椭圆 专题训练Word格式.docx

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如图所示，由题意得

A（－a,0），B（a,0），F（－c,0）．

设E（0，m），

由PF∥OE，得＝，

则|MF|＝.①

又由OE∥MF，得＝，

则|MF|＝.②

由①②得a－c＝（a＋c），即a＝3c，

所以e＝＝.

3．（优质试题·

全国乙卷改编）直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为________．

不妨设直线l经过椭圆的一个顶点B（0，b）和一个焦点F（c,0），则直线l的方程为＋＝1，即bx＋cy－bc＝0.由题意知＝×

2b，解得＝，即e＝.

4．（优质试题·

浙江高考）椭圆＋＝1（a＞b＞0）的右焦点F（c,0）关于直线y＝x的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是________．

设椭圆的另一个焦点为F1（－c,0），如图，连接QF1，QF，设QF与直线y＝x交于点M.由题意知M为线段QF的中点，且OM⊥FQ.

又O为线段F1F的中点，

所以F1Q∥OM，所以F1Q⊥QF，|F1Q|＝2|OM|.

在Rt△MOF中，tan∠MOF＝＝，|OF|＝c，

可解得|OM|＝，|MF|＝，

故|QF|＝2|MF|＝，|QF1|＝2|OM|＝.

由椭圆的定义得|QF|＋|QF1|＝＋＝2a，

整理得b＝c，

所以a＝＝c，故e＝＝.

5．（优质试题·

全国卷Ⅱ）已知椭圆C：

＋＝1（a>

b>

0）的离心率为，点（2，）在C上．

（1）求C的方程；

（2）直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.证明：

直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．

解：

（1）由题意得＝，＋＝1，

解得a2＝8，b2＝4.

所以C的方程为＋＝1.

（2）证明：

设直线l：

y＝kx＋b（k≠0，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（xM，yM）．

将y＝kx＋b代入＋＝1，

得（2k2＋1）x2＋4kbx＋2b2－8＝0.

故xM＝＝，yM＝k·

xM＋b＝.

于是直线OM的斜率kOM＝＝－，

即kOM·

k＝－.

所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．

6.（优质试题·

江苏高考）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，且右焦点F到左准线l的距离为3.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC＝2AB，求直线AB的方程．

（1）由题意，得＝且c＋＝3，

解得a＝，c＝1，则b＝1，

所以椭圆的标准方程为＋y2＝1.

（2）当AB⊥x轴时，AB＝，又CP＝3，不合题意．

当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝k（x－1），A（x1，y1），B（x2，y2），

将AB的方程代入椭圆方程，得

（1＋2k2）x2－4k2x＋2（k2－1）＝0，

则x1,2＝，

C的坐标为，

且AB＝

＝

若k＝0，则线段AB的垂直平分线为y轴，与左准线平行，不合题意．

从而k≠0，故直线PC的方程为

y＋＝－，

则P点的坐标为，

从而PC＝.

因为PC＝2AB，所以＝，

解得k＝±

1.

此时直线AB的方程为y＝x－1或y＝－x＋1.

命题点二　双曲线

江苏高考）在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1的焦距是________．

由双曲线的标准方程，知a2＝7，b2＝3，所以c2＝a2＋b2＝10，所以c＝，从而焦距2c＝2.

2

全国乙卷改编）已知方程－＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是________．

由题意得（m2＋n）（3m2－n）>

0，解得－m2<

n<

3m2，又由该双曲线两焦点间的距离为4，得m2＋n＋3m2－n＝4，即m2＝1，所以－1<

3.

（－1,3）

山东高考）已知双曲线E：

－＝1（a＞0，b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|＝3|BC|，则E的离心率是________．

如图，由题意知|AB|＝，|BC|＝2c.

又2|AB|＝3|BC|，

所以2×

＝3×

2c，即2b2＝3ac，

所以2（c2－a2）＝3ac，两边同除以a2并整理得2e2－3e－2＝0，解得e＝2（负值舍去）．

全国甲卷改编）已知F1，F2是双曲线E：

－＝1的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1＝，则E的离心率为________．

法一：

作出示意图，如图，离心率e＝＝＝，由正弦定理得e＝＝＝＝.

法二：

因为MF1与x轴垂直，所以|MF1|＝.

又sin∠MF2F1＝，所以＝，即|MF2|＝3|MF1|.由双曲线的定义得2a＝|MF2|－|MF1|＝2|MF1|＝，所以b2＝a2，所以c2＝b2＋a2＝2a2，所以离心率e＝＝.

全国卷Ⅱ）已知双曲线过点（4，），且渐近线方程为y＝±

x，则该双曲线的标准方程为________．

因为双曲线的渐近线方程为y＝±

x，

所以可设双曲线的方程为x2－4y2＝λ（λ≠0）．

因为双曲线过点（4，），

所以λ＝16－4×

（）2＝4，

所以双曲线的标准方程为－y2＝1.

因为渐近线y＝x过点（4,2），而<

2，

所以点（4，）在渐近线y＝x的下方，在y＝－x的上方（如图）．

所以双曲线的焦点在x轴上，

故可设双曲线方程为

－＝1（a>

0，b>

0）．

由已知条件可得

解得所以双曲线的标准方程为－y2＝1.

－y2＝1

6．（优质试题·

江苏高考）在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2－y2＝1右支上的一个动点，若点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为________．

所求的c的最大值就是双曲线的一条渐近线x－y＝0与直线x－y＋1＝0的距离，此距离d＝＝.

命题点三　抛物线

全国卷Ⅰ改编）已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：

y2＝8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则AB＝________.

由题意，设椭圆E的方程为＋＝1（a>

0），

因为抛物线y2＝8x的焦点为（2,0），

所以椭圆中c＝2，

又＝，所以a＝4，b2＝a2－c2＝12，

从而椭圆的方程为＋＝1.

因为抛物线y2＝8x的准线为x＝－2，

所以xA＝xB＝－2，

将xA＝－2代入椭圆方程可得|yA|＝3，

由椭圆的对称性可知AB＝2|yA|＝6.

6

山东高考）平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：

－＝1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线C2：

x2＝2py（p＞0）交于点O，A，B.若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为________．

双曲线的两条渐近线方程为y＝±

x，与抛物线方程联立得交点A，B，抛物线焦点为F，由三角形垂心的性质，得BF⊥OA，即kBF·

kOA＝－1，又kBF＝＝－，kOA＝，所以有＝－1，即＝，故C1的离心率e＝＝＝＝.

全国卷Ⅰ）在直角坐标系xOy中，曲线C：

y＝与直线l：

y＝kx＋a（a>

0）交于M，N两点．

（1）当k＝0时，分别求C在点M和N处的切线方程；

（2）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM＝∠OPN？

说明理由．

（1）由题设可得M（2，a），N（－2，a），

或M（－2，a），N（2，a）．

又y′＝，

故y＝在x＝2处的导数值为，C在点（2，a）处的切线方程为y－a＝（x－2），

即x－y－a＝0.

y＝在x＝－2处的导数值为－，C在点（－2，a）处的切线方程为y－a＝－（x＋2），

即x＋y＋a＝0.

故所求切线方程为x－y－a＝0和x＋y＋a＝0.

（2）存在符合题意的点．理由如下：

设P（0，b）为符合题意的点，M（x1，y1），N（x2，y2），直线PM，PN的斜率分别为k1，k2.

将y＝kx＋a代入C的方程，得x2－4kx－4a＝0.

故x1＋x2＝4k，x1x2＝－4a.

从而k1＋k2＝＋

＝＝.

当b＝－a时，有k1＋k2＝0，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，

故∠OPM＝∠OPN，所以点P（0，－a）符合题意．

命题点四　圆锥曲线中的综合问题

全国甲卷）已知A是椭圆E：

＋＝1的左顶点，斜率为k（k＞0）的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA.

（1）当|AM|＝|AN|时，求△AMN的面积；

（2）当2|AM|＝|AN|时，证明：

＜k＜2.

（1）设M（x1，y1），则由题意知y1＞0.

由已知及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为.

又A（－2,0），因此直线AM的方程为y＝x＋2.

将x＝y－2代入＋＝1得7y2－12y＝0.

解得y＝0或y＝，

所以y1＝.

因此△AMN的面积S△AMN＝2×

×

设直线AM的方程为y＝k（x＋2）（k＞0），

代入＋＝1得（3＋4k2）x2＋16k2x＋16k2－12＝0.

由x1·

（－2）＝，得x1＝，

故|AM|＝|x1＋2|＝.

由题意，设直线AN的方程为y＝－（x＋2），

故同理可得|AN|＝.

由2|AM|＝|AN|，得＝，

即4k3－6k2＋3k－8＝0.

设f（t）＝4t3－6t2＋3t－8，则k是f（t）的零点．

f′（t）＝12t2－12t＋3＝3（2t－1）2≥0，

所以f（t）在（0，＋∞）上单调递增．

又f（）＝15－26＜0，f

（2）＝6＞0，

因此f（t）在（0，＋∞）上有唯一的零点，且零点k在（，2）内，

所以＜k＜2.

全国乙卷）设圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为A，直线l过点B（1,0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.

（1）证明|EA|＋|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；

（2）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．

（1）证明：

因为|AD|＝|AC|，EB∥AC，

所以∠EBD＝∠ACD＝∠ADC，所以|EB|＝|ED|，

故|EA|＋|EB|＝|EA|＋|ED|＝|AD|.

又圆A的标准方程为（x＋1）2＋y2＝16，

从而|AD|＝4，

所以|EA|＋|EB|＝4.

由题设得A（－1,0），B（1,0），|AB|＝2，

由椭圆定义可得点E的轨迹方程为＋＝1（y≠0）．

（2）当l与x轴不垂直时，设l的方程为y＝k