《基本不等式》典型例题Word格式文档下载.doc

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（2）解：

当x＞0时，由基本不等式，得y=x+≥2=2，当且仅当x=1时，等号成立.

当x＜0时，y=x+=-［（-x）+］.

∵-x＞0,∴（-x）+≥2,当且仅当-x=,即x=-1时，等号成立.

∴y=x+≤-2.

综上,可知函数y=x+的值域为（-∞,-2］∪［2,+∞）.

绿色通道：

利用基本不等式求积的最大值，关键是构造和为定值，为使基本不等式成立创造条件，同时要注意等号成立的条件是否具备.

变式训练1当x＞-1时，求f（x）=x+的最小值.

x＞-1x+1＞0,变x=x+1-1时x+1与的积为常数.

解：

∵x＞-1,∴x+1＞0.

∴f（x）=x+=x+1+-1≥2-1=1.

当且仅当x+1=,即x=0时,取得等号.

∴f（x）min=1.

变式训练2求函数y=的最小值.

从函数解析式的结构来看，它与基本不等式结构相差太大，而且利用前面求最值的方法不易求解，事实上，我们可以把分母视作一个整体，用它来表示分子，原式即可展开.

令t=x2+1，则t≥1且x2=t-1.

∴y==.

∵t≥1,∴t+≥2=2,当且仅当t=,即t=1时，等号成立.

∴当x=0时，函数取得最小值3.

例2已知x＞0,y＞0，且+=1，求x+y的最小值.

要求x+y的最小值，根据极值定理，应构建某个积为定值，这需要对条件进行必要的变形，下面给出三种解法，请仔细体会.

解法一：

利用“1的代换”,

∵+=1,

∴x+y=（x+y）·

（+）=10+.

∵x＞0,y＞0,∴≥2=6.

当且仅当，即y=3x时，取等号.

又+=1,∴x=4,y=12.

∴当x=4,y=12时，x+y取得最小值16.

由+=1，得x=.

∵x＞0,y＞0,∴y＞9.

x+y=+y=y+=y++1=（y-9）++10.

∵y＞9,∴y-9＞0.

∴≥2=6.

当且仅当y-9=，即y=12时，取得等号，此时x=4.∴当x=4,y=12时，x+y取得最小值16.解法三：

由+=1，得y+9x=xy,

∴（x-1）（y-9）=9.

∴x+y=10+（x-1）+（y-9）≥10+2=16,

当且仅当x-1=y-9时取得等号.又+=1,

∴x=4,y=12.

本题给出了三种解法，都用到了基本不等式，且都对式子进行了变形，配凑出基本不等式满足的条件，这是经常需要使用的方法，要学会观察,学会变形，另外解法二，通过消元,化二元问题为一元问题，要注意根据被代换的变量的范围对另外一个变量的范围的影响.

黑色陷阱：

本题容易犯这样的错误：

+≥2①,即≤1,∴≥6.

∴x+y≥2≥2×

6=12②.∴x+y的最小值是12.

产生不同结果的原因是不等式①等号成立的条件是=，不等式②等号成立的条件是x=y.在同一个题目中连续运用了两次基本不等式,但是两个基本不等式等号成立的条件不同，会导致错误结论.

变式训练已知正数a,b,x,y满足a+b=10,=1，x+y的最小值为18，求a,b的值.

本题属于“1”的代换问题.

x+y=（x+y）（）=a++b=10+.

∵x,y＞0,a,b＞0，

∴x+y≥10+2=18，即=4.

又a+b=10，

∴或

例3求f（x）=3+lgx+的最小值（0＜x＜1）.

∵0＜x＜1,

∴lgx＜0,＜0不满足各项必须是正数这一条件，不能直接应用基本不等式，正确的处理方法是加上负号变正数.

∵0＜x＜1,∴lgx＜0,＜0.∴-＞0.

∴（-lgx）+（-）≥2=4.

∴lgx+≤-4.∴f（x）=3+lgx+≤3-4=-1.

当且仅当lgx=,即x=时取得等号.

则有f（x）=3+lgx+（0＜x＜1）的最小值为-1.

本题容易忽略0＜x＜1这一个条件.

变式训练1已知x＜，求函数y=4x-2+的最大值.

求和的最值，应凑积为定值.要注意条件x＜，则4x-5＜0.

∵x＜,∴4x-5＜0.

y=4x-5++3=-［（5-4x）+］+3

≤-2+3=-2+3=1.

当且仅当5-4x=,即x=1时等号成立.

所以当x=1时，函数的最大值是1.

变式训练2当x＜时，求函数y=x+的最大值.

本题是求两个式子和的最大值,但是x·

并不是定值,也不能保证是正值,所以,必须使用一些技巧对原式变形.可以变为y=（2x-3）++=-（）+,再求最值.

y=（2x-3）++=-（）+，

∵当x＜时，3-2x＞0，

∴≥=4，当且仅当，即x=-时取等号.

于是y≤-4+=，故函数有最大值.

例4如图3-4-1，动物园要围成相同的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成.

图3-4-1

（1）现有可围36m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？

（2）若使每间虎笼面积为24m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋总长度最小？

设每间虎笼长为xm，宽为ym，则

（1）是在4x+6y=36的前提下求xy的最大值；

而

（2）则是在xy=24的前提下来求4x+6y的最小值.

（1）设每间虎笼长为xm，宽为ym，则由条件,知4x+6y=36，即2x+3y=18.

设每间虎笼的面积为S，则S=xy.

方法一：

由于2x+3y≥2=2,

∴2≤18,得xy≤，即S≤.

当且仅当2x=3y时等号成立.

由解得

故每间虎笼长为4.5m，宽为3m时，可使面积最大.

方法二:

由2x+3y=18，得x=9-y.

∵x＞0,∴0＜y＜6.

S=xy=（9-y）y=（6-y）y.

∵0＜y＜6,∴6-y＞0.

∴S≤［］2=.

当且仅当6-y=y,即y=3时，等号成立，此时x=4.5.故每间虎笼长4.5m,宽3m时，可使面积最大.

（2）由条件知S=xy=24.

设钢筋网总长为l,则l=4x+6y.

方法一:

∵2x+3y≥2=2=24,

∴l=4x+6y=2（2x+3y）≥48,当且仅当2x=3y时,等号成立.

故每间虎笼长6m，宽4m时，可使钢筋网总长最小.

由xy=24，得x=.

∴l=4x+6y=+6y=6（+y）≥6×

2=48,当且仅当=y，即y=4时，等号成立，此时x=6.

故每间虎笼长6m,宽4m时，可使钢筋总长最小.

在使用基本不等式求函数的最大值或最小值时，要注意：

（1）x,y都是正数；

（2）积xy（或x+y）为定值；

（3）x与y必须能够相等，特别情况下，还要根据条件构造满足上述三个条件的结论.

变式训练某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池（平面图如图3-4-2所示）,由于地形限制,长、宽都不能超过16米,如果池外周壁建造单价为每米400元,中间两道隔墙建造单价为每米248元,池底建造单价为每平方米80元,池壁的厚度忽略不计,试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低造价.

图3-4-2

在利用均值不等式求最值时,必须考虑等号成立的条件,若等号不能成立,通常要用函数的单调性进行求解.

设污水处理池的长为x米,则宽为米（0＜x≤16,0＜≤16）,∴12.5≤x≤16.

于是总造价Q（x）=400（2x+2×

）+248×

2×

+80×

200.

=800（x+）+16000≥800×

2+16000=44800,

当且仅当x=（x＞0）,即x=18时等号成立,而18［12.5,16］,∴Q（x）＞44800.

下面研究Q（x）在［12.5,16］上的单调性.

对任意12.5≤x1＜x2≤16,则x2-x1＞0,x1x2＜162＜324.

Q（x2）-Q（x1）=800［（x2-x1）+324（）］

=800×

＜0,

∴Q（x2）＞Q（x1）.∴Q（x）在［12.5,16］上是减函数.

∴Q（x）≥Q（16）=45000.

答:

当污水处理池的长为16米,宽为12.5米时,总造价最低,最低造价为45000元.

问题探究

问题某人要买房,随着楼层的升高,上下楼耗费的精力增多,因此不满意度升高.当住第n层楼时,上下楼造成的不满意度为n.但高处空气清新,嘈杂音较小,环境较为安静,因此随着楼层的升高,环境不满意度降低.设住第n层楼时,环境不满意程度为.则此人应选第几楼,会有一个最佳满意度.

导思：

本问题实际是求n为何值时,不满意度最小的问题,先要根据问题列出一个关于楼层的函数式,再根据基本不等式求解即可.

探究：

设此人应选第n层楼,此时的不满意程度为y.

由题意知y=n+.

∵n+≥2,

当且仅当n=,即n=时取等号.

但考虑到n∈N*,

∴n≈2×

1.414=2.828≈3,

即此人应选3楼,不满意度最低.

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