《挑战中考数学压轴题精讲解读篇第11版》第二部分31Word文档格式.docx
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作BE⊥x轴于E,那么=1.
设B(x,x2-2x-3),于是=1.
请注意,这个分式的分子因式分解后,=1.这个分式能不能约分,为什么?
因为x=-1的几何意义是点A,由于点B与点A不重合,所以x≠-1,因此约分以后就是x-3=1.
这样的题目一般都是这样,已知一个交点求另一个交点,经过约分,直接化为一元一次方程,很简便.
例1 2016年北京市中考第29题
在平面直角坐标系中,点P的坐标为(x1,y1),点Q的坐标为(x2,y2),且x1≠x2,y1≠y2,若P、Q为某个矩形的两个顶点,且该矩形的边均与某条坐标轴垂直,则称该矩形为点P、Q的“相关矩形”.图为点P、Q的“相关矩形”的示意图.
(1)已知点A的坐标为(1,0),
①若点B的坐标为(3,1),求点A、B的“相关矩形”面积;
②点C在直线x=3上,若点A、C的“相关矩形”为正方形,求直线AC的表达式;
(2)☉O的半径为,点M的坐标为(m,3),若在☉O上存在一点N,使得点M、N的“相关矩形”为正方形,求m的取值范围.
请打开几何画板文件名“16北京29”,拖动点C在直线x=3运动,可以体验到,以AC为对角线的正方形有两个.点击屏幕左下方的按钮“第
(2)题”,拖动点M运动,可以体验到,经过点M与坐标轴夹角为45°
的直线与☉O相交或相切于点N时,存在以MN为对角线的正方形.
1.“相关矩形”的形状、大小是由对角线的两个端点确定的.
2.“相关矩形”是正方形,那么对角线与坐标轴的夹角为45°
.
例2 2016年大连市中考第26题
如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+与y轴相交于点A,点B与点O关于点A对称.
(1)填空:
点B的坐标是 ;
(2)过点B的直线y=kx+b(其中k<
0)与x轴相交于点C,过点C作直线l平行于y轴,P是直线l上一点,且PB=PC.求线段PB的长(用含k的式子表示),并判断点P是否在抛物线上,说明理由;
(3)在
(2)的条件下,若点C关于直线BP的对称点C'
恰好落在该抛物线的对称轴上,求此时点P的坐标.
请打开几何画板文件名“16大连26”,拖动点C在x轴的正半轴上运动,可以体验到,点P始终在抛物线上,当点C'
落在抛物线的对称轴上时,四边形C'
BCP是菱形,而且△BCP是等边三角形.
1.用含k的式子表示点C的坐标,再设点P的纵坐标为m,根据PB=PC列关于k、m的方程,得到m关于k的关系式.
2.第(3)题:
先说理四边形C'
BCP是菱形.
例3 2016年福州市中考第27题
已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过原点,顶点为A(h,k)(h≠0).
(1)当h=1,k=2时,求抛物线的解析式;
(2)若抛物线y=tx2(t≠0)也经过A点,求a与t之间的关系式;
(3)当点A在抛物线y=x2-x上,且-2≤h<
1时,求a的取值范围.
请打开几何画板文件名“16福州27”,拖动点A在象限内运动,可以体验到,两条抛物线的形状相同,开口方向相反.点击屏幕左下方的按钮“第(3)题”,拖动点A在蓝色抛物线y=x2-x的自变量-2和1之间运动,观察绿色抛物线y=ax2+bx+c,可以体验到,当点A在自变量-2和0之间运动时,绿色抛物线的开口向下;
当点A在自变量0和1之间运动时,绿色抛物线的开口向上.
1.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点A(h,k),可以写出顶点式.
2.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过原点,可以用h、k表示a.
3.将点A(h,k)代入y=tx2,结合y=a(x-h)2+k,消去k,就得到a、t的关系式.
4.第(3)题:
先用h表示a,再讨论a随h变化的取值范围.
例4 2016年河北省中考第26题
如图,抛物线L:
y=-(x-t)(x-t+4)(常数t>
0)与x轴从左到右的交点为B、A,过线段OA的中点M作MP⊥x轴,交双曲线y=(k>
0,x>
0)于点P,且OA·
MP=12.
(1)求k的值;
(2)当t=1时,求AB的长,并求直线MP与L对称轴之间的距离;
(3)把L在直线MP左侧部分的图象(含与直线MP的交点)记为G,用t表示图象G最高点的坐标;
(4)设L与双曲线有个交点的横坐标为x0,且满足4≤x0≤6,通过L位置随t变化的过程,直接写出t的取值范围.
请打开几何画板文件名“16河北26”,拖动点A在x轴上运动,可以体验到,抛物线与双曲线的交点的横坐标x0在4≤x0≤6时,交点可能在抛物线的对称轴的右侧,也可能在左侧,因此对应的点A的运动区间有两个.
1.由抛物线的交点式可以写出A、B两点的坐标,AB=4为定值.
按照对称轴与直线MP的位置关系,分两种情况讨论最高点.
3.第(4)题:
分三步,先根据双曲线的解析式求x=4和x=6时的两个交点坐标,再代入到抛物线的解析式解关于t的方程,最后讨论t的范围.
例5 2016年江西省中考第23题
抛物线的解析式为y=ax2,过点B1(1,0)作x轴的垂线,交抛物线于点A1(1,2);
过点B2作x轴的垂线,交抛物线于点A2;
…;
过点Bn(n为正整数)作x轴的垂线,交抛物线于点An.连结AnBn,Bn,得Rt△AnBn.
(1)求a的值;
(2)直接写出线段AnBn,BnBn+1的长(用含n的式子表示);
(3)在系列Rt△AnBnBn+1中,探究下列问题:
①当n为何值时,Rt△AnBnBn+1是等腰直角三角形?
②设1≤k<
m≤n(k、m均为正整数),问:
是否存在Rt△AkBkBk+1与Rt△AmBmBm+1相似?
若存在,求出其相似比;
若不存在,请说明理由.
请打开几何画板文件名“16江西23”,可以体验到,从最大的△A1B1B2开始,这些三角形“衰减”地很快,第3个△A3B3B4看上去是等腰直角三角形.还可以感受到,△A3B3B4右侧的三角形是“挺立的”,左侧的三角形是“躺下的”,所有三角形的斜边没有平行的.
1.第
(2)题如果错了,第(3)题就没有办法做对了.
2.第(3)题的等腰直角三角形根据直角边相等,列关于n的方程,没有什么障碍.
3.第(3)题中,讨论两个直角三角形相似分三步.第一步说理斜边不平行,因此不存在同位角相等的情形;
第二步列关于k、m的方程,得到k+m=6;
第三步分两种情况计算相似比,(k,m)存在(1,5)和(2,4)两种情况.
例6 2016年吉林省中考第25题
如图1,在等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°
AC=8cm,AD⊥BC于D.点P从点A出发,沿A→C方向以cm/s的速度运动到点C停止.在运动过程中,过点P作PQ∥AB交BC于点Q,以线段PQ为边作等腰直角三角形PQM,且∠PQM=90°
(点M、C位于PQ异侧).设点P的运动时间为x(s),△PQM与△ADC重叠部分的面积为y(cm2).
(1)当点M落在AB上时,x= ;
(2)当点M落在AD上时,x= ;
(3)求y关于x的函数解析式,并写出自变量x的取值范围.
图1备用图
请打开几何画板文件名“16吉林25”,拖动点P从A向C运动,可以体验到,重叠部分的形状依次是等腰三角形、四边形和等腰三角形.
1.由点P引发的全部动态线段的长,都可以用x表示出来.
2.第
(1)、
(2)题的结果,就是第(3)题分段函数的临界值.
例7 2016年南京市中考第27题
如图,把函数y=x的图象上各点的纵坐标变为原来的2倍,横坐标不变,得到函数y=2x的图象;
也可以把函数y=x的图象上各点的横坐标变为原来的倍,纵坐标不变,得到函数y=2x的图象.
类似地,我们可以认识其他函数.
(1)把函数y=的图象上各点的纵坐标变为原来的 倍,横坐标不变,得到函数y=的图象;
也可以把函数y=的图象上各点的横坐标变为原来的 倍,纵坐标不变,得到函数y=的图象.
(2)已知下列变化:
①向下平移2个单位长度;
②向右平移1个单位长度;
③向右平移个单位长度;
④纵坐标变为原来的4倍,横坐标不变;
⑤横坐标变为原来的倍,纵坐标不变;
⑥横坐标变为原来的2倍,纵坐标不变.
(i)函数y=x2的图象上所有的点经过④→②→①,得到函数 的图象;
(ii)为了得到函数y=-(x-1)2-2的图象,可以把函数y=-x2的图象上所有的点( ).
A.①→⑤→③B.①→⑥→③
C.①→②→⑥D.①→③→⑥
(3)函数y=的图象可以经过怎样的变化得到函数y=-的图象?
(写出一种即可)
请打开几何画板文件名“16南京27”,依次拖动表示实数m、k、n的点运动,可以体验到,m向左平移2个单位,k由1变到1.5,n向下平移1个单位,函数y=的图象就与函数y=-的图象重合.
1.第
(1)题有陷阱,其实函数y=和x=的变换是相同的.
2.第
(2)题中,上下平移不影响横坐标或纵坐标缩放的.
3.第(3)题中,要先对解析式进行变形,分离出系数k.
例8 2016年陕西省中考第24题
如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,抛物线y=ax2+bx+5经过点M(1,3)和点N(3,5).
(1)试判断该抛物线与x轴的交点情况;
(2)平移这条抛物线,使平移后的抛物线经过点A(-2,0),且与y轴交于点B,同时满足以A、O、B为顶点的三角形是等腰直角三角形,请你写出平移过程,并说明理由.
请打开几何画板文件名“16陕西24”,可以体验到,平移前的抛物线与x轴没有交点,等腰直角三角形AOB存在两种情况.
1.待定两个系数,已知两个点的坐标,列关于a、b的方程组.
2.等腰直角三角形AOB存在两种情况.
3.抛物线平移的过程中,二次项系数不变.
例9 2016年天津市中考第25题
已知抛物线C:
y=x2-2x+1的顶点为P,与y轴的交点为Q,点F.
(1)求点P、Q的坐标;
(2)将抛物线C向上平移得到抛物线C'
点Q平移后的对应点为Q'
且FQ'
=OQ'
①求抛物线C'
的解析式;
②若点P关于直线Q'
F的对称点为K,射线FK与抛物线C'
相交于点A