中考数学压轴题专题复习一元二次方程组的综合附答案Word下载.docx
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(1)仿照材料内容,令+=t代入原式计算.
(2)观察式子找相同部分进行换元,令a2﹣5a=t代入原式进行因式分解,最后要记得把t换为a.
(3)观察式子找相同部分进行换元,令x2+4x=t代入原方程,即得到关于t的一元二次方程,得到t的两个解后要代回去求出4个x的解.
【详解】
(1)令+=t,则:
原式=(1﹣t)(t+)﹣(1﹣t﹣)t=t+﹣t2﹣﹣t+t2+=
(2)令a2﹣5a=t,则:
原式=(t+3)(t+7)+4=t2+7t+3t+21+4=t2+10t+25=(t+5)2=(a2﹣5a+5)2
(3)令x2+4x=t,则原方程转化为:
(t+1)(t+3)=3
t2+4t+3=3
t(t+4)=0
∴t1=0,t2=﹣4
当x2+4x=0时,
x(x+4)=0
解得:
x1=0,x2=﹣4
当x2+4x=﹣4时,
x2+4x+4=0
(x+2)2=0
x3=x4=﹣2
【点睛】
本题考查用换元法进行整式的运算,因式分解,解一元二次方程.利用换元法一般可达到降次效果,从而简便运算.
2.已知关于x的方程①的两个实数根的倒数和等于3,且关于x的方程②有实数根,又k为正整数,求代数式的值.
【答案】0.
由于关于x的方程x2+3x+a=0的两个实数根的倒数和等于3,利用根与系数的关系可以得到关于a的方程求出a,又由于关于x的方程(k-1)x2+3x-2a=0有实数根,分两种情况讨论,该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程,又k为正整数,利用判别式可以求出k,最后代入所求代数式计算即可求解.
解:
设方程①的两个实数根分别为x1、x2
则,
由条件,知=3,
即,且,
故a=-1,
则方程②为(k-1)x2+3x+2=0,
Ⅰ.当k-1=0时,k=1,x=,则.
Ⅱ.当k-1≠0时,=9-8(k-1)=17-6-8k≥0,则,
又k是正整数,且k≠1,则k=2,但使无意义.
综上,代数式的值为0
本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系,在解方程时一定要注意所求k的值与方程判别式的关系.要注意该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程,
3.某中心城市有一楼盘,开发商准备以每平方米7000元价格出售,由于国家出台了有关调控房地产的政策,开发商经过两次下调销售价格后,决定以每平方米5670元的价格销售.
(1)求平均每次下调的百分率;
(2)房产销售经理向开发商建议:
先公布下调5%,再下调15%,这样更有吸引力,请问房产销售经理的方案对购房者是否更优惠?
为什么?
(1)平均每次下调的百分率为10%.
(2)房产销售经理的方案对购房者更优惠.
(1)根据利用一元二次方程解决增长率问题的要求,设出未知数,然后列方程求解即可;
(2)分别求出两种方式的增长率,然后比较即可.
(1)设平均每次下调x%,则
7000(1﹣x)2=5670,解得:
x1=10%,x2=190%(不合题意,舍去);
答:
平均每次下调的百分率为10%.
(2)(1﹣5%)×
(1﹣15%)=95%×
85%=80.75%,(1﹣x)2=(1﹣10%)2=81%.
∵80.75%<81%,∴房产销售经理的方案对购房者更优惠.
4.∵1.7×
35=59.5,1.7×
80=136<151
∴这家酒店四月份用水量不超过m吨(或水费是按y=1.7x来计算的),
五月份用水量超过m吨(或水费是按来计算的)
则有151=1.7×
80+(80-m)×
即m2-80m+1500=0
解得m1=30,m2=50.
又∵四月份用水量为35吨,m1=30<35,∴m1=30舍去.
∴m=50
5.从图象来看,该函数是一个分段函数,当0≤x≤m时,是正比例函数,当x>m时是一次函数.
【小题1】只需把x代入函数表达式,计算出y的值,若与表格中的水费相等,则知收取方案.
6.解下列方程:
(1)2x2-4x-1=0(配方法);
(2)(x+1)2=6x+6.
(1)x1=1+,x2=1-
(2)x1=-1,x2=5.
试题分析:
(1)根据配方法解一元二次方程的方法,先移项,再加减一次项系数一半的平方,完成配方,再根据直接开平方法解方程即可;
(2)根据因式分解法,先移项,再提公因式即可把方程化为ab=0的形式,然后求解即可.
试题解析:
(1)由题可得,x2-2x=,∴x2-2x+1=.
∴(x-1)2=.
∴x-1=±
=±
.
∴x1=1+,x2=1-.
(2)由题可得,(x+1)2-6(x+1)=0,∴(x+1)(x+1-6)=0.
∴x+1=0或x+1-6=0.
∴x1=-1,x2=5.
7.有一个人患了流感,经过两轮传染后共有36人患了流感.
(1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人?
(2)如果不及时控制,第三轮将又有多少人被传染?
(1)5;
(2)180
(1)设平均一人传染了x人,根据有一人患了流感,经过两轮传染后共有36人患了流感,列方程求解即可;
(2)根据每轮传染中平均一个人传染的人数和经过两轮传染后的人数,列出算式求解即可.
(1)设每轮传染中平均一个人传染了x个人,根据题意得:
x+1+(x+1)x=36,
x=5或x=﹣7(舍去).
每轮传染中平均一个人传染了5个人;
(2)根据题意得:
5×
36=180(个),
第三轮将又有180人被传染.
本题考查一元二次方程的应用,解题的关键是能根据题意找到等量关系并列方程.
8.已知两条线段长分别是一元二次方程的两根,
(1)解方程求两条线段的长。
(2)若把较长的线段剪成两段,使其与另一段围成等腰三角形,求等腰三角形的面积。
(3)若把较长的线段剪成两段,使其与另一段围成直角三角形,求直角三角形的面积。
(1)2和6;
(2);
(3)
(1)求解该一元二次方程即可;
(2)先确定等腰三角形的边,然后求面积即可;
(3)设分为两段分别是和,然后用勾股定理求出x,最后求面积即可.
(1)由题意得,
即:
或,
∴两条线段长为2和6;
(2)由题意,可知分两段为分别为3、3,则等腰三角形三边长为2,3,3,
由勾股定理得:
该等腰三角形底边上的高为:
∴此等腰三角形面积为=.
(3)设分为及两段
∴,
∴面积为.
本题考查了一元二次方程、等腰三角形、直角三角形等知识,考查知识点较多,灵活应用所学知识是解答本题的关键.
9.用适当的方法解下列一元二次方程:
(1)2x2+4x-1=0;
(2)(y+2)2-(3y-1)2=0.
(1)x1=-1+,x2=-1-;
(2)y1=-,y2=.
(1)根据方程的特点,利用公式法解一元二次方程即可;
(2)根据因式分解法,利用平方差公式因式分解,然后再根据乘积为0的方程的解法求解即可.
(1)∵a=2,b=4,c=-1
∴△=b2-4ac=16+8=24>0
∴x==
∴x1=-1+,x2=-1-
(2)(y+2)2-(3y-1)2=0
[(y+2)+(3y-1)][(y+2)-(3y-1)]=0
即4y+1=0或-2y+3=0
解得y1=-,y2=.
10.已知关于x的一元二次方程x2-(2k+1)x+k2+2k=0有两个实数根x1,x2.
(1)求实数k的取值范围;
(2)是否存在实数k,使得x1·
x2-x12-x22≥0成立?
若存在,请求出k的值;
若不存在,请说明理由.
(1)当k≤时,原方程有两个实数根
(2)不存在实数k,使得x1·
x2-x12-x22≥0成立
(1)根据一元二次方程根的判别式列出不等式,解之即可;
(2)本题利用韦达定理解决.
(1),解得
(2)由,
由根与系数的关系可得:
代入得:
,
化简得:
得.
由于的取值范围为,
故不存在k使.
11.已知关于x的一元二次方程.
若此方程有两个实数根,求m的最小整数值;
若此方程的两个实数根为,,且满足,求m的值.
(1)的最小整数值为;
(2)
(1)根据方程有两个实数根得,列式即可求解,
(2)利用韦达定理即可解题.
(1)解:
方程有两个实数根
,即
的最小整数值为
(2)由根与系数的关系得:
由得:
,
本题考查了根的判别式和韦达定理,中等难度,熟悉韦达定理是解题关键.
12.某水果店销售某品牌苹果,该苹果每箱的进价是40元,若每箱售价60元,每星期可卖180箱.为了促销,该水果店决定降价销售.市场调查反映:
若售价每降价1元,每星期可多卖10箱.设该苹果每箱售价x元(40≤x≤60),每星期的销售量为y箱.
(1)求y与x之间的函数关系式;
(2)当每箱售价为多少元时,每星期的销售利润达到3570元?
(3)当每箱售价为多少元时,每星期的销售利润最大,最大利润多少元?
(1)y=-10x+780;
(2)57;
(3)当售价为59元时,利润最大,为3610元
(1)根据售价每降价1元,每星期可多卖10箱,设售价x元,则多销售的数量为60-x,
(2)解一元二次方程即可求解,
(3)表示出最大利润将函数变成顶点式即可求解.
(1)∵售价每降价1元,每星期可多卖10箱,
设该苹果每箱售价x元(40≤x≤60),则y=180+10(60-x)=-10x+780,(40≤x≤60),
(2)依题意得:
(x-40)(-10x+780)=3570,
x=57,
∴当每箱售价为57元时,每星期的销售利润达到3570元.
(3)设每星期的利润为w,
W=(x-40)(-10x+780)=-10(x-59)2+3610,
∵-100,二次函数向下,函数有最大值,
当x=59时,利润最大,为3610元.
本题考查了二次函数的实际应用,中等难度,熟悉二次函数的实际应用是解题关键.
13.已知关于x的方程(a﹣1)x2+2x+a﹣1=0.
(1)若该方程有一根为2,求a的值及方程的另一根;
(2)当a为何值时,方程的根仅有唯一的值?
求出此时a的值及方程的根.
(1)a=,方程的另一根为;
(2)答案见解析.
(1)把x=2代入方程,求出a的值,再把a代入原方程,进一步解方程即可;
(2)分两种情况探讨:
①当a=1时,为一元一次方程;
②当a≠1时,利用b2-4ac=0求出a的值,再代入解方程即可.
(1)将x=2代入方程,得,解得:
a=.
将a=代入原方