人教版必修二第二章测试题Word格式文档下载.docx
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②若直线a与b相交，b与c相交，则a与c相交；
③若直线a∥b，b∥c，则a∥b∥c；
④若直线a∥b，则a，b与直线c所成的角相等.
其中真命题的个数是（）
A．4 B．3 C．2 D．1
7.在正方体中（如右下图），与平面所成的角的大小是（）
A．90°
B．60°
C．45°
D．30°
8.如下图，设四面体各棱长均相等，分别为AC、AD中点，
则在该四面体的面上的射影是下图中的（）．
E
F
A
D
C
B
9.如图，平行四边形ABCD中，AB⊥BD，沿BD将△ABD折起，使面ABD⊥面BCD，连接AC，则在四面体ABCD的四个面中，互相垂直的平面的对数为（）．
A.1 B.2 C.3 D.4
10.异面直线a与b分别在平面α，β内，α与β交于直线l，则直线l与a，b的位置关系一定是（）
A.至少与a，b中的一条相交B.至多与a，b中的一条相交
C.至少与a，b中的一条平行D.与a，b都相交
11.在如下图所示的四个正方体中，能得出AB⊥CD的是（）．
12.三棱锥P-ABC的所有棱长都相等，D、E、F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是（）．
A.BC∥平面PDFB.DF⊥平面PAE
C.平面PDF⊥平面ABCD.平面PAE⊥平面ABC
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上）
13．已知两条相交直线，，∥平面，则与的位置关系是．
14.如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”，在一个正方体中，由过顶点的平面和直线构成的“正交线面对”的个数是______.
15．如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，以下四个命题:
N
M
①与平行；
②与是异面直线；
③与成60°
；
④与垂直.
其中正确的有（写出所有正确命题的序号）.
16．已知平面和直线，给出条件：
①；
②；
③；
④；
⑤．
（1）当满足条件时，有；
（2）当满足条件时，有．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（10分）如图所示，将边长为a的正方形ABCD沿对角线BD折成二面角A-BD-C，使AC=a，求证：
平面ABD⊥平面CBD.
18.如图，在正方体中，、、分别是、、的中点.求证：
平面∥平面.
19.（12分）多面体P-ABCD的直观图及三视图如图所示，其中正视图、侧视图是等腰直角三角形，俯视图是正方形，E、F、G分别为PC、PD、BC的中点.
（1）求证：
PA∥平面EFG；
（2）求三棱锥P-EFG的体积.
P
20．（12分）如右图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱⊥底面，，
是的中点，作交于点
（1）证明平面；
（2）证明平面．
21．（12分）如下图所示，正方形和矩形所在平面相互垂直，是的中点．
（2）若直线与平面成45o角，求异面直线与所成角的余弦值．
22.（14分）.在几何体中，，⊥平面，⊥平面，，．
（1）设平面与平面的交线为直线，求证：
∥平面；
（2）在棱上是否存在一点使得平面⊥平面．
参考答案
一、选择题
1.选B.平面是不能定义的原始概念，具有无限延展性，无长度、厚度之分，空间中的点构成线、线构成面，所以四种说法中①②不正确.
2.选D.当四点共面时，可形成平面四边形，确定一个平面.当四点不在同一平面内时，连接四点可形成四面体，可确定4个平面.
3.选D.∵AD⊥BC，AD⊥BD，∴AD⊥面BCD，又AD⊂平面ADC，∴面ADC⊥面BCD.
4.选C.∵a∥b，a⊥α，∴b⊥α，∵a∥b，b∥β，∴在β内有与b平行的直线，设为c，
又∵b⊥α，∴c⊥α，又∵c⊂β，∴α⊥β.
5.选A.∵EF∩GH=P，∴P∈EF，又∵EF面ABC，∴P∈面ABC，同理P∈GH，∴P∈面ACD，∴P在面ABC与面ACD的交线AC上.
6.选C.①中a与c可能异面、相交或平行；
②中a与c可能异面、相交或平行；
③是平行公理；
④显然正确.故③④正确.
7.选D.如图，A1在平面BB1D1D上的射影为B1D1的中点O1，设正方体棱长为1，则A1B=，A1O1=，所以sin∠A1BO1=，因此与平面所成的角∠A1BO1=30°
.
8.选B.如图，因为点D在平面ABC上的射影为正三角形ABC的中心O，因此点F的射影为AO的中点F′，因此在该四面体的面上的射影是图B.
9.选C.折叠后，∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，AB⊥BD，AB平面ABD，∴AB⊥平面BCD，AB平面ABC，∴平面ABC⊥平面BCD，∴AB⊥BC，同理CD⊥BD，CD平面BCD，∴CD⊥平面ABD，又∵CD平面ACD，∴平面ACD⊥平面ABD，互相垂直的平面有：
平面ABD⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD，平面ACD⊥平面ABD共3对.
10.选A.若a，b与都不相交，∵a，共面，b，共面，∴a∥，b∥，∴a∥b与a，b异面矛盾，∴a，b都与不相交不可能，故A正确.
11.选A.A中，∵CD⊥平面AMB，∴CD⊥AB;
B中，AB与CD成60°
角;
C中，AB与CD成45°
D中，AB与CD成角的正切值为.
12.选C.∵BC∥DF，∴BC∥平面PDF，A正确；
∵BC⊥PE，BC⊥AE，∴BC⊥平面PAE.又∵DF∥BC，∴DF⊥平面PAE，B正确；
∵BC⊥平面PAE，BC平面ABC，∴平面PAE⊥平面ABC，D正确.
二、填空题
13．因为直线与平面α没有公共点，因此直线b不会在平面α内，即直线b在平面α外，所以直线b与平面α可能平行，可能相交.
答案：
相交或平行.
14.正方体的一条棱对应着2个“正交线面对”，12条棱共对应着24个“正交线面对”；
正方体的一条面对角线对应着1个“正交线面对”，12条面对角线对应着12个“正交线面对”，共有36个.
36
15．如图，作出正方体原图，容易在图形中得出，①②是错误的；
因为CN∥BE，所以与所成角即为∠EBM=60°
，而AF⊥BE，所以AF⊥CN.
③④
16．
（1）在所给条件①②③④⑤中，①②③是互斥的条件，即一个成立，另两个肯定不成立；
④⑤也是互斥的条件.当具备条件③⑤时，成立；
当具备条件②⑤时，.
（1）③⑤；
（2）②⑤.
三、解答题
17.【证明】设原正方形的对角线AC和BD交于点O，则折叠后仍有AO⊥BD，CO⊥BD，∴∠AOC是二面角A-BD-C的平面角.∵AC=a，AO=CO=a，∴AC2=a2=AO2+CO2，∴∠AOC=90°
，二面角A-BD-C是直二面角，即平面ABD⊥平面CBD.
18.【证明】∵、分别是、的中点，∴∥，又平面，平面，∴∥平面，∴四边形为平行四边形，∴∥，又平面，平面，∴∥平面.又，∴平面∥平面.
19.【证明】
（1）方法一：
如图，取AD的中点H，连接GH，FH.
∵E、F分别为PC、PD的中点，∴EF∥CD.∵G、H分别为BC、AD的中点，
∴GH∥CD，∴EF∥GH，∴E、F、H、G四点共面.
∵F、H分别为DP、DA的中点，∴PA∥FH.
∵PA平面EFG，FH平面EFG，∴PA∥平面EFG.
方法二：
∵E、F、G分别为PC、PD、BC的中点.
∴EF∥CD，EG∥PB.
∵CD∥AB，∴EF∥AB.
∵PB∩AB=B，EF∩EG=E，
∴平面EFG∥平面PAB.
∵PA平面PAB，∴PA∥平面EFG.
（2）由三视图可知，PD⊥平面ABCD，又∵GC平面ABCD，∴GC⊥PD.∵四边形ABCD为正方形，∴GC⊥CD.∵PD∩CD=D，∴GC⊥平面PCD.∵PF=PD=1，EF=CD=1，∴S△PEF=EF·
PF=.
∵GC=BC=1，∴VP-EFG=VG-PEF=S△PEF·
GC=×
×
1=.
20．【证明】
（1）连接AC，AC交BD于O，连接EO．
∵底面ABCD是正方形，
∴点O是AC的中点
在中，EO是中位线，
∴PA//EO
而平面EDB且平面EDB，
∴PA//平面EDB
（2）∵PD⊥底面ABCD且底面ABCD，∴
∵PD=DC，可知是等腰直角三角形，而DE是斜边
PC的中线，
∴．①
同理：
由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC．
∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC，
∴BC⊥平面PDC，而平面PDC，
∴．②
由①和②推得平面PBC．而平面PBC，
∴，又且，
∴PB⊥平面EFD．
21．【证明】
（1）在矩形中，，
∵平面平面，且平面平面，∴，∴.
（2）由
（1）知：
，
∴是直线与平面所成的角，即.
设，
取，连接，
∵是的中点，
∴，
∴是异面直线与所成角或其补角.
连接交于点，
∵，的中点，
∴，∴.
∴异面直线与所成角的余弦值为．
22.【证明】
（1）∵CD⊥平面ABC，BE⊥平面ABC，
∴CD//BE，∴CD//平面ABE，
又l=平面ACD∩平面ABE，∴CD//l，
又平面BCDE，CD平面BCDE，∴l//平面BCDE．
（2）存在，F是BC的中点，下加以证明：
∵CD⊥平面ABC，
∴CD⊥AF.AB=AC，F是BC的中点，
∴，∴．
∴，∴是面和面所成二面角的平面角.在△中，FD=，
∴FD⊥FE，即，
∴平面AFD⊥平面AFE.
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