1、4利用柯西审敛原理判别下列级数的敛散性： （2） ；（3） （1）当P为偶数时，当P为奇数时，因而，对于任何自然数P，都有，0，取，则当nN时，对任何自然数P恒有成立，由柯西审敛原理知，级数收敛（2）对于任意自然数P，都有于是， 0（0N时，对任意的自然数P都有成立，由柯西审敛原理知，该级数收敛（3）取P=n，则从而取，则对任意的nN，都存在P=n所得，由柯西审敛原理知，原级数发散5用比较审敛法判别下列级数的敛散性（2） （4） ；（5）； （6） （1） 而收敛，由比较审敛法知收敛（2）而发散，由比较审敛法知，原级数发散（3）而收敛，故也收敛（4）而收敛，故收敛（5）当a1时，而收敛，故也收
2、敛当a=1时，级数发散当0a1时，原级数收敛，当0a1时，原级数发散（6）由知而发散，由比较审敛法知发散6用比值判别法判别下列级数的敛散性：（1） ，由比值审敛法知，级数收敛所以原级数发散（3） （4） 故原级数收敛7用根值判别法判别下列级数的敛散性：（4） ，其中ana（n），an，b，a均为正数（1），故原级数发散（2） ，（3），（4） ，当ba时，a时，1，原级数发散；当b=a时，=1，无法判定其敛散性8判定下列级数是否收敛若收敛，是绝对收敛还是条件收敛 （5）；（6） （1），级数是交错级数，且满足，由莱布尼茨判别法级数收敛，又是P1时，由级数收敛得原级数绝对收敛1时，交错级数满足条
3、件：；，由莱布尼茨判别法知级数收敛，但这时发散，所以原级数条件收敛当0时，所以原级数发散（6）由于而发散，由此较审敛法知级数发散记，则即又由知，由莱布尼茨判别法，原级数收敛，而且是条件收敛9判别下列函数项级数在所示区间上的一致收敛性（1） ，x-3,3； （2） ，x0,1；（3） ，x（-,+）； （4） ，|x|0，N（）0，使得当nN时，x有|Vn+1（x）+Vn+2（x）+Vn+p（x）|Un+1（x）+Un+2（x）+Un+p（x）|Vn+1（x）+Vn+2（x）+Vn+p（x） |Vn+1（x）+Vn+2（x）+Vn+p（x）|因此，级数在区间上处处收敛，由x的任意性和与x的无关性
4、，可知在上一致收敛11求下列幂级数的收敛半径及收敛域：（1）x+2x2+3x3+nxn+； （4）；（1）因为，所以收敛半径收敛区间为（-1,1），而当x=1时，级数变为，由知级数发散，所以级数的收敛域为（-1,1）所以收敛半径，收敛区间为（-e,e）当x=e时，级数变为；应用洛必达法则求得，故有由拉阿伯判别法知，级数发散；易知x=-e时，级数也发散，故收敛域为（-e,e）（3）级数缺少偶次幂项根据比值审敛法求收敛半径所以当x21即|x|1即|x|1时，级数发散，故收敛半径R=1当x=1时，级数变为，当x=-1时，级数变为，由知，发散，从而也发散，故原级数的收敛域为（-1,1）（4）令t=x-
5、1，则级数变为，因为所以收敛半径为R=1收敛区间为 -1x-11 即0x2.当t=1时，级数收敛，当t=-1时，级数为交错级数，由莱布尼茨判别法知其收敛所以，原级数收敛域为 0x2，即0,212利用幂级数的性质，求下列级数的和函数：（1）由知，当|x|=1时，原级数收敛，而当|x|=1时，的通项不趋于0，从而发散，故级数的收敛域为（-1,1）记 易知的收敛域为（-1,1），记则于是，所以（2）由知，原级数当|x|1时收敛，而当|x|=1时，原级数发散，故原级数的收敛域为（-1,1），记，易知级数收敛域为（-1,1），记，则，故 即，所以13将下列函数展开成x的幂级数，并求展开式成立的区间：（1
6、）f（x）=ln（2+x）； （2）f（x）=cos2x；（3）f（x）=（1+x）ln（1+x）； （6）；（7）f（x）=excosx； （8）由于，（-1x1）故，（-2x2）因此，（-2x2）由，（-+）得所以，（-（3）f（x）=（1+x）ln（1+x）由，（-1x1） （-1x1）（4）由于（-1x1）故 （-1x1）（5）（6）由，x（-,+）得，x（-,+）（7）因为为的实部，而取上式的实部得（-（8）由于|x|1而，所以（|x|2）14将展开成（x+4）的幂级数15将函数展开成（x-1）的幂级数因为（-10，使|n2Un|M，即n2|Un|M，|Un|而收敛，故绝对收敛20证
7、明，若收敛，则绝对收敛而由收敛，收敛，知收敛，故收敛，因而绝对收敛21若级数与都绝对收敛，则函数项级数在R上一致收敛Un（x）=ancosnx+bnsinnx，xR有由于与都绝对收敛，故级数收敛由魏尔斯特拉斯判别法知，函数项级数在R上一致收敛22计算下列级数的收敛半径及收敛域：，又当时，级数变为，所以当，级数发散，故原级数的收敛半径，收敛域（-,）故，又所以当（x+1）=2时，级数发散，从而原级数的收敛域为-2x+12，即-31，即（-3,1），收敛区间-22，即-12时，有由知级数收敛，由魏尔斯特拉斯判别法知，级数在（2,+）上一致收敛（3）xR有而收敛，由魏尔斯特拉斯判别法知，级数在（-,
8、+）上一致收敛25求下列级数的和函数： （4）（1）可求得原级数的收敛半径R=1，且当|x|=1时，级数是收敛的交错级数，故收敛域为-1,1记则S1（0）=0,即S1（x）=arctanx，所以S（x）=xarctanx，x-1,1（2）可求得原级数的收敛半径R=1，且当|x|=1时，原级数发散记则，即，S（0）=0所以，（|x|（3）由知收敛域为（-,+）记则，所以（4）由知收敛半径R=1，当x=1时，级数变为，由知级数收敛，当x=-1时，级数变为是收敛的交错级数，故收敛域为-1,1记则S（0）=0， （x1）当x0时，又当x=1时，可求得S（1）=1（）综上所述26设f（x）是周期为2的周期函数，它在（-,上的表达式为试问f（x）的傅里叶级数在x=-处收敛于何值所给函数满足狄利克雷定理的条件，x=-是它的间断点，在x=-处，f（x）的傅里叶级数收敛于27写出函数的傅里叶级数的和函数f（x）满足狄利克雷定理的条件，根据狄利克雷定理，在连续点处级数收敛于f（x），在间断点x=0，x=处，分别收敛于，综上所述和函数28写出下列以2为周期的周期函数的傅里叶级数，其中f（x）在-,）上的表达式为：（3）（4）.（1）函
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