高等数学上复旦第三版课后习题答案Word文件下载.docx
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4.利用柯西审敛原理判别下列级数的敛散性:
(2);
(3).
(1)当P为偶数时,
当P为奇数时,
因而,对于任何自然数P,都有
,
ε>
0,取,则当n>
N时,对任何自然数P恒有成立,由柯西审敛原理知,级数收敛.
(2)对于任意自然数P,都有
于是,ε>
0(0<
ε<
1),N=,当n>
N时,对任意的自然数P都有成立,由柯西审敛原理知,该级数收敛.
(3)取P=n,则
从而取,则对任意的n∈N,都存在P=n所得,由柯西审敛原理知,原级数发散.
5.用比较审敛法判别下列级数的敛散性.
(2)
(4);
(5);
(6).
(1)∵
而收敛,由比较审敛法知收敛.
(2)∵
而发散,由比较审敛法知,原级数发散.
(3)∵
而收敛,故也收敛.
(4)∵
而收敛,故收敛.
(5)当a>
1时,,而收敛,故也收敛.
当a=1时,,级数发散.
当0<
a<
1时,,级数发散.
综上所述,当a>
1时,原级数收敛,当0<
a≤1时,原级数发散.
(6)由知而发散,由比较审敛法知发散.
6.用比值判别法判别下列级数的敛散性:
(1),,
由比值审敛法知,级数收敛.
所以原级数发散.
(3)
(4)
故原级数收敛.
7.用根值判别法判别下列级数的敛散性:
(4),其中an→a(n→∞),an,b,a均为正数.
(1),
故原级数发散.
(2),
(3),
(4),
当b<
a时,<
1,原级数收敛;
当b>
a时,>
1,原级数发散;
当b=a时,=1,无法判定其敛散性.
8.判定下列级数是否收敛若收敛,是绝对收敛还是条件收敛
(5);
(6).
(1),级数是交错级数,且满足,,由莱布尼茨判别法级数收敛,又是P<
1的P级数,所以发散,故原级数条件收敛.
(2),为交错级数,且,,由莱布尼茨判别法知原级数收敛,但由于
所以,发散,所以原级数条件收敛.
(3)民,显然,而是收敛的等比级数,故收敛,所以原级数绝对收敛.
(4)因为.
故可得,得,
∴,原级数发散.
(5)当α>
1时,由级数收敛得原级数绝对收敛.
α≤1时,交错级数满足条件:
;
,由莱布尼茨判别法知级数收敛,但这时发散,所以原级数条件收敛.
当α≤0时,,所以原级数发散.
(6)由于
而发散,由此较审敛法知级数
发散.
记,则
即
又
由
知,由莱布尼茨判别法,原级数收敛,而且是条件收敛.
9.判别下列函数项级数在所示区间上的一致收敛性.
(1),x∈[-3,3];
(2),x∈[0,1];
(3),x∈(-∞,+∞);
(4),|x|<
5;
(5),x∈(-∞,+∞)
(1)∵,x∈[-3,3],
而由比值审敛法可知收敛,所以原级数在[-3,3]上一致收敛.
(2)∵,x∈[0,1],
而收敛,所以原级数在[0,1]上一致收敛.
(3)∵,x∈(-∞,+∞),
而是收敛的等比级数,所以原级数在(-∞,+∞)上一致收敛.
(4)因为,x∈(-5,5),
由比值审敛法可知收敛,故原级数在(-5,5)上一致收敛.
(5)∵,x∈(-∞,+∞),
而是收敛的P-级数,所以原级数在(-∞,+∞)上一致收敛.
10.若在区间Ⅰ上,对任何自然数n.都有|Un(x)|≤Vn(x),则当在Ⅰ上一致收敛时,级数在这区间Ⅰ上也一致收敛.
证:
由在Ⅰ上一致收敛知,ε>
0,N(ε)>
0,使得当n>
N时,x∈Ⅰ有
|Vn+1(x)+Vn+2(x)+…+Vn+p(x)|<
ε,
于是,ε>
|Un+1(x)+Un+2(x)+…+Un+p(x)|≤Vn+1(x)+Vn+2(x)+…+Vn+p(x)≤|Vn+1(x)+Vn+2(x)+…+Vn+p(x)|<
因此,级数在区间Ⅰ上处处收敛,由x的任意性和与x的无关性,可知在Ⅰ上一致收敛.
11.求下列幂级数的收敛半径及收敛域:
(1)x+2x2+3x3+…+nxn+…;
(4);
(1)因为,所以收敛半径收敛区间为(-1,1),而当x=±
1时,级数变为,由知级数发散,所以级数的收敛域为(-1,1).
所以收敛半径,收敛区间为(-e,e).
当x=e时,级数变为;
应用洛必达法则求得,故有由拉阿伯判别法知,级数发散;
易知x=-e时,级数也发散,故收敛域为(-e,e).
(3)级数缺少偶次幂项.根据比值审敛法求收敛半径.
所以当x2<
1即|x|<
1时,级数收敛,x2>
1即|x|>
1时,级数发散,故收敛半径R=1.
当x=1时,级数变为,当x=-1时,级数变为,由知,发散,从而也发散,故原级数的收敛域为(-1,1).
(4)令t=x-1,则级数变为,因为
所以收敛半径为R=1.收敛区间为-1<
x-1<
1即0<
x<
2.
当t=1时,级数收敛,当t=-1时,级数为交错级数,由莱布尼茨判别法知其收敛.
所以,原级数收敛域为0≤x≤2,即[0,2]
12.利用幂级数的性质,求下列级数的和函数:
(1)由知,当|x|=<
1时,原级数收敛,而当|x|=1时,的通项不趋于0,从而发散,故级数的收敛域为(-1,1).
记易知的收敛域为(-1,1),记
则
于是,所以
(2)由知,原级数当|x|<
1时收敛,而当|x|=1时,原级数发散,故原级数的收敛域为(-1,1),记,易知级数收敛域为(-1,1),记,则,
故即,,所以
13.将下列函数展开成x的幂级数,并求展开式成立的区间:
(1)f(x)=ln(2+x);
(2)f(x)=cos2x;
(3)f(x)=(1+x)ln(1+x);
(6);
(7)f(x)=excosx;
(8).
由于,(-1<
x≤1)
故,(-2≤x≤2)
因此,(-2≤x≤2)
由,(-∞<
+∞)
得
所以
,(-∞<
(3)f(x)=(1+x)ln(1+x)
由,(-1≤x≤1)
(-1≤x≤1)
(4)
由于 (-1≤x≤1)
故
(-1≤x≤1)
(5)
(6)由,x∈(-∞,+∞)
得,x∈(-∞,+∞)
(7)因为为的实部,
而
取上式的实部.得 (-∞<
(8)由于 |x|<
1
而,所以
(|x|<
2)
14.将展开成(x+4)的幂级数.
15.将函数展开成(x-1)的幂级数.
因为
(-1<
1)
即16.利用函数的幂级数展开式,求下列各数的近似值:
(1)ln3(误差不超过);
(2)cos20(误差不超过)
(1),x∈(-1,1)
令,可得,
.
因而取n=6则
∵;
17.利用被积函数的幂级数展开式,求定积分
(误差不超过)的近似值.
由于,(-1≤x≤1)
而,,.
因此
18.判别下列级数的敛散性:
(1)∵
故级数发散,由比较审敛法知原级数发散.
由比值审敛法知级数收敛,由比较审敛法知,原级数收敛.
知级数收敛,由比较审敛法知,原级数收敛.
19.若存在,证明:
级数收敛.
∵存在,∴M>
0,使|n2Un|≤M,
即n2|Un|≤M,|Un|≤
而收敛,故绝对收敛.
20.证明,若收敛,则绝对收敛.
∵
而由收敛,收敛,知
收敛,故收敛,
因而绝对收敛.
21.若级数与都绝对收敛,则函数项级数在R上一致收敛.
Un(x)=ancosnx+bnsinnx,x∈R有
由于与都绝对收敛,故级数收敛.
由魏尔斯特拉斯判别法知,函数项级数在R上一致收敛.
22.计算下列级数的收敛半径及收敛域:
∴,
又当时,级数变为,
所以当,级数发散,故原级数的收敛半径,收敛域(-,).
故,
又∵.
所以当(x+1)=±
2时,级数发散,
从而原级数的收敛域为-2<
x+1<
2,即-3<
1,即(-3,1)
∴,收敛区间-2<
2,即-1<
3.
当x=-1时,级数变为,其绝对收敛,当x=3时,级数变为,收敛.
因此原级数的收敛域为[-1,3].
23.将函数展开成x的幂级数.
由于
(|x|≤1)
24.判别下列级数在指定区间上的一致收敛性:
(1),x∈[-3,+∞);
(2),x∈(2,+∞);
(1)考虑n≥2时,当x≥-3时,有
而收敛,由魏尔斯特拉斯判别法知,级数在[-3,+∞)上一致收敛.
(2)当x>
2时,有
由知级数收敛,由魏尔斯特拉斯判别法知,级数在(2,+∞)上一致收敛.
(3)x∈R有
而收敛,由魏尔斯特拉斯判别法知,级数在(-∞,+∞)上一致收敛.
25.求下列级数的和函数:
(4).
(1)可求得原级数的收敛半径R=1,且当|x|=1时,级数是收敛的交错级数,故收敛域为[-1,1]
记
则S1(0)=0,
即S1(x)=arctanx,所以S(x)=xarctanx,x∈[-1,1].
(2)可求得原级数的收敛半径R=1,且当|x|=1时,原级数发散.记则
,即,S(0)=0
所以,(|x|<
(3)由知收敛域为(-∞,+∞).记则,所以
(4)由知收敛半径R=1,当x=1时,级数变为,由知级数收敛,当x=-1时,级数变为是收敛的交错级数,故收敛域为[-1,1].
记则S(0)=0,,
(x≠1)
当x≠0时,,又当x=1时,可求得S
(1)=1
(∵)
综上所述
26.设f(x)是周期为2π的周期函数,它在(-π,π]上的表达式为
试问f(x)的傅里叶级数在x=-π处收敛于何值
所给函数满足狄利克雷定理的条件,x=-π是它的间断点,在x=-π处,f(x)的傅里叶级数收敛于
27.写出函数的傅里叶级数的和函数.
f(x)满足狄利克雷定理的条件,根据狄利克雷定理,在连续点处级数收敛于f(x),在间断点x=0,x=±
π处,分别收敛于,,,综上所述和函数.
28.写出下列以2π为周期的周期函数的傅里叶级数,其中f(x)在[-π,π)上的表达式为:
(3)
(4).
(1)函