直线和圆的方程知识点总结.docx
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直线和圆的方程知识点总结
直线与圆的直线方程
一、直线方程.
1.直线的倾斜角
2.直线方程的几种形式：
点斜式、截距式、两点式、斜切式
3.⑴两条直线平行：
11推论：
如果两条直线1,2的倾斜角为1,2则ll〃丨212.
⑵两条直线垂直：
两条直线垂直的条件：
①设两条直线|1和12的斜率分别为k1和k2，则有1112k1k21
4.直线的交角：
5.过两直线l1：
A1XB1yC10的交点的直线系方程
12:
A2xB?
yC20
A1XB1yC1（A2XB2yC2）0（为参数，A2XB2yC20不包括在内）
6.点到直线的距离：
⑴点到直线的距离公式：
设点P（xo,yo），直线l:
AxByC0,P到I的距离为d，则有
AxoByoC
d—.
VA2B2
注：
1.两点R（X1,y1）、P2（x2,y2）的距离公式：
[pa]（X2xj2（y2y1）2.
2.定比分点坐标分式。
若点P（x,y）分有向线段pp所成的比为即1pppp*,其中
R（x1,y1）,P2（x2,y2）.贝Vx空X2,y空
11
特例，中点坐标公式；重要结论，三角形重心坐标公式。
3.直线的倾斜角（0v180°）、斜率：
ktan
4.过两点R（X1,y1）,F2（X2,y2）的直线的斜率公式：
ky2y1.（捲x?
）
X2X1
当捲X2,y1y（即直线和x轴垂直）时，直线的倾斜角=90，没有斜率-
注；直线系方程
1.与直线：
Ax+By+C=0平行的直线系方程是：
Ax+By+n=0.（m?
R,C丰n）.
2.与直线：
Ax+By+C=0垂直的直线系方程是：
Bx-Ay+n=0.（m?
R）
3.过定点（xi,yi）的直线系方程是：
A（x-x"+B（y-y"=0（A,B不全为0）
4.过直线11、12交点的直线系方程：
（Aix+Biy+C）+入（A2X+B2y+C2）=0（入？
R）注：
该
直线系不含丨2.
7.关于点对称和关于某直线对称：
⑴关于点对称的两条直线一定是平行直线，且这个点到两直线的距离相等
⑵关于某直线对称的两条直线性质：
若两条直线平行，则对称直线也平行，且两直线到对称
直线距离相等•
若两条直线不平行，则对称直线必过两条直线的交点，且对称直线为两直线夹角的角平分线
⑶点关于某一条直线对称，用中点表示两对称点，则中点在对称直线上（方程①），过两对称点的直线方程与对称直线方程垂直（方程②）①②可解得所求对称点
二、圆的方程•
2.圆的标准方程：
以点C（a,b）为圆心，r为半径的圆的标准方程是（xa）2（yb）2r2.
3.圆的一般方程：
x2y2DxEyF0.
2方程Ax2BxyCy2DxEyF0表示圆的充要条件是：
B0且AC0且
D2E24AF0.
3圆的直径或方程：
已知A（x1,y1）B（x2,y2）（xx1）（xx2）（yy1）（yy2）0（用向量可
征）.
4.点和圆的位置关系：
给定点
M（:
<0,y0）及圆
222C:
（xa）2（yb）2r2.
①M在圆C内
（X0
a）2
（y0
b）2
2r
②M在圆C上
（X0
a）2
（y0
b）2
2r
③M在圆C外
（X0
a）2
（y0
b）2
2r
5.直线和圆的位置关系：
设圆圆C:
（xa）2
（y
b）2
r（r
0）
；
直线l:
AxByC0（A2B20）；
|AaBbCl
圆心C（a,b）到直线I的距离dIC.
JA2B2
1dr时，I与C相切；
2dr时，I与C相交；，有两个交点，则其公共弦方程为
（DiD2）x（EiE2）y（FiF2）0.
3dr时，I与C相离•
5.圆的切线方程：
①一般方程若点（xo,yo）在圆上，则（x-a）（xg-a）+（y-b）（yo-b）=特别地，
过圆x2y2r2上一点P（xo,yo）的切线方程为xoxyoyr2.
解题方法：
1）直接法：
建系设点，列式表标，简化检验;
2）参数法；3）定义法，4）待定系数法.
（2）常见题型一一求过定点的切线方程
1切线条数点在圆外两条；点在圆上一条；点在圆内无
2求切线方程的方法及注意点
i）点在圆外
宀222222
如疋点PX）,y0，圆：
xaybr,[x0ay0br]
第一步：
设切线|方程yy0kxx0
第二步：
通过drk，从而得到切线方程
特别注意：
以上解题步骤仅对k存在有效，当k不存在时，应补上—千万不要漏了!
如：
过点P1,1作圆x2y24x6y120的切线，求切线方程.
答案：
3x4y10和x1
ii）点在圆上
1）若点x0,y0在圆x2y2r2上，则切线方程为x°xy°yr2
会在选择题及填空题中运用，但一定要看清题目
22
2）若点x0,y0在圆xaybr2上，则切线方程为
x0axay0bybr2
碰到一般方程则可先将一般方程标准化，然后运用上述结果
由上述分析，我们知道：
过一定点求某圆的切线方程，非常重要的第一步就是一一判断
点与圆的位置关系，得出切线的条数.
求切点坐标：
利用两个关系列出两个方程
3.直线与圆相交
（1）求弦长及弦长的应用问题
垂径定理及勾股定理一一常用
弦长公式：
|Jik2|x!
x2|J1k2xx224虫2（暂作了解，无需掌握）
（2）判断直线与圆相交的一种特殊方法（一种巧合）：
直线过定点，而定点恰好在圆内
（3）关于点的个数问题
4.直线与圆相离
会对直线与圆相离作出判断（特别是涉及一些参数时）
六、最值问题
方法主要有三种：
（1）数形结合；
（2）代换；（3）参数方程
1.已知实数x，y满足方程x2y24x10,求：
（1）^—的最大值和最小值；一一看作斜率
x5
（2）yx的最小值；一一截距（线性规划）
（3）x2y2的最大值和最小值.——两点间的距离的平方
2.已知AOB中，0B3，OA4，AB5，点P是AOB内切圆上一点，求以PA，
PB，P0为直径的三个圆面积之和的最大值和最小值.
数形结合和参数方程两种方法均可！
22
3.设Px,y为圆x2y11上的任一点，欲使不等式xyc0恒成立，则c的取
值范围是.答案：
C恵1（数形结合和参数方程两种方法均可！
）
九、圆与圆的位置关系
1.判断方法：
几何法（d为圆心距）
（1）dr1
r2
外离
（2）d「1
「2
外切
（3）*D
d
相交
（4）d血
r2
内切
（5）d|r1
r2
内含
2.两圆公共弦所在直线方程
圆C1:
X2
2
y
D1xE1y
F1
2
0，圆C2:
x
2
y
D2xE2yF20，
则D1D2
x
E1E2y
F1
f20为两相交圆公共弦方程.
补充说明：
若G与C2相切，则表示其中一条公切线方程;
若G与C2相离，则表示连心线的中垂线方程
3圆系问题
D1x
E1y
2
F10和C2:
x
2
y
D2x
E2y1
F20交点的
（1）过两圆C1
22
:
xy
圆系方程为X2
y2D1X
E』
F1
22f
xyD2x
E?
y
F2
0（
1）
说明：
〔）上述圆系不包括C?
；2）当1时，表示过两圆交点的直线方程（公共弦）
（2）过直线AxByC0与圆x2y2DxEyF0交点的圆系方程为
22
xyDxEyFAxByC0
（3）有关圆系的简单应用
（4）两圆公切线的条数问题
①相内切时，有一条公切线；②相外切时，有三条公切线；③相交时，有两条公切线；④相
离时，有四条公切线
十、轨迹方程
（1）定义法（圆的定义）：
略
）直接法：
通过已知条件直接得出某种等量关系，利用这种等量关系，建立起动点坐标
的关系式——轨迹方程•
例：
过圆X2
2
分析：
0P
2
y1外一点A2,0作圆的割线，求割线被圆截得的弦的中点的轨迹方程
（3）相关点法（平移转换法）：
一点随另一点的变动而变动
动点主动点
特点为：
主动点一定在某一已知的方程所表示的（固定）轨迹上运动
参数法的本质是将动点坐标x,y中的x和y都用第三个变量（即参数）表示，通过消参得
到动点轨迹方程，通过参数的范围得出x，y的范围•
（4）求轨迹方程常用到得知识
①重心Gx,y，
3内角平分线定理:
4定比分点公式：
5韦达定理.
XaXbxc
3
yyByc
3
BD
CD
AB
AC
x
②中点Px,y，
XiX2
2
yiy2
yM
AM
MB
，则Xm
Xa
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