二倍角与半角的正弦余弦和正切教案Word格式.doc

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（二）、新课

一、（新课教学，注意情境设置）

在二倍角的正弦、余弦、正切的公式中如何求出的表达式？

探索研究证明：

二、概念或定理或公式教学（推导）

在倍角公式中，“倍角”与“半角”是相对的

1、在中，以a代2a，代a即得：

∴

2、在中，以a代2a，代a即得：

∴

3、以上结果相除得：

开方得：

特点：

1°

左式中的角是右式中的角的一半。

2°

公式的“本质”是用a角的余弦表示角的正弦、余弦、正切。

3°

根号前均有“”它由角“”所在象限来确定的，如果没有给定角的范围，“”应保留。

注意：

公式（3）成立的条件

公式

（1）

（2）（3）叫做半角公式，实际是二倍角公式的推论。

三、（概念辨析或变式问题，目的是加强概念、公式的理解或应用）

注意：

左边是平方形式，只要知道角终边所在象限，就可以开平方。

2°

公式的“本质”是用a角的余弦表示角的正弦、余弦、正切

3°

上述公式称之谓半角公式

4°

还有一个有用的公式：

（课后自己证）

四、典型例题（3个，基础的或中等难度）

例1、已知，求3cos2q+4sin2q的值

解：

∵∴cosq¹

0（否则2=-5）

∴解得：

tanq=2

∴原式

例2、已知，，tana=，tanb=，求2a+b

解：

∴

又∵tan2a<

0，tanb<

0∴，

∴∴2a+b=

例3、已知sina-cosa=，，求和tana的值

∵sina-cosa=∴

化简得：

∵∴∴

即

五、课堂练习（2个，基础的或中等难度）

1、已知sin+cos=，那么sinθ的值为____________，cos2θ的值为____________.

解析：

由sin+cos=，得1+sinθ=，sinθ=，

cos2θ=1－2sin2θ=1－2·

=.答案：

2、已知sin（x－）cos（x－）=－，求cos4x的值.

解：

由已知得sin（x－－）cos（x－）=－，∴cos2（x－）=.

∴sin2x=cos（－2x）=2cos2（－x）－1=－.

∴cos4x=1－2sin22x=1－=－.

六、拓展探究（2个）

1、已知α为第二象限角，cos+sin=－，求sin－cos和sin2α+cos2α的值.

由cos+sin=－平方得1+2sincos=，

即sinα=，cosα=－.此时kπ+＜＜kπ+.

∵cos+sin=－＜0，sincos=＞0，

∴cos＜0，sin＜0.∴为第三象限角.

∴2kπ+＜＜2kπ+，k∈Z.∴sin＜cos，

即sin－cos＜0.∴sin－cos=－=－，

sin2α+cos2α=2sinαcosα+1－2sin2α=.

2、已知6sin2α+sinαcosα－2cos2α=0，α∈［，π），求sin（2α+）的值.

解法一：

由已知得（3sinα+2cosα）（2sinα－cosα）=03sinα+2cosα=0或2sinα－cosα=0.

由已知条件可知cosα≠0，所以α≠，即α∈（，π）.

于是tanα＜0，∴tanα=－.

sin（2α+）=sin2αcos+cos2αsin

=sinαcosα+（cos2α－sin2α）

=+×

.

将tanα=代入上式得

sin（2α+）=+×

=－+，即为所求.

解法二：

由已知条件可知cosα≠0，则α≠，

∴原式可化为6tan2α+tanα－2=0，

即（3tanα+2）（2tanα－1）=0.

又∵α∈（，π）.∴tanα＜0，∴tanα=－.

（三）、小结

证明三角恒等式的基本思路，是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右归一、变更命题等方法，使等式两端的“异”化为“同”.

2.条件等式的证明，通过认真观察，发现已知条件和待证等式之间的关系，选择适当的途径把条件用上去.

（四）、作业

课外作业：

（6+2填空，3+1选择，3+1解答，其中+后面的题目可以难些用“*”注明）

一、填空题

1、设，则＝＿＿＿＿＿.

2、已知，则的值为＿＿＿＿＿＿＿.

3、设a为第四象限的角，若，则tan2a=______________.

4、若cosα=，且α∈（0，），则tan=____________.

5、已知sin+cos=，那么sinθ的值为____________，cos2θ的值为____________.

6、已知A、B为锐角，且满足，则＝＿＿.

7*、若tanx=，则=_______.

8*、若8cos（+α）cos（－α）=1，则sin4α+cos4α=_______.

二、选择题

1、下列各式中，值为的是（）

、sin15°

cos15°

、2cos2－1、、

2、已知，则（）

、 、 、 、

3、已知是第三象限角，且，那么等于（　　）

　、　　　　、　　　　、　　　　、

4*、.已知f（x）=，当θ∈（，）时，f（sin2θ）－f（－sin2θ）可化简为（）

、2sinθ、－2cosθ、－2sinθ、2cosθ

三、解答题

1、已知=2，求

（1）的值；

（2）的值．

3、已知0＜α＜，tan+cot=，求sin（α－）的值.

4*、已知α为第二象限角，cos+sin=－，求sin－cos和sin2α+cos2α的值.

四、双基铺垫

1、

两倍角与半角的正弦、余弦和正切

（2）课外作业答案

1、；

2、；

3、；

4、；

5、；

6、；

7、2－3；

（简单过程）原式=====2－3

8、；

（简单过程）由已知得8sin（－α）cos（－α）=1，∴4sin（－2α）=1.∴cos2α=.

sin4α+cos4α=（sin2α+cos2α）2－2sin2αcos2α=1－sin22α=1－（1－cos22α）

=1－（1－）=1－×

=.

1、D；

2、D；

3、A4、D；

（简单过程）f（sin2θ）－f（－sin2θ）=－=｜sinθ－cosθ｜－｜sinθ+cosθ｜.

∵θ∈（，），∴－1＜sinθ＜－＜cosθ＜0.∴cosθ－sinθ＞0，cosθ+sinθ＜0.

∴原式=cosθ－sinθ+cosθ+sinθ=2cosθ

1、解：

（1）∵tan=2,∴;

所以=；

（2）由（I）,tanα=－,所以==

2、解：

由已知得sin（x－－）cos（x－）=－，

∴cos2（x－）=.

3、解：

由已知tan+cot==，得sinα=.∵0＜α＜，∴cosα==.

从而sin（α－）=sinα·

cos－cosα·

sin=×

－×

=（4－3）.

4*、解：

由cos+sin=－平方得1+2sincos=，即sinα=，cosα=－.

此时kπ+＜＜kπ+.∵cos+sin=－＜0，sincos=＞0，

∴cos＜0，sin＜0.∴为第三象限角.∴2kπ+＜＜2kπ+，k∈Z.

∴sin＜cos，即sin－cos＜0.∴sin－cos=－=－，

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