第十四章 幂级数习题课Word格式文档下载.docx

1、在端点处是条件收敛，收敛域是，在端点1与处都是绝对收敛的4幂级数与逐项求导逐项积分后幂级数具有相同的收敛半径、收敛区间，但收敛域相同吗 不一定，例如收敛域为，但逐项积分和幂级数为收敛域为设幂级数，收敛域分别是，则有如果一个幂级数经逐项求导或逐项求积后其收敛性发生了变化，则变化的只能是收敛区间两个端点处的收敛性一般来说，逐项求导后，系数由变为，不会使收敛区间端点处的收敛性变好；而逐项求积后，系数由变为，不会使收敛区间端点处的收敛性变坏5如何求幂级数的和函数首先求出幂级数的收敛半径与收敛域，然后可通过以下几种方法求幂级数的和函数：（1）变量替换法通过变量替换，化为一较简单的幂级数（2）拆项法将幂级

2、数分拆成两个（或几个）简单幂级数的和（3）逐项求导法通过逐项求导得出另一幂级数，而此幂级数的和函数是不难求得的；然后再通过牛顿莱布尼兹公式，得到原幂级数的和函数（4）逐项积分法通过逐项求积得出另一幂级数，而此幂级数的和函数是可以求得的；然后再通过求导数，得到原幂级数的和函数一般通过逐项求导逐项积分向等比级数转化，系数含有，向的幂级数展开形式转化，系数含有向展开形式转化注意：上述运算过程在幂级数的收敛区间内总是可行的（而在幂级数的收敛域上却不一定可行）因此，我们一般只限定在幂级数的收敛区间内进行上述运算，由此得到在收敛区间上的和函数，而求幂级数在其收敛域上的和，还需要讨论在端点的函数值，利用函数

3、在端点的左（右）连续性来求还需指出，这里所介绍的方法，仅仅是可供选择的几种途经对具体问题，常常要综合利用上述方法，或寻求其他方法才能得到问题的解【6如何利用幂级数求数项级数的和选择合适的幂级数，使该数项级数为幂级数在某收敛点处的值然后求出幂级数的和函数，则便是原数项级数的和7如何求函数在处的幂级数展开式主要有以下两种方法：（1）直接法计算函数在处的各阶导数，写出它的泰勒级数，然后证明（2）间接法借助某些基本函数的展开式，通过适当变换，四则运算，逐项求导或者逐项求积等方法，导出所求函数色幂级数展开式这是常用的方法注意求展开式时，一定要写展开式成立的范围三 典型例题1求幂级数的收敛域：1）； 2）

4、；3）； 4）；5）解：1）由于，因此收敛半径，当时，这个级数为，通项记为，则有=，于是，所以当时级数发散，从而可知这个级数的收敛域为2）令，则级数转化为（缺陷幂级数），下面先求的收敛域，因为，即对任意，都收敛，因此的收敛域为，因此的收敛域为3）令，则级数转化为，下面先求的收敛域，由于=，所以收敛半径，因而级数的收敛区间为，当时，级数为=收敛，!当时，级数为=，收敛（收敛，因为），发散，故发散，因此的收敛域为，级数的收敛域为的解集，即4）因为，又，所以，从而收敛半径，又当时，可见级数在时发散，故这个级数的收敛域为5）法1: （将其看成不缺项的幂级数 ） 设 ， 法2: 令， 收敛半径为2， 故

5、 法3: （将其视为以为参数的数项级数或视为一般的函数项级数） ，当 即 时幂级数收敛， 当时发散， 故即收敛半径为，收敛区间是，当时，为发散，因此收敛域为2应用逐项求导或逐项求积分方法求下列幂级数的和函数（应同时指出它们的收敛域）：（1）求幂级数的和函数；（2）求幂级数的和函数；（3）求幂级数的和函数；（4）求幂级数的和函数；（5）求幂级数的和函数；（6）求幂级数的和函数；（7）求幂级数的和函数注：应用：求幂级数的和函数思想：一般是通过逐项求导，逐项积分向等比级数转化（假如系数含有，向的展开形式转化，假如系数含有向展开形式转化）必须的知识点：1）等比级数，-；2）牛顿莱布尼兹公式；3）注意点

6、：）1）求和函数时必须先要求收敛域；2）求时必须要看级数展开式中第一项；例 设，先看展开式中第一项是，因此常见错误，有些人把0直接代通项，设，先看展开式中第一项是，因此3）涉及到除以时，要讨论为0不为0幂级数求和函数步骤: 求其收敛半径和收敛域 在收敛区间内求和函数（利用变量替换， 逐项求积， 逐项求导等方法） ，（假如系数含有，向的展开形式转化，假如系数含有向展开形式转化）； 收敛域若不是开区间， 还须讨论在收敛域端点处的和，若左端点收敛，则在左端点右连续，若右端点收敛，则在右端点左连续 写出和函数， 注明定义域解（1）1）求收敛域；（或）；收敛半径；收敛区间；当时，收敛；当时，发散因此收敛

7、域为2）向等比级数转化；分析：因为等比级数系数为或，而的系数为，要向等比级数转化必须要把抵消，此题可以通过逐项求导就可以把抵消令，在收敛区间上逐项求导（注意幂级数在收敛区间内可逐项求导与逐项求积），当时，（若幂级数在收敛区间的左（右）端点上收敛，则其和函数也在这一端点上右（左）连续）（2）1）求收敛域；收敛域为要向等比级数转化，必须要把系数中的抵消，但是只有的求导才能出现，必须要乘一个，除以一个，而要除以，就必须讨论为0不为0当时，当时，（只需要求出就会求出，下面求）令，收敛域在收敛区间上逐项求导当时，于是（3） 收敛域为对在上逐项积分；（4）解1：收敛域为解2 由于=，且当时，这个幂级数发散

8、，所以幂级数的收敛域为，设，令在上对逐项积分得，=所以=，从而 （）（5）讨论级数，因为，当，即，收敛，收敛；$当，即，发散，发散，因此收敛半径，收敛区间为，且时，与都是发散级数，所以幂级数的收敛域为，设，在逐项求导可得，所以 （），（6）由知幂级数的收敛半径为 又时， 级数均收敛， 故幂级数的收敛域为令则 由于， 有. 从而， 有于是 而由的定义， 此外， 当时， 在处右连续， 在处左连续 故综上知 （7）易求收敛域为，3利用幂级数求数项级数的和1）求级数的和函数，并求数项级数的和；2） 求级数的和；方法：先选择适当的幂级数， 使该数项级数是所选幂级数在某收敛点处的值， 然后求出和函数， 则便为所求之和解（1）法1：级数的收敛域为， ，令，逐项积分，两边求导，得，所以，从而 通过如下代数运算，使其求和过程非常简便法2 令 ，所以 ，（2）作幂级数，并设和函数为，则，两边求导，得 ，（因为在收敛区间内，故用带入上式得4求函数的幂级数展开式 1）将函数，展开成的幂级数； 2）将函数展开成（1）的幂级数；3）将函数展开成的幂级数；4）在处的泰勒级数展开式； 5）求在处的泰勒级数展开式；6）求在处的泰勒级数展开式 看清要在哪点展开； 确保得到的是幂级数； 注出定义域 解：1）将视为一个整体，由的展开式可知 ， 类似地 ， 2） （）， 4） 5） 6），而，于是