第十四章 幂级数习题课Word格式文档下载.docx

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在端点处是条件收敛，收敛域是，在端点1与处都是绝对收敛的．

4．幂级数与逐项求导逐项积分后幂级数具有相同的收敛半径、收敛区间，但收敛域相同吗

不一定，例如收敛域为，但逐项积分和幂级数为收敛域为．设幂级数，，收敛域分别是，则有

如果一个幂级数经逐项求导或逐项求积后其收敛性发生了变化，则变化的只能是收敛区间两个端点处的收敛性．一般来说，逐项求导后，系数由变为，不会使收敛区间端点处的收敛性变好；

而逐项求积后，系数由变为，不会使收敛区间端点处的收敛性变坏．

>

5．如何求幂级数的和函数

首先求出幂级数的收敛半径与收敛域，然后可通过以下几种方法求

幂级数的和函数：

（1）变量替换法——通过变量替换，化为一较简单的幂级数．

（2）拆项法——将幂级数分拆成两个（或几个）简单幂级数的和．

（3）逐项求导法——通过逐项求导得出另一幂级数，而此幂级数的和函数是不难求得的；

然后再通过牛顿莱布尼兹公式，得到原幂级数的和函数．

（4）逐项积分法——通过逐项求积得出另一幂级数，而此幂级数的和函数是可以求得的；

然后再通过求导数，得到原幂级数的和函数．

一般通过逐项求导逐项积分向等比级数转化，系数含有，向的幂级数展开形式转化，系数含有向展开形式转化．

注意：

上述运算过程在幂级数的收敛区间内总是可行的（而在幂级数的收敛域上却不一定可行）．因此，我们一般只限定在幂级数的收敛区间内进行上述运算，由此得到在收敛区间上的和函数，而求幂级数在其收敛域上的和，还需要讨论在端点的函数值，利用函数在端点的左（右）连续性来求．

还需指出，这里所介绍的方法，仅仅是可供选择的几种途经．对具体问题，常常要综合利用上述方法，或寻求其他方法才能得到问题的解．

【

6．如何利用幂级数求数项级数的和

选择合适的幂级数，使该数项级数为幂级数在某收敛点处的值．然后求出幂级数的和函数，则便是原数项级数的和．

7．如何求函数在处的幂级数展开式

主要有以下两种方法：

（1）直接法．计算函数在处的各阶导数，写出它的泰勒级数，然后证明．

（2）间接法．借助某些基本函数的展开式，通过适当变换，四则运算，逐项求导或者逐项求积等方法，导出所求函数色幂级数展开式．这是常用的方法．

注意求展开式时，一定要写展开式成立的范围．

三典型例题

1．求幂级数的收敛域：

1）；

2）；

"

3）；

4）；

5）．

解：

1）由于，因此收敛半径，当时，这个级数为，通项记为，则有

===，

于是，所以当时级数发散，从而可知这个级数的收敛域为．

2）令，则级数转化为（缺陷幂级数），

下面先求的收敛域，因为，即对任意，都收敛，因此的收敛域为，因此的收敛域为．

3）令，则级数转化为，下面先求的收敛域，

由于=，所以收敛半径，因而级数的收敛区间为，

当时，级数为=收敛，

!

当时，级数为=，收敛（收敛，因为），发散，故发散，因此的收敛域为，级数的收敛域为的解集，即．

4）因为，又，所以

，

从而收敛半径，又当时，

可见级数在时发散，故这个级数的收敛域为．

5）法1:

（将其看成不缺项的幂级数）

设，

．

法2:

令，收敛半径为2，故．

法3:

（将其视为以为参数的数项级数或视为一般的函数项级数）

，

当即时幂级数收敛，当时发散，故．

即收敛半径为，收敛区间是，当时，为发散，因此收敛域为．

2．应用逐项求导或逐项求积分方法求下列幂级数的和函数（应同时指出它们的收敛域）：

（1）求幂级数的和函数；

（2）求幂级数的和函数；

（3）求幂级数的和函数；

（4）求幂级数的和函数；

`

（5）求幂级数的和函数；

（6）求幂级数的和函数；

（7）求幂级数的和函数．

注：

应用：

求幂级数的和函数．

思想：

一般是通过逐项求导，逐项积分向等比级数转化．（假如系数含有，向的展开形式转化，假如系数含有向展开形式转化）．

必须的知识点：

1）等比级数，---------；

2）牛顿莱布尼兹公式；

3）．

注意点：

）

1）求和函数时必须先要求收敛域；

2）求时必须要看级数展开式中第一项；

例设，先看展开式中第一项是，因此．

常见错误，有些人把0直接代通项，．

设，先看展开式中第一项是，因此．

3）涉及到除以时，要讨论为0不为0．

幂级数求和函数步骤:

求其收敛半径和收敛域．

在收敛区间内求和函数．（利用变量替换，逐项求积，逐项求导等方法），（假如系数含有，向的展开形式转化，假如系数含有向展开形式转化）；

收敛域若不是开区间，还须讨论在收敛域端点处的和，若左端点收敛，则在左端点右连续，若右端点收敛，则在右端点左连续．

]

写出和函数，注明定义域．

解

（1）1）求收敛域；

（或）；

收敛半径；

收敛区间；

当时，收敛；

当时，发散．

因此收敛域为．

2）向等比级数转化；

分析：

因为等比级数系数为或，而的系数为，要向等比级数转化必须要把抵消，此题可以通过逐项求导就可以把抵消．

令，

~

在收敛区间上逐项求导（注意幂级数在收敛区间内可逐项求导与逐项求积）．

，．

当时，（若幂级数在收敛区间的左（右）端点上收敛，则其和函数也在这一端点上右（左）连续．）

．

（2）1）求收敛域；

收敛域为．

要向等比级数转化，必须要把系数中的抵消，但是只有的求导才能出现，必须要乘一个，除以一个，，而要除以，就必须讨论为0不为0．

当时，

当时，，（只需要求出就会求出，下面求）

令，收敛域

在收敛区间上逐项求导．

当时，．

于是

（3）收敛域为

对在上逐项积分；

（4）解1：

收敛域为

解2由于=，且当时，这个幂级数发散，所以幂级数的收敛域为，

设，令

在上对逐项积分得，=

所以=，从而（）．

（5）讨论级数，因为，

当，即，收敛，收敛；

$

当，即，发散，发散，

因此收敛半径，收敛区间为，

且时，与都是发散级数，所以幂级数的收敛域为，

设，

在逐项求导可得，

所以（），

（6）由知幂级数的收敛半径为．又时，级数均收敛，故幂级数的收敛域为．令则

由于，有

.

从而，有

于是

而由的定义，．此外，当时，在处右连续，在

处左连续．故

^

综上知

（7）易求收敛域为，．

3．利用幂级数求数项级数的和．

1）求级数的和函数，并求数项级数的和；

2）求级数的和；

方法：

先选择适当的幂级数，使该数项级数是所选幂级数在某收敛点处的值，然后求出和函数，则便为所求之和．

解

（1）法1：

级数的收敛域为，，令，

逐项积分，

两边求导，得，

所以，，

从而．

通过如下代数运算，使其求和过程非常简便．

法2令，

所以，．

（2）作幂级数，并设和函数为，

则，

两边求导，得，

（

因为在收敛区间内，故用带入上式得．

4．求函数的幂级数展开式

1）将函数，，展开成的幂级数；

2）将函数展开成（－1）的幂级数；

3）将函数展开成的幂级数；

4）在处的泰勒级数展开式；

5）求在处的泰勒级数展开式；

6）求在处的泰勒级数展开式．

看清要在哪点展开；

确保得到的是幂级数；

注出定义域．

解：

1）将视为一个整体，由的展开式可知

}

，．

类似地

，．

．

2）（），．

．

4）

5）

6），，

而，于是