始的个球的球心位于边长为的正三角形的顶点处.若在上方空隙里放入半径为的小球，与它们相切，则其球心位于一正三棱锥的顶点，侧棱长为.于是该三棱锥的高满足

=

根据题意，得

解得

3.解：

依题意得的定义域为，且.

则.

4.解:

开关第1次闭合后出现红灯的概率是

开关第2次闭合后出现红灯的概率是

所以，开关第3次闭合后出现红灯的概率是

5.解：

显然，所求代数式的最小值为，当且仅当时取到.

当时，.

于是.

同理：

，.

以上三式相加即得

.

6.解：

设，使

所以，

由，则

又令，则

所以，当，即时，

函数的最小值是

7.解：

令

在上单调递增，在上单调递减

当时，有，且，

由

8.解：

又

由对任意，任意，都有恒成立

即任意，恒成立

也即是任意，恒成立

即所以，

9.解：

（Ⅰ）由得

所以数列是一个以为首项，为公比的等比数列

故，即

（Ⅱ）

所以由柯西不等式得

10.解：

将改写为：

设为直线

（1）上一点，则.

又设原点到直线

（1）的距离为，那么

再令上增，故

.也就是的最小值为.

11.解：

（Ⅰ）由及解得

所以，椭圆

又焦点

则动圆过点，且与直线相切的圆心的轨迹方程G：

设直线的倾斜角为，

则直线的倾斜角为

所以，四边形PMQN面积

当且仅当，四边形PMQN面积取到最小值8.

（Ⅱ）假设存在点D，使得是与无关的常数

设直线

由与联立方程组得

当时

此时是与无关的常数

所以，在直线上存在点，使得是与无关的常数。

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