快速傅里叶变换FFT试题.docx

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快速傅里叶变换FFT试题

快速傅里叶变换（FFT）试题

　　　　　　第一章　　　　填空题　　　　快速傅里叶变换　　如果序列x（n）是一长度为64点的有限长序列（0?

的有限长序列（0?

n?

63），序列h（n）是一长度为128点　　，则y（n）为　　点的序列，如果n?

127），记y（n）?

x（n）?

h（n）　　采用基2FFT算法以快速卷积的方式实现线性卷积，则FFT的点数至少为　　点。

解：

64+128-1＝191点;256　　

（2）如果一台通用机算计的速度为：

平均每次复乘需100?

s，每次复加需20?

s，今用来计算N=1024点的DFT[x（n）]。

问直接运算需时间，用FFT运算需要时间。

　　解：

①直接运算：

需复数乘法N次，复数加法NT1?

N2?

100?

N?

20?

125808640?

s?

　　②基2FFT运算：

需复数乘法　　Nlog2N次，复数加法Nlog2N次。

2用FFT计算1024点DTF所需计算时间T2为　　NT2?

log2N?

100?

Nlog2N?

20?

716800?

s?

。

　　2（3）快速傅里叶变换是基于对离散傅里叶变换　　和利用旋转因子e来减少计算量，其特点是_______、_________和__________。

　　解：

长度逐次变短；周期性；蝶形计算、原位计算、码位倒置N点的FFT的运算量为复乘　　、复加　　。

解：

选择题　　1．在基2DIT—FFT运算中通过不断地将长序列的DFT分解成短序列的DFT，最后达到2点DFT来降低运算量。

若有一个64点的序列进行基2DIT—FFT运算，需要分解　　次，方能完成运算。

　　　　D.8解：

B　　2．在基2DIT—FFT运算时，需要对输入序列进行倒序，若进行计算的序列点数N=16，倒序前信号点序号为8，则倒序后该信号点的序号为　　。

　　A.8　　B.16　　C.1　　D.4解：

C　　3．在时域抽取FFT运算中，要对输入信号x（n）的排列顺序进行“扰乱”。

在16点FFT中，原来x（9）　　?

j2?

kN的　　　　?

NNL?

log2N；aF?

NL?

Nlog2N22的位置扰乱后信号为：

　　。

　　A．x（7）　　B.x（9）　　C.x

（1）　　D.x（15）解：

B　　4.用按时间抽取FFT计算N点DFT所需的复数乘法次数与（　　）成正比。

　　解：

D　　5.直接计算N点DFT所需的复数乘法次数与（　　）成正比。

　　　　解：

B　　点FFT所需的复数乘法次数为（　　）。

　　解：

D　　7.下列关于FFT的说法中错误的是（　　）。

　　是一种新的变换　　是DFT的快速算法　　基本上可以分成时间抽取法和频率抽取法两类D.基2FFT要求序列的点数为2L（其中L为整数）解：

A　　8.不考虑某些旋转因子的特殊性，一般一个基2FFT算法的蝶形运算所需的复数乘法及复数加法次数分别为（　　）。

和2和1解：

A　　9．计算N=2L点的按时间抽取基-2FFT需要（　　）级蝶形运算。

A．L解：

A　　10.基-2FFT算法的基本运算单元为（　　）A.蝶形运算C.相关运算解：

A　　11.计算256点的按时间抽取基-2FFT，在每一级有______个蝶形。

（　　）　　B.卷积运算D.延时运算　　　　　　/2　　　　　　　　　　/2　　　　和1和2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　D.（N/2）log2N　　解：

C　　12.如图所示的运算流图符号是_______基2FFT算法的蝶形运算流图符号。

（　　）A.按频率抽取B.按时间抽取、B项都是、B项都不是解：

B　　13.求序列x（n）的1024点基2—FFT，需要_____次复数乘法。

（　　）×10解：

C　　问答题　　1.简述频域抽选法和时域抽选法的异同。

　　答：

相同点：

进行原位运算运算量相同，均为　　×1024×10　　Nlog2N次复乘、Nlog2N次2复加；不同点：

时域抽选法输入为倒位序，输出为自然顺序。

频域抽选法正好与此相反，但时域抽选法也有输入为自然顺序、输出为倒位序的情况蝶形运算不同2.回答以下问题：

　　画出按时域抽取N?

4点基2FFT的信号流图。

　　?

（2,1,3,4）的DFT。

　　利用流图计算4点序列x（n）试写出利用FFT计算IFFT的步骤。

　　解：

　　x（0）x

（2）x

（1）x（3）Q0（0）Q0

（1）?

1Q（0）Q1

（1）?

11X（0）?

j?

1jX

（1）X

（2）X（3）　　　　r01k0W20W2011W20W2l01k0W40W4011W40W423W40W42W40W43　　4点按时间抽取FFT流图　　　　加权系数　　　　?

Q0（0）?

x（0）?

x

（2）?

2?

3?

5　　?

?

Q0

（1）?

x（0）?

x

（2）?

2?

1?

?

1?

Q1（0）?

x

（1）?

x（3）?

1?

4?

5?

?

Q1

（1）?

x

（1）?

x（3）?

1?

4?

?

3X（0）?

Q0（0）?

Q1（0）?

5?

5?

10　　X

（1）?

Q0

（1）?

W41Q1

（1）?

?

1?

j?

3　　X

（2）?

Q0（0）?

W42Q1（0）?

5?

5?

0　　　　X（3）?

Q0

（1）?

W43Q1

（1）?

?

1?

3j　　　　即：

　　　　X（k）?

（10,?

1?

3j,0,?

1?

3j）,k?

0,1,2,3　　具体步骤如下：

　　1）对　　X（k）取共轭，得X*（k）；　　?

　　2）对X（k）做N点FFT；　　3）对2）中结果取共轭并除以N。

　　3.已知两个N点实序列　　x（n）和y（n）得DFT分别为X（k）和Y（k），现在需要求出序列x（n）和　　y（n），试用一次N点IFFT运算来实现。

　　解：

依据题意　　　　x（n）?

X（k）,y（n）?

Y（k）　　Z（k）?

X（k）?

jY（k）　　取序列　　　　对Z（k）作N点IFFT可得序列又根据DFT性质　　z（n）。

　　IDFT[X（k）?

jY（k）]?

IDFT[X（k）?

jIDFT[Y（k）]?

x（n）?

jy（n）　　原题可知，　　x（n）,y（n）都是实序列。

再根据z（n）?

x（n）?

jy（n），可得　　　　x（n）?

Re[z（n）]y（n）?

Im[z（n）]　　　　计算题　　1.对于长度为8点的实序列x（n），试问如何利用长度为4点的FFT计算x（n）的8点DFT？

写出其表达式，并画出简略流程图。

解：

　　X（k）?

?

x（n）W8nkn?

07　　?

?

x（2r）Wr?

0332rk8?

?

x（2r?

1）W8（2r?

1）kr?

0k83　　　　?

?

g（r）Wr?

0rk4?

W?

h（r）Wr?

033rk4　　　　①　　?

G（k）?

W8kH（k）,k?

0,1,2,3X（k?

1）?

?

g（r）Wr?

03r（k?

4）4?

W3k?

48?

h（r）Wr?

0rk4r（k?

4）4　　　　?

?

g（r）Wr?

03rk4?

Wk8?

h（r）Wr?

0　　　　　　②　　?

G（k）?

W8kH（k）,k?

0,1,2按照式①和式②可画出如下图所示的流程图。

　　x（0）x

（2）G（0）x（4）x（6）x

（1）x（3）x（5）4点DFTG

（1）X（0）X

（1）G

（2）G（3）H（0）W80X

（2）X（3）?

1?

14点H

（2）W82DFT3H（3）W8H

（1）W81x（7）2.　　?

1?

1X（4）X（5）X（6）X（7）　　X[k]是N点序列x（n）的DFT，N为偶数。

两个　　N2点序列定义为　　　　　　x1[n]?

1（x[2n]?

x[2n?

1]）21N（x[2n]?

x[2n?

1]）,0?

n?

?

122NX1[k]和X2[k]分别表示序列x1[n]和x2[n]的点DFT，试X1[k]和X2[k]确定x[n]N　　2x2[n]?

N?

12k?

0N?

1l?

0ml2N2点DFT。

　　解：

DFT　　?

x[2k]?

?

?

x[2k]W?

?

x[l]L?

0N?

1mkN2?

?

x[l]W　　　　　　1?

W1NmlWN?

（X[m]?

X[m?

]）222N?

1l?

0m2　　　　?

?

x[l]l?

0N?

1（1?

W2）ml?

mWNWN?

1N?

m（X[m]?

X[m?

]WN22X1[m]?

X2[m]?

11NN?

m?

m（1?

WN）X[m]?

（1?

WN）X[m?

],0?

m?

?

1442211NN?

m?

m（1?

WN）X[m]?

（1?

WN）X[m?

],0?

m?

?

14422解上述方程可得　　mmX[m]?

（1?

WN）X1[m]?

（1?

WN）X2[m],0?

m?

N?

12

　　　　　　X[m?

NNmm]?

（1?

WN）X1[m]?

（1?

WN）X2[m],0?

m?

?

122现在需要X（k）X（k）的各个数值（k?

0,1,...,2N?

1），　　3.已知长度为2N的实序列x（n）的DFT　　计算x（n），为了提高效率，请设计用一次N点IFFT来完成。

解：

如果将x（n）按奇偶分为两组，即令　　u（n）?

x（2n）?

?

v（n）?

x（2n?

1）?

那么就有　　n?

0,1,2,?

N?

1　　X（k）?

U（k）?

W2kNV（k）?

?

X（k?

N）?

U（k）?

W2kNV（k）?

　　k?

0,1,2,?

N?

1　　其中U（k）、V（k）分别是实序列u（n）、v（n）的N点DFT，U（k）、V（k）可以上式解出　　1?

X（k）?

X（k?

N）?

?

?

2?

1?

kV（k）?

W2N?

X（k）?

X（k?

N）?

?

2?

U（k）?

于　　就得到了U（k）和V（k）。

令　　k?

0,1,2,?

N?

1　　X（k）（k?

0,1,...,2N?

1）是已知的，因此可以将X（k）前后分半按上式那样组合起来，于是　　y（n）?

u（n）?

jv（n）　　　　根据U（k）、V（k），做一次N点IFFT运算，就可以同时得到u（n）和v（n）（n?

0,1,...,N?

1）　　它们分别是x（n）的偶数点和奇数点序列，于是序列x（n）（n?

0,1,...,2N?

1）也就求出了。

　　4-7采用FFT算法，可用快速卷积完成线性卷积。

现预计算线性卷积x（n）?

h（n），试写采用快速卷积的计算步骤。

　　答：

如果x（n），h（n）的长度分别为N1,N2,那么用长度N?

N1?

N2?

?

1的圆周卷积可计算线性卷　　积。

用FFT运算来求x（n）?

h（n）值的步骤如下：

　　对序列x（n），h（n）补零至长为N，使N整数），即　　?

N1?

N2?

?

1，并且N?

2M（M为　　n?

0,1,...N1?

1?

x（n）x（n）?

?

　　n?

N1,N1?

1,...N?

1?

0n?

0,1,...,N2?

1?

h（n）h（n）?

?

　　0n?

N,N?

1,...,N?

122?

用FFT计算x（n），h（n）的离散傅立叶变换　　x（n）?

FFT?

?

?

X（k）　　h（n）?

FFT?

?

?

H（k）　　　　计算Y（k）?

X（k）H（k）　　用IFFT计算Y（k）的离散傅立叶变换得：

　　x（n）?

h（n）?

IFFT[Y（k）]　　　　4-8试推导时域抽取基-2FFT算法，并画出8点的FFT计算流图。

解：

　　nkX?

k?

?

?

x?

n?

WNn?

0N?

1　　N2?

1?

?

x?

2r?

Wr?

0N2?

12rkN?

?

x?

2r?

1?

W?

r?

0N2?

1kN2r?

1?

kN　　N2?

1?

?

x?

2r?

?

W?

r?

0rkN22rkN?

W?

x?

2r?

1?

?

W?

r?

0rkN22rkN　　N2?

1?

?

x?

2r?

Wr?

0N2?

1?

WkN?

x?

2r?

1?

Wr?

0　　k?

G?

k?

?

WNH?

k?

　　其中　　　　N2?

1?

rk?

G?

k?

?

?

x?

2r?

WN2?

r?

0?

N2?

1?

H?

k?

?

x?

2r?

1?

WNrk2?

?

r?

0?

G?

k?

和H?

k?

分别是x?

2r?

和x?

2r?

1?

的　　所以：

　　　　N2点的DFT，周期为　　N2。

　　?

N?

?

N?

G?

?

k?

?

G?

k?

，H?

?

k?

?

H?

k?

?

2?

?

2?

?

WNN2?

k?

又因为：

　　?

e?

j2?

?

N?

?

?

k?

N?

2?

k?

?

WNNk?

N?

N?

N?

?

?

?

kX?

k?

?

?

G?

k?

?

?

WN2H