上海市杨浦区2015届高三二模考试数学试卷(理科)Word文档下载推荐.doc
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则集合{1,2,3,4,5,6,7}的所有非空子集的交替和的总和为__________.
二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,填上正确的答案,选对得5分,否则一律得零分.
15.“a≤﹣2”是“函数f(x)=x2+ax+1(x∈R)只有一个零点”的()
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.既非充分又非必要条件
16.在复平面中,满足等式|z+1|﹣|z﹣1|=2的z所对应点的轨迹是()
A.双曲线 B.双曲线的一支 C.一条射线 D.两条射线
17.设反比例函数f(x)=与二次函数g(x)=ax2+bx的图象有且仅有两个不同的公共点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1<x2,则=()
A.2或 B.﹣2或 C.2或 D.﹣2或
18.如图,设点A是单位圆上的一定点,动点P从A出发在圆上按逆时针方向转一周,点P所旋转过的弧的长为l,弦AP的长为d,则函数d=f(l)的图象大致为()
A. B. C. D.
三.解答题(本大题满分74)本大题共5题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
19.如图,一条东西走向的大江,其河岸A处有人要渡江到对岸B处,江面上有一座大桥AC,已知B在A的西南方向,C在A的南偏西15°
,BC=10公里.现有两种渡江方案:
方案一:
开车从大桥AC渡江到C处,然后再到B处;
方案二:
直接坐船从A处渡江到对岸B处.
若车速为每小时60公里,船速为每小时45公里(不考虑水流速度),为了尽快到达B处,应选择哪个方案?
说明理由.
20.如图,在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,点E是棱BC的中点,点F是棱CD上的动点.
(I)试确定点F的位置,使得D1E⊥平面AB1F;
(II)当D1E⊥平面AB1F时,求二面角C1﹣EF﹣A的大小(结果用反三角函数值表示).
21.已知函数f(x)=是奇函数.
(1)求t的值;
(2)求f(x)的反函数f﹣1(x);
(3)对于任意的m>0,解不等式:
f﹣1(x)>log3.
22.数列{an}满足a1=1,a2=r(r>0),令bn=an•an+1,{bn}是公比为q(q≠0,q≠﹣1)的等比数列,设cn=a2n﹣1+a2n.
(1)求证:
cn=(1+r)•qn﹣1;
(2)设{cn}的前n项和为Sn,求的值;
(3)设{cn}前n项积为Tn,当q=﹣时,Tn的最大值在n=8和n=9的时候取到,求n为何值时,Tn取到最小值.
23.已知抛物线C:
y2=2px(p>0)的焦点F,线段PQ为抛物线C的一条弦.
(1)若弦PQ过焦点F,求证:
为定值;
(2)求证:
x轴的正半轴上存在定点M,对过点M的任意弦PQ,都有为定值;
(3)对于
(2)中的点M及弦PQ,设,点N在x轴的负半轴上,且满足,求N点坐标.
1.函数f(x)=的定义域是﹣2<x≤1.
考点:
函数的定义域及其求法.
专题:
函数的性质及应用.
分析:
只需被开方数为非负数、分母不为零同时成立即可.
解答:
解:
根据题意,只需,
即,
解得﹣2<x≤1,
故答案为:
﹣2<x≤1.
点评:
本题考查函数的定义域,属于基础题.
2.若集合A=,则A∩B的元素个数为3.
交集及其运算.
集合.
集合A表示长轴为,短轴为1的椭圆内部的点集,B表示整数集,画出相应的图形,如图所示,找出A∩B的元素个数即可.
如图所示,
由图形得:
A∩B={(0,0),(﹣1,0),(1,0)},共3个元素.
3.
此题考查了交集及其运算,利用了数形结合的思想,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.
3.若,则x的值是log23.
二阶矩阵;
有理数指数幂的化简求值.
矩阵和变换.
根据矩阵的定义直接计算即可.
∵,
∴4x﹣2×
2x=3,
化简得(2x)2﹣2×
2x﹣3=0,
解得2x=3或﹣1(舍),
从而,解得x=log23,
log23.
本题考查矩阵的计算,解对数方程,弄清矩阵的涵义是解题的关键,属于基础题.
4.(2x﹣)6展开式中常数项为60(用数字作答).
二项式定理.
用二项展开式的通项公式得展开式的第r+1项,令x的指数为0得展开式的常数项.
(2x﹣)6展开式的通项为=
令得r=4
故展开式中的常数项.
故答案为60
二项展开式的通项公式是解决二项展开式中特殊项问题的工具.
9.7,9.9,10.1,10.2,10.1,则这组数据的方差为0.032.
极差、方差与标准差.
概率与统计.
先计算数据的平均数后,再根据方差的公式计算.
数据9.7,9.9,10.1,10.2,10.1的平均数==10,
方差=(0.09+0.01+0.01+0.04+0.01)=0.032.
0.032.
本题考查方差的定义.一般地设n个数据,x1,x2,…xn的平均数为,则方差S2=,它反映了一组数据的波动大小,方差越大,波动性越大,反之也成立.
6.对数不等式(1+log3x)(a﹣log3x)>0的解集是,则实数a的值为2.
指、对数不等式的解法.
不等式的解法及应用.
先解出不等式,再结合已知解集,可得结果.
将对数不等式两边同时乘以﹣1,
得(log3x+1)(log3x﹣a)<0,
即(log3x﹣)(log3x﹣)<0,
所以此不等式的解为:
或,
∵其解集为解集是,
∴=2,
2.
本题考查对数不等式的解法,属于中档题.
7.极坐标方程所表示的曲线围成的图形面积为.
简单曲线的极坐标方程.
坐标系和参数方程.
利用把极坐标方程化为直角坐标方程,利用圆的面积计算公式即可得出.
化为,
∴,
配方为+=.
因此极坐标方程所表示的曲线为圆心为,半径r=的圆.
其围成的图形面积S=πr2=.
.
本题考查了圆的极坐标方程化为直角坐标方程、圆的面积计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.
8.如图,根据该程序框图,若输出的y为2,则输入的x的值为4.
程序框图.
图表型;
算法和程序框图.
模拟执行程序框图,得其功能是求分段函数y=的值,由输出的y为2,分情况讨论即可得解.
模拟执行程序框图,可得其功能是求分段函数y=的值,
若输出的y为2,则x>0时,有=2,解得:
x=4.
当x≤0时,有2x=2,解得x=1(舍去).
4.
本题考查了分支结构的程序框图,根据框图的流程分析得到程序的功能是解题的关键,属于基础题.
9.(1999•广东)若正数a,b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围是
根据所给的方程,当判别式不小于0时和小于0时,用求根公式表示出两个根的差,根据差的绝对值的值做出字母p的值.
当△=p2﹣4≥0,即p≥2或p≤﹣2,由求根公式得|x1﹣x2|==1,得p=±
,
当△=p2﹣4<0,即﹣2<p<2,由求根公式得|x1﹣x2|==1,得p=±
综上所述,p=±
或p=±
±
或±
本题考查一元二次方程根与系数的关系,本题解题的关键是对于判别式与0的关系的讨论,方程有实根和没有实根时,两个根的表示形式不同,本题是一个易错题.
12.已知从上海飞往拉萨的航班每天有5班,现有甲、乙、丙三人选在同一天从上海出发去拉萨,则他们之中正好有两个人选择同一航班的概率为.
列举法计算基本事件数及事件发生的概率.
根据乘法原理得出甲、乙、丙三人选5班航班的总共事件为53,
利用排列组合知识得出:
他们之中正好有两个人选择同一航班”的有60个,
再运用概率知识求解即可.
设“他们之中正好有两个人选择同一航班”的事件为B,
根据题意得出甲、乙、丙三人选5班航班的总共事件为53,
∵B事件的基本事件的个数为=60.
∴P(B)==,
本题考查了古典概率问题的事件的求解,关键是确定基本事件的个数,难度不大,属于容易题.
13.已知n∈N*,在坐标平面中有斜率为n的直线ln与圆x2+y2=n2相切,且ln交y轴的正半轴于点Pn,交x轴于点Qn,则的值为.
极限及其运算;
直线与圆的位置关系.
直线与圆.
设切线ln的方程为:
y=nx+m,由于直线ln与圆x2+y2=n2相切,可得=n,取m=n.可得切线ln的方程为:
y=nx+n,可得Pn,Qn,可得|PnQn|.再利用数列极限的运算法则即可得出.
y=nx+m,
∵直线ln与圆x2+y2=n2相切,
∴=n,取m=n.
∴切线ln的方程为:
y=nx+n,
∴Pn,Qn.
∴|PnQn|==1+n2.
∴===.
本题考查了直线的方程、直线与圆的相切性质、点到直线的距离公式、两点之间的距离公式,数列极限的运算法则,