中考数学压轴题专题复习一元二次方程组的综合附答案Word下载.docx

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（1）仿照材料内容，令+＝t代入原式计算．

（2）观察式子找相同部分进行换元，令a2﹣5a＝t代入原式进行因式分解，最后要记得把t换为a．

（3）观察式子找相同部分进行换元，令x2+4x＝t代入原方程，即得到关于t的一元二次方程，得到t的两个解后要代回去求出4个x的解．

【详解】

（1）令+＝t，则：

原式＝（1﹣t）（t+）﹣（1﹣t﹣）t＝t+﹣t2﹣﹣t+t2+＝

（2）令a2﹣5a＝t，则：

原式＝（t+3）（t+7）+4＝t2+7t+3t+21+4＝t2+10t+25＝（t+5）2＝（a2﹣5a+5）2

（3）令x2+4x＝t，则原方程转化为：

（t+1）（t+3）＝3

t2+4t+3＝3

t（t+4）＝0

∴t1＝0，t2＝﹣4

当x2+4x＝0时，

x（x+4）＝0

解得：

x1＝0，x2＝﹣4

当x2+4x＝﹣4时，

x2+4x+4＝0

（x+2）2＝0

x3＝x4＝﹣2

【点睛】

本题考查用换元法进行整式的运算，因式分解，解一元二次方程．利用换元法一般可达到降次效果，从而简便运算．

2．已知关于x的方程①的两个实数根的倒数和等于3，且关于x的方程②有实数根，又k为正整数，求代数式的值．

【答案】0.

由于关于x的方程x2+3x+a=0的两个实数根的倒数和等于3，利用根与系数的关系可以得到关于a的方程求出a，又由于关于x的方程（k-1）x2+3x-2a=0有实数根，分两种情况讨论，该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程，又k为正整数，利用判别式可以求出k，最后代入所求代数式计算即可求解．

解：

设方程①的两个实数根分别为x1、x2

则，

由条件，知=3，

即，且，

故a＝－1，

则方程②为（k-1）x2+3x+2=0，

Ⅰ.当k-1=0时，k=1,x=，则.

Ⅱ.当k-1≠0时，=9-8（k-1）=17-6-8k≥0，则，

又k是正整数，且k≠1，则k=2，但使无意义.

综上，代数式的值为0

本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，在解方程时一定要注意所求k的值与方程判别式的关系．要注意该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程，

3．某中心城市有一楼盘，开发商准备以每平方米7000元价格出售，由于国家出台了有关调控房地产的政策，开发商经过两次下调销售价格后，决定以每平方米5670元的价格销售．

（1）求平均每次下调的百分率；

（2）房产销售经理向开发商建议：

先公布下调5%，再下调15%，这样更有吸引力，请问房产销售经理的方案对购房者是否更优惠？

为什么？

（1）平均每次下调的百分率为10%．

（2）房产销售经理的方案对购房者更优惠．

（1）根据利用一元二次方程解决增长率问题的要求，设出未知数，然后列方程求解即可；

（2）分别求出两种方式的增长率，然后比较即可.

（1）设平均每次下调x%，则

7000（1﹣x）2=5670，解得：

x1=10%，x2=190%（不合题意，舍去）；

答：

平均每次下调的百分率为10%．

（2）（1﹣5%）×

（1﹣15%）=95%×

85%=80.75%，（1﹣x）2=（1﹣10%）2=81%．

∵80.75%＜81%，∴房产销售经理的方案对购房者更优惠．

4．∵1.7×

35=59.5，1.7×

80=136＜151

∴这家酒店四月份用水量不超过m吨（或水费是按y=1.7x来计算的），

五月份用水量超过m吨（或水费是按来计算的）

则有151=1.7×

80+（80－m）×

即m2－80m+1500=0

解得m1=30，m2=50．

又∵四月份用水量为35吨，m1=30＜35，∴m1=30舍去．

∴m=50

5．从图象来看，该函数是一个分段函数，当0≤x≤m时，是正比例函数，当x＞m时是一次函数．

【小题1】只需把x代入函数表达式，计算出y的值，若与表格中的水费相等，则知收取方案．

6．解下列方程：

（1）2x2－4x－1＝0（配方法）；

（2）（x＋1）2＝6x＋6.

（1）x1＝1＋，x2＝1－

（2）x1＝－1，x2＝5.

试题分析：

（1）根据配方法解一元二次方程的方法，先移项，再加减一次项系数一半的平方，完成配方，再根据直接开平方法解方程即可；

（2）根据因式分解法，先移项，再提公因式即可把方程化为ab=0的形式，然后求解即可.

试题解析：

（1）由题可得，x2－2x＝，∴x2－2x＋1＝.

∴（x－1）2＝.

∴x－1＝±

＝±

.

∴x1＝1＋，x2＝1－.

（2）由题可得，（x＋1）2－6（x＋1）＝0，∴（x＋1）（x＋1－6）＝0.

∴x＋1＝0或x＋1－6＝0.

∴x1＝－1，x2＝5.

7．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．

（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？

（2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？

（1）5；

（2）180

（1）设平均一人传染了x人，根据有一人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感，列方程求解即可；

（2）根据每轮传染中平均一个人传染的人数和经过两轮传染后的人数，列出算式求解即可．

（1）设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意得：

x+1+（x+1）x＝36，

x＝5或x＝﹣7（舍去）．

每轮传染中平均一个人传染了5个人；

（2）根据题意得：

5×

36＝180（个），

第三轮将又有180人被传染．

本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是能根据题意找到等量关系并列方程.

8．已知两条线段长分别是一元二次方程的两根，

（1）解方程求两条线段的长。

（2）若把较长的线段剪成两段，使其与另一段围成等腰三角形，求等腰三角形的面积。

（3）若把较长的线段剪成两段，使其与另一段围成直角三角形，求直角三角形的面积。

（1）2和6；

（2）；

（3）

（1）求解该一元二次方程即可;

（2）先确定等腰三角形的边，然后求面积即可；

（3）设分为两段分别是和，然后用勾股定理求出x，最后求面积即可.

（1）由题意得，

即：

或，

∴两条线段长为2和6；

（2）由题意，可知分两段为分别为3、3，则等腰三角形三边长为2，3，3，

由勾股定理得：

该等腰三角形底边上的高为：

∴此等腰三角形面积为=．

（3）设分为及两段

∴，

∴面积为.

本题考查了一元二次方程、等腰三角形、直角三角形等知识，考查知识点较多，灵活应用所学知识是解答本题的关键.

9．用适当的方法解下列一元二次方程：

（1）2x2＋4x－1＝0；

（2）（y＋2）2－（3y－1）2＝0.

（1）x1＝－1＋，x2＝－1－；

（2）y1＝－，y2＝.

（1）根据方程的特点，利用公式法解一元二次方程即可；

（2）根据因式分解法，利用平方差公式因式分解，然后再根据乘积为0的方程的解法求解即可.

（1）∵a=2，b=4，c=-1

∴△=b2-4ac=16+8=24＞0

∴x==

∴x1＝－1＋，x2＝－1－

（2）（y＋2）2－（3y－1）2＝0

[（y+2）+（3y-1）][（y+2）-（3y-1）]=0

即4y+1=0或-2y+3=0

解得y1＝－，y2＝.

10．已知关于x的一元二次方程x2－（2k＋1）x＋k2＋2k＝0有两个实数根x1，x2．

（1）求实数k的取值范围；

（2）是否存在实数k，使得x1·

x2－x12－x22≥0成立？

若存在，请求出k的值；

若不存在，请说明理由．

（1）当k≤时，原方程有两个实数根

（2）不存在实数k，使得x1·

x2－x12－x22≥0成立

（1）根据一元二次方程根的判别式列出不等式，解之即可；

（2）本题利用韦达定理解决.

（1），解得

（2）由，

由根与系数的关系可得：

代入得：

，

化简得：

得.

由于的取值范围为，

故不存在k使．

11．已知关于x的一元二次方程．

若此方程有两个实数根，求m的最小整数值；

若此方程的两个实数根为，，且满足，求m的值．

（1）的最小整数值为；

（2）

（1）根据方程有两个实数根得,列式即可求解,

（2）利用韦达定理即可解题.

（1）解：

方程有两个实数根

，即

的最小整数值为

（2）由根与系数的关系得：

由得：

，

本题考查了根的判别式和韦达定理,中等难度,熟悉韦达定理是解题关键.

12．某水果店销售某品牌苹果，该苹果每箱的进价是40元，若每箱售价60元，每星期可卖180箱．为了促销，该水果店决定降价销售．市场调查反映:

若售价每降价1元，每星期可多卖10箱．设该苹果每箱售价x元（40≤x≤60），每星期的销售量为y箱．

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）当每箱售价为多少元时，每星期的销售利润达到3570元？

（3）当每箱售价为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润多少元?

（1）y=-10x+780；

（2）57；

（3）当售价为59元时，利润最大，为3610元

（1）根据售价每降价1元，每星期可多卖10箱,设售价x元,则多销售的数量为60-x,

（2）解一元二次方程即可求解,

（3）表示出最大利润将函数变成顶点式即可求解.

（1）∵售价每降价1元，每星期可多卖10箱,

设该苹果每箱售价x元（40≤x≤60），则y=180+10（60-x）=-10x+780,（40≤x≤60）,

（2）依题意得：

（x-40）（-10x+780）=3570,

x=57,

∴当每箱售价为57元时，每星期的销售利润达到3570元.

（3）设每星期的利润为w，

W=（x-40）（-10x+780）=-10（x-59）2+3610,

∵-100,二次函数向下,函数有最大值,

当x=59时,利润最大，为3610元.

本题考查了二次函数的实际应用,中等难度,熟悉二次函数的实际应用是解题关键.

13．已知关于x的方程（a﹣1）x2+2x+a﹣1＝0．

（1）若该方程有一根为2，求a的值及方程的另一根；

（2）当a为何值时，方程的根仅有唯一的值？

求出此时a的值及方程的根．

（1）a=，方程的另一根为；

（2）答案见解析.

（1）把x=2代入方程，求出a的值，再把a代入原方程，进一步解方程即可；

（2）分两种情况探讨：

①当a=1时，为一元一次方程；

②当a≠1时，利用b2－4ac＝0求出a的值，再代入解方程即可．

（1）将x＝2代入方程，得，解得：

a＝．

将a＝代入原方