高考数学一轮复习第9章平面解析几何1第1讲直线的倾斜角与斜率直线的方程教案理Word下载.docx

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了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质.

抛物线

掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质.

曲线与方程

了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系．理解数形结合的思想，了解圆锥曲线的简单应用.

1．直线的倾斜角

（1）定义：

当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°

.

（2）范围：

直线l倾斜角的取值范围是[0，π）．

2．直线的斜率

条件

公式

直线的倾斜角θ，且θ≠90°

k＝tan__θ

直线过点A（x1，y1），B（x2，y2）且x1≠x2

k＝

3.直线方程的五种形式

名称

已知条件

方程

适用范围

点斜式

斜率k与点（x1，y1）

y－y1＝k（x－x1）

不含直线x＝x1

斜截式

斜率k与直线在y轴上的截距b

y＝kx＋b

不含垂直于x轴的直线

续　表

两点式

两点（x1，y1），（x2，y2）

＝

（x1≠x2，y1≠y2）

不含直线x＝x1（x1＝x2）和直线y＝y1（y1＝y2）

截距式

直线在x轴、y轴上的截距分别为a，b

＋＝1

（a≠0，b≠0）

不含垂直于坐标轴和过原点的直线

一般式

Ax＋By＋C＝0

（A2＋B2≠0）

平面直角坐标系内的直线都适用

判断正误（正确的打“√”，错误的打“×

”）

（1）直线的倾斜角越大，其斜率就越大．（　　）

（2）直线的斜率为tanα，则其倾斜角为α.（　　）

（3）斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．（　　）

（4）经过点P（x0，y0）的直线都可以用方程y－y0＝k（x－x0）表示．（　　）

（5）经过任意两个不同的点P1（x1，y1），P2（x2，y2）的直线都可以用方程（y－y1）（x2－x1）＝（x－x1）（y2－y1）表示．（　　）

答案：

（1）×

（2）×

　（3）×

　（4）×

　（5）√

（教材习题改编）经过点P0（2，－3），倾斜角为45°

的直线方程为（　　）

A．x＋y＋1＝0　　　　　　B．x＋y－1＝0

C．x－y＋5＝0D．x－y－5＝0

解析：

选D.由点斜式得直线方程为

y－（－3）＝tan45°

（x－2）＝x－2，

即x－y－5＝0，故选D.

如果AC＜0，BC＜0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过（　　）

A．第一象限B．第二象限

C．第三象限D．第四象限

选C.由题意知直线的斜率k＝－＜0，直线在y轴上的截距b＝－＞0，故选C.

经过两点A（4，2y＋1），B（2，－3）的直线的倾斜角为，则y＝________．

tan＝＝＝y＋2，

因此y＋2＝－1，y＝－3.

－3

（教材习题改编）经过点（－4，3）且在两坐标轴上的截距相等且不过原点的直线方程为________．

由题意可设方程为x＋y＝a，

所以a＝－4＋3＝－1.

所以直线方程为x＋y＋1＝0.

x＋y＋1＝0

　　　　　　直线的倾斜角与斜率

[典例引领]

（1）直线2xcosα－y－3＝0的倾斜角的变化范围是（　　）

A.　　　　　　　　B.

C.D.

（2）已知直线l：

x－my＋m＝0上存在点M满足与两点A（－1，0），B（1，0）连线的斜率kMA与kMB之积为3，则实数m的取值范围是（　　）

A．[－，]

B.∪

C.∪

D．以上都不对

【解析】　

（1）直线2xcosα－y－3＝0的斜率k＝2cosα.由于α∈，所以≤cosα≤，因此k＝2cosα∈[1，]．设直线的倾斜角为θ，则有tanθ∈[1，]．由于θ∈[0，π），所以θ∈，即倾斜角的变化范围是.

（2）设M（x，y），由kMA·

kMB＝3，得·

＝3，即y2＝3x2－3.

联立得x2＋x＋6＝0.

要使直线l：

x－my＋m＝0上存在点M满足与两点A（－1，0），B（1，0）连线的斜率kMA与kMB之积为3，则Δ＝－24≥0，即m2≥.所以实数m的取值范围是∪.故选C.

【答案】　

（1）B　

（2）C

若本例

（1）中直线变为x＋ycosθ－3＝0（θ∈R），则直线的倾斜角α的取值范围为________．

当cosθ＝0时，方程变为x－3＝0，其倾斜角为；

当cosθ≠0时，由直线l的方程，可得斜率k＝－.

因为cosθ∈[－1，1]且cosθ≠0，

所以k∈（－∞，－1]∪[1，＋∞），

即tanα∈（－∞，－1]∪[1，＋∞），

又α∈[0，π），所以α∈∪，

综上知，直线l的倾斜角α的取值范围是.

（1）求倾斜角的取值范围的一般步骤

①求出斜率k＝tanα的取值范围．

②利用三角函数的单调性，借助图象，确定倾斜角α的取值范围．

求倾斜角时要注意斜率是否存在．

（2）斜率的求法

①定义法：

若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k＝tanα求斜率．

②公式法：

若已知直线上两点A（x1，y1），B（x2，y2），一般根据斜率公式k＝（x1≠x2）求斜率．　

[通关练习]

1．若直线l的斜率为k，倾斜角为α，且α∈∪，则k的取值范围是________．

当α∈时，k＝tanα∈；

当α∈时，k＝tanα∈[－，0）．

综上k∈[－，0）∪.

[－，0）∪

2．曲线y＝x3－x＋5上各点处的切线的倾斜角的取值范围为________．

记曲线上点P处的切线的倾斜角是θ，

因为y′＝3x2－1≥－1，

所以tanθ≥－1，

所以θ为钝角时，应有θ∈；

θ为锐角时，tanθ≥－1显然成立．

综上，θ的取值范围是∪.

∪

　　　　　　求直线的方程

根据所给条件求直线的方程：

（1）直线过点（－4，0），倾斜角的正弦值为；

（2）经过点P（4，1），且在两坐标轴上的截距相等；

（3）（待定系数法）直线过点（5，10），到原点的距离为5.

【解】　

（1）由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式．

设倾斜角为α，则sinα＝（0＜α＜π），

从而cosα＝±

，

则k＝tanα＝±

故所求直线方程为y＝±

（x＋4）．

即x＋3y＋4＝0或x－3y＋4＝0.

（2）设直线l在x，y轴上的截距均为a，

若a＝0，即l过点（0，0）及（4，1），

所以l的方程为y＝x，即x－4y＝0.

若a≠0，则设l的方程为＋＝1，

因为l过点（4，1），所以＋＝1，

所以a＝5，

所以l的方程为x＋y－5＝0.

综上可知，直线l的方程为x－4y＝0或x＋y－5＝0.

（3）当斜率不存在时，所求直线方程为x－5＝0，当斜率存在时，设其为k，则所求直线方程为y－10＝k（x－5），

即kx－y＋（10－5k）＝0.

由点到直线的距离公式，得＝5，

解得k＝.

故所求直线方程为3x－4y＋25＝0.

综上知，所求直线方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0.

（1）求直线方程的两种常用方法

①直接法：

根据已知条件，确定适当的直线方程形式，直接写出直线方程；

②待定系数法：

先设出直线方程，再根据已知条件求出待定的系数，最后代入求出直线的方程．

（2）求直线方程应注意的问题

①选择直线方程时，应注意分类讨论思想的应用：

选用点斜式或斜截式时，需讨论直线的斜率是否存在；

选用截距式时，需讨论直线是否过原点．

②求直线方程时，如果没有特别要求，求出的方程应化为一般式Ax＋By＋C＝0（A，B不同时为0）．　

1．已知A（－1，1），B（3，1），C（1，3），则△ABC的BC边上的高所在直线方程为（　　）

A．x＋y＝0　　　　　　B．x－y＋2＝0

C．x＋y＋2＝0D．x－y＝0

选B.因为B（3，1），C（1，3），

所以kBC＝＝－1，

故BC边上的高所在直线的斜率k＝1，

又高线经过点A，

所以其直线方程为x－y＋2＝0.

2．过点M（－1，－2）作一条直线l，使得l夹在两坐标轴之间的线段被点M平分，则直线l的方程为________．

由题意，可设所求直线l的方程为y＋2＝k（x＋1）（k≠0），直线l与x轴、y轴分别交于A、B两点，则A，B（0，k－2）．因为AB的中点为M，所以解得k＝－2.所以所求直线l的方程为2x＋y＋4＝0.

2x＋y＋4＝0

　　　　　　直线方程的综合应用（高频考点）

直线方程的综合应用是解析几何的一个基础内容，在高考中常与其他知识结合考查，多以选择题、填空题的形式呈现，难度为中、低档题目．高考中对直线方程的综合应用考查主要有以下两个命题角度：

（1）与基本不等式相结合求最值问题；

（2）由直线方程解决参数问题．

角度一　与基本不等式相结合求最值问题

直线l过点P（1，4），分别交x轴的正半轴和y轴的正半轴于A、B两点，O为坐标原点，当|OA|＋|OB|最小时，求l的方程．

【解】　依题意，l的斜率存在，且斜率为负，

设直线l的斜率为k，

则直线l的方程为y－4＝k（x－1）（k<

0）．

令y＝0，可得A；

令x＝0，可得B（0，4－k）．

|OA|＋|OB|＝＋（4－k）＝5－

＝5＋≥5＋4＝9.

所以当且仅当－k＝且k<

0，

即k＝－2时，|OA|＋|OB|取最小值．

这时l的方程为2x＋y－6＝0.

角度二　由直线方程解决参数问题

已知直线l1：

ax－2y＝2a－4，l2：

2x＋a2y＝2a2＋4，当0＜a＜2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数a的值．

【解】　由题意知直线l1，l2恒过定点P（2，2），直线l1在y轴上的截距为2－a，直线l2在x轴上的截距为a2＋2，

所以四边形的面积S＝×

2×

（2－a）＋×

（a2＋2）＝a2－a＋4＝＋，

当a＝时，面积最小．

直线方程综合问题的两大类型及其解法

（1）求解与直线方程有关的最值问题．先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．

（2）求参数值或范围．注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解．　

1．直线x－2y＋b＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b的取值范围是（　　）