高中数学必修5均值不等式文档格式.docx

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当且仅当____________时取等号．

2．几个重要的不等式

（1）a2＋b2≥2ab（a，b∈R）．

（2）＋≥2（a，b同号）．

（3）ab≤2（a，b∈R）．（4）≥2（a，b∈R）．

注意：

使用均值不等式求最值，前提是“一正、二定、三相等”

3．算术平均数与几何平均数

设a＞0，b＞0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，均值不等式可叙述为两个正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数．

4．利用均值不等式求最值问题

已知x＞0，y＞0，则

（1）如果积xy是定值p，那么当且仅当________时，__________有最_____值是_____（简记：

积定和最小）

（2）如果和x＋y是定值s，那么当且仅当_____时，____有最______值是_______.（简记：

和定积最大）

双基自测

1．函数y＝x＋（x＞0）的值域为（　　）．

A．（－∞，－2]∪[2，＋∞）B．（0，＋∞）

C．[2，＋∞）D．（2，＋∞）

2．下列不等式：

①a2＋1＞2a；

②≤2；

③x2＋≥1.其中正确的个数是（　　）．

A．0B．1C．2D．3

3．若正实数a，b满足a＋b＝1，则（　　）．

A.＋有最大值4B．ab有最小值

C.＋有最大值D．a2＋b2有最小值

4.若实数满足，则的最小值是（）

A．18B.6C.D.

5.若正数满足，则的取值范围是.

6.若,且，则的最小值为.

典型例题

类型一利用均值不等式求最值

1．若函数f（x）＝x＋（x＞2）的最小值为____________.

2．已知t＞0，则函数y＝的最小值为________．

3.当x＞0时，则f（x）＝的最大值为________．

4.已知x＞0，y＞0，且2x＋y＝1，则＋的最小值为________；

5.若x，y∈（0，＋∞）且2x＋8y－xy＝0，则x＋y的最小值为________．

6.已知0＜x＜，则y＝2x－5x2的最大值为________．

7.已知,则的最小值是_____________

8．已知x，y∈R＋，且满足＋＝1，则xy的最大值为________．

类型二.证明题

1.已知a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1.求证：

＋＋≥9.

2.正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，求证：

（1－a）（1－b）（1－c）≥8abc

类型三.恒成立问题

1.若对任意x＞0，≤恒成立，则的取值范围是________．

2.已知不等式对任意正实数恒成立，则正实数的最小值为

巩固练习

1．已知x＞0，y＞0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则的最小值是

A．0B．1C．2D．4

2．已知0＜x＜1，则x（3－3x）取得最大值时x的值为（　　）．

A.B.C.D.

3．把一段长16米的铁丝截成两段，分别围成正方形，则两个正方形面积之和的最小值为（　　）．

A．4B．8C．16D．32

4.设x、y为正数，则有（x+y）（）的最小值为（）

A．15B．12C．9D．6

5.已知，且，则的最大值为.

6.已知，则函数的最大值为

7.已知x、y为正实数，且，则x+y的最小值。

8.已知，且，则的最大值．

9.已知，则的最小值是.

10.若x，y是正数，则的最小值是

11.函数的图象恒过定点，若点在直线上，则的最小值为．

12.已知a＞0，b＞0，且a＋b＝1，则＋的最小值．

13.

（1）求的值域。

（2）求函数的值域。

14．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x的值.

15.已知且，求使不等式恒成立的实数的取值范围。

16．已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，求：

（1）xy的最小值；

（2）x＋y的最小值．

17.某种汽车，购买时费用为10万元；

每年应交保险费、养路费及汽油费合计9千元；

汽车的维修费平均为第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，依次成等差数列递增。

问这种汽车使用多少年报废最合算（及使用多少年的年平均费用最少）？

18.研究函数图象及性质。

（1）定义域

（2）值域

（3）奇偶性

（4）单调性

（5）极值点

（6）图象

练习：

若x、y，求的最小值。