任意角的三角比精品讲义文档格式.doc

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终边落在坐标轴上：

【象限角的集合表示】

第一象限角：

第二象限角：

第三象限角：

第四象限角：

【几类特殊角的表示】

终边在第一、三象限角平分线：

终边在第二、四象限角平分线：

终边在x轴上方：

终边在x轴下方：

终边在y轴右侧：

终边在y轴左侧：

终边关于x轴对称的两个角：

终边关于y轴对称的两个角：

二、例题分析

例1、下列命题中是真命题的是　　　　　　　　　　（）

A．小于90°

的角是锐角；

B．若是锐角，则的终边在第一象限；

C．若角与角的终边相同，则=；

D．若的终边在第一象限，则是正角。

例2、在下列各角中与330°

角的终边相同的是 　　　　　　（）

A．510°

　　　B．150°

　　　C．﹣60°

　D．﹣390°

例3、将下列各角化成+2k（0≤≤2，k∈Z）的形式，并指出它们是第几象限的角：

（1）；

（2）﹣315°

；

　（3）1500°

　（4）﹣9

II、弧度制

1、角的度量

（1）弧度制的定义

长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1rad，以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制。

（2）角的弧度数的计算

若是以角作为圆心角时所对弧的长，r是圆的半径，那么的弧度数的绝对值

||=

2、角度制与弧度制的换算

（1）角度化为弧度

=2rad，180°

=rad；

1°

=rad≈0．01745rad

（2）弧度化为角度

2rad=360°

，rad=180°

，1rad=≈57．30°

（3）常用的特殊角的弧度数

角度

0°

15°

30°

45°

60°

75°

90°

120°

135°

150°

弧度

3、弧长公式和扇形面积公式

（1）弧长公式

①角度制下的弧长公式为l=（n为角的角度数）

②弧度制下弧长公式为l=·

r，其中为圆弧所对的圆心角的弧度数，r为圆的半径

（2）扇形面积公式

①角度制下的扇形面积公式S=

②弧度制下扇形面积公式为S=l·

r，其中l为扇形的弧长，r为扇形的半径，弧度制下扇形面积公式还可以表示为S=r，其中为扇形的圆心角，r为扇形的半径

例4、

（1）将315°

30′化成弧度；

（2）将13．5rad化成度；

（3）时间经过4小时，时针、分针各转多少度？

等于多少弧度？

例5、已知扇形OAB的圆心角为120°

，半径长为6，

（1）求的长；

（2）求弓形AB的面积。

三、巩固练习

1．在与角10030°

终边相同的角中，求满足下列条件的角

（1）最大的负角；

（2）最小的正角；

　　（3）360°

~720°

的角。

2．如图，试用弧度制：

（1）分别写出终边在OA、OB上的角的集合；

（2）写出终边落在阴影部分（含边界）的角的集合。

3．若是第二象限角，试判断2，，角各是第几象限角？

4．用30cm长的铁丝围成一个扇形，应该怎样设计才能使扇形面积最大？

最大面积是多少？

5．如图，点A在半径为1且圆心在原点的圆上，且∠AOx=45°

，点P从点A出发，依逆时针方向等速沿单位圆周旋转。

已知P在1秒钟内转过的角度为（0°

<

180°

），经过2秒钟到达第三象限，经过14秒钟后又回到出发点A，求。

6．若是第三象限角，则所属的象限是。

四、课堂检测

1．用弧度制表示下列各角：

30°

=，60°

=，90°

=，120°

=，

=，240°

=，270°

=，360°

=。

２．用角度制表示下列各角：

=，=，=，=，3=。

3．终边在y轴的左方的角的集合是。

4．如图１所示，终边落在阴影部分（含边界）的角的集合为。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　图１

5．圆的半径为6cm，则15°

的圆心角所对的弧长为，扇形面积为（用表示）

6．下列命题：

①第一象限角都是锐角；

②锐角都是第一象限角；

③第一象限角一定不是负角；

④第二象限角大于第一象限角；

⑤第二象限角是钝角；

⑥小于180°

的角是钝角、直角或锐角；

其中真命题的序号是。

7．已知为第三象限的角，则终边所在位置是。

8．扇形的周长是16，圆心角是2rad，则扇形的面积是。

9．把下列各角化成0到2的角加上2k（k∈Z）的形式，并指出它们是第几象限角。

（2）﹣；

（3）1200°

　 （4）﹣12345°

10．

（1）在已知圆内，1弧度的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对弧长为多少？

（2）扇形OAB的面积是1cm，它的周长是4cm，求它的圆心角和弦AB的长。

11．已知集合A={|30°

+k·

90°

，k∈Z}，

集合B={|﹣45°

45°

，k∈Z}，求A∩B。

2、任意角的三角比

I、任意角的三角比

1、任意角的三角比的定义

设施一个任意角，的终边上任意一点P（除端点外）的坐标是（x，y），它与原点的距离是r（r=>

0），那么：

比值叫做α的正弦，记作sin，即sin=（∈R）；

比值叫做α的余弦，记作cos，即cos=（∈R）；

比值叫做α的正切，记作tan，即tan=（≠kπ+，k∈Z）；

比值叫做α的余切，记作cot，即cot=（≠kπ，k∈Z）；

比值叫做α的正割，记作sec，即sec=（≠kπ+，k∈Z）；

比值叫做α的余割，记作csc，即csc=（≠kπ，k∈Z）；

2、单位圆中的三角函数线

设任意角的终边与单位圆相交于点P（x，y），那么，sin==y，cos==x，如上右图，单位圆中的有向线段MP、OM、AT分别叫做角的正弦线、余弦线、正切线，即sin=MP，cos=OM，tan=AT。

例1、已知角的终边上有一点P（3t，4t）（t≠0），求角的六种三角函数值。

II、任意三角比的第一组诱导公式及各三角比在每个象限的符号

1、第一组诱导公式

终边相同的角的同一三角函数值相等，即：

sin（+k·

）=sin

cos（+k·

）=cos

tan（+k·

）=tan

2、一些特殊角的三角函数值

3、各三角比在每个象限的符号

sin（csc）cos（sec）tan（cot）

例2、根据下列条件，确定是第几象限的角。

（1）sin>

0，tan<

0；

（2）cos·

tan>

（3）sin2>

0，cos<

0。

1．已知∈（0，），求证：

sin<

tan。

2．若是第三象限角，判断以下各式的正、负。

（1）sin+cos；

（2）tan﹣sin；

（3）cot·

sec；

（4）sin·

sec

3．利用三角函数的定义证明：

·

=tan

4．

（1）在[0，2]内，求使sin>

的角的取值范围；

（2）设∈R，求使sin>

的角的取值范围。

5．“=”是“cos2=”的条件。

1．角的终边在y轴上，则的六个三角比中不存在的是。

2．已知角的终边经过下列各点，分别求角的正弦、余弦、正切、余切值。

（1）P（2，﹣3）；

（2）（﹣4t，3t），t≠0

3．不用计算器，确定下列三角比的符号：

（1）cos250°

（2）sin（﹣）；

（3）tan（﹣672°

）；

（4）tan

4．已知sin<

0，且tan>

0：

（1）求角的集合；

（2）求角终边所在的象限；

（3）试判断tan、sin、cos的符号。

五、课后作业

1．在与角终边相同的角中，绝对值最小的角是。

2．若是角终边上的一点，且，则实数的值为。

3．若角的终边上有一点，则的值为。

4．若一个扇形的圆心角为，弧长为，则这个扇形的面积为。

5．函数的值域是。

6．若是第二象