二倍角与半角的正弦余弦和正切教案Word格式.doc
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(二)、新课
一、(新课教学,注意情境设置)
在二倍角的正弦、余弦、正切的公式中如何求出的表达式?
探索研究证明:
二、概念或定理或公式教学(推导)
在倍角公式中,“倍角”与“半角”是相对的
1、在中,以a代2a,代a即得:
∴
2、在中,以a代2a,代a即得:
∴
3、以上结果相除得:
开方得:
特点:
1°
左式中的角是右式中的角的一半。
2°
公式的“本质”是用a角的余弦表示角的正弦、余弦、正切。
3°
根号前均有“”它由角“”所在象限来确定的,如果没有给定角的范围,“”应保留。
注意:
公式(3)成立的条件
公式
(1)
(2)(3)叫做半角公式,实际是二倍角公式的推论。
三、(概念辨析或变式问题,目的是加强概念、公式的理解或应用)
注意:
左边是平方形式,只要知道角终边所在象限,就可以开平方。
2°
公式的“本质”是用a角的余弦表示角的正弦、余弦、正切
3°
上述公式称之谓半角公式
4°
还有一个有用的公式:
(课后自己证)
四、典型例题(3个,基础的或中等难度)
例1、已知,求3cos2q+4sin2q的值
解:
∵∴cosq¹
0(否则2=-5)
∴解得:
tanq=2
∴原式
例2、已知,,tana=,tanb=,求2a+b
解:
∴
又∵tan2a<
0,tanb<
0∴,
∴∴2a+b=
例3、已知sina-cosa=,,求和tana的值
∵sina-cosa=∴
化简得:
∵∴∴
即
五、课堂练习(2个,基础的或中等难度)
1、已知sin+cos=,那么sinθ的值为____________,cos2θ的值为____________.
解析:
由sin+cos=,得1+sinθ=,sinθ=,
cos2θ=1-2sin2θ=1-2·
=.答案:
2、已知sin(x-)cos(x-)=-,求cos4x的值.
解:
由已知得sin(x--)cos(x-)=-,∴cos2(x-)=.
∴sin2x=cos(-2x)=2cos2(-x)-1=-.
∴cos4x=1-2sin22x=1-=-.
六、拓展探究(2个)
1、已知α为第二象限角,cos+sin=-,求sin-cos和sin2α+cos2α的值.
由cos+sin=-平方得1+2sincos=,
即sinα=,cosα=-.此时kπ+<<kπ+.
∵cos+sin=-<0,sincos=>0,
∴cos<0,sin<0.∴为第三象限角.
∴2kπ+<<2kπ+,k∈Z.∴sin<cos,
即sin-cos<0.∴sin-cos=-=-,
sin2α+cos2α=2sinαcosα+1-2sin2α=.
2、已知6sin2α+sinαcosα-2cos2α=0,α∈[,π),求sin(2α+)的值.
解法一:
由已知得(3sinα+2cosα)(2sinα-cosα)=03sinα+2cosα=0或2sinα-cosα=0.
由已知条件可知cosα≠0,所以α≠,即α∈(,π).
于是tanα<0,∴tanα=-.
sin(2α+)=sin2αcos+cos2αsin
=sinαcosα+(cos2α-sin2α)
=+×
.
将tanα=代入上式得
sin(2α+)=+×
=-+,即为所求.
解法二:
由已知条件可知cosα≠0,则α≠,
∴原式可化为6tan2α+tanα-2=0,
即(3tanα+2)(2tanα-1)=0.
又∵α∈(,π).∴tanα<0,∴tanα=-.
(三)、小结
证明三角恒等式的基本思路,是根据等式两端的特征,通过三角恒等变换,应用化繁为简、左右归一、变更命题等方法,使等式两端的“异”化为“同”.
2.条件等式的证明,通过认真观察,发现已知条件和待证等式之间的关系,选择适当的途径把条件用上去.
(四)、作业
课外作业:
(6+2填空,3+1选择,3+1解答,其中+后面的题目可以难些用“*”注明)
一、填空题
1、设,则=_____.
2、已知,则的值为_______.
3、设a为第四象限的角,若,则tan2a=______________.
4、若cosα=,且α∈(0,),则tan=____________.
5、已知sin+cos=,那么sinθ的值为____________,cos2θ的值为____________.
6、已知A、B为锐角,且满足,则=__.
7*、若tanx=,则=_______.
8*、若8cos(+α)cos(-α)=1,则sin4α+cos4α=_______.
二、选择题
1、下列各式中,值为的是()
、sin15°
cos15°
、2cos2-1、、
2、已知,则()
、 、 、 、
3、已知是第三象限角,且,那么等于( )
、 、 、 、
4*、.已知f(x)=,当θ∈(,)时,f(sin2θ)-f(-sin2θ)可化简为()
、2sinθ、-2cosθ、-2sinθ、2cosθ
三、解答题
1、已知=2,求
(1)的值;
(2)的值.
3、已知0<α<,tan+cot=,求sin(α-)的值.
4*、已知α为第二象限角,cos+sin=-,求sin-cos和sin2α+cos2α的值.
四、双基铺垫
1、
两倍角与半角的正弦、余弦和正切
(2)课外作业答案
1、;
2、;
3、;
4、;
5、;
6、;
7、2-3;
(简单过程)原式=====2-3
8、;
(简单过程)由已知得8sin(-α)cos(-α)=1,∴4sin(-2α)=1.∴cos2α=.
sin4α+cos4α=(sin2α+cos2α)2-2sin2αcos2α=1-sin22α=1-(1-cos22α)
=1-(1-)=1-×
=.
1、D;
2、D;
3、A4、D;
(简单过程)f(sin2θ)-f(-sin2θ)=-=|sinθ-cosθ|-|sinθ+cosθ|.
∵θ∈(,),∴-1<sinθ<-<cosθ<0.∴cosθ-sinθ>0,cosθ+sinθ<0.
∴原式=cosθ-sinθ+cosθ+sinθ=2cosθ
1、解:
(1)∵tan=2,∴;
所以=;
(2)由(I),tanα=-,所以==
2、解:
由已知得sin(x--)cos(x-)=-,
∴cos2(x-)=.
3、解:
由已知tan+cot==,得sinα=.∵0<α<,∴cosα==.
从而sin(α-)=sinα·
cos-cosα·
sin=×
-×
=(4-3).
4*、解:
由cos+sin=-平方得1+2sincos=,即sinα=,cosα=-.
此时kπ+<<kπ+.∵cos+sin=-<0,sincos=>0,
∴cos<0,sin<0.∴为第三象限角.∴2kπ+<<2kπ+,k∈Z.
∴sin<cos,即sin-cos<0.∴sin-cos=-=-,
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