带通抽样定理Word文件下载.docx
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由于正负频率分量对称性,我们仅考虑频带分量不会出现混叠条件。
在抽样信号频谱中,在频带两边,有着两个延拓频谱分量:
和。
为了避免混叠,延拓后频带分量应满足
(3.1-10)
(3.1-11)
综合式(3.1-10)和式(3.1-11)并整理得到
(3.1-12)
这里是大于等于零一个正数。
如果取零,则上述条件化为
(3.1-13)
这时实际上是把带通信号看作低通信号进行采样。
取得越大,则符合式(3.1-12)采样频率会越低。
但是有一个上限,因为,而为了避免混叠,延拓周期要大于两倍信号带宽,即。
因此
(3.1-14)
由于为不大于最大正整数,因此不大于最大正整数为,故有
综上所述,要无失真恢复原始信号,采样频率应满足
,(3.1-15)
图3-3带通采样信号频谱
带通抽样定理在频分多路信号编码、数字接收机中频采样数字化中有重要应用。
作为一个特例,我们考虑()情况,即上截止频率为带宽整数倍。
若按低通抽样定理,则要求抽样频率,抽样后信号各段频谱间不重叠,采用低通滤波器或带通滤波器均能无失真恢复原始信号。
根据带通抽样,若将抽样频率取为(值取为),抽样后信号各段频谱之间仍不会发生混叠。
采用带通滤波器仍可无失真地恢复原始信号,但此时抽样频率远低于低通抽样定理要求。
图3-4所示为,时抽样信号频谱。
图3-4,时抽样频谱
在带通抽样定理中,由于,带通抽样信号抽样频率在到之间变化,如图3-5所示。
图3-5带通抽样定理
由以上讨论可知,低通信号抽样和恢复比起带通信号来要简单。
通常,当带通信号带宽大于信号最低频率时,在抽样时把信号当作低通信号处理,使用低通抽样定理,而在不满足上述条件时则使用带通抽样定理。
模拟电话信号经限带后频率范围为300Hz~3400Hz,在抽样时按低通抽样定理,抽样频率至少为6800Hz。
由于在实际实现时滤波器均有一定宽度过渡带,抽样前限带滤波器不能对3400Hz以上频率分量完全予以抑制,在恢复信号时也不可能使用理想低通滤波器,所以对语音信号抽样频率取为8kHz。
这样,在抽样信号频谱之间便可形成一定间隔保护带,既防止频谱混叠,又放松了对低通滤波器要求。
这种以适当高于奈奎斯特频率进行抽样方法在实际应用中是很常见。
软件无线电所覆盖频率范围一般都比较宽,
只有宽频段才能具有广泛适应性,这样宽频段号频谱Xs(ω)可表示为:
+∞
Xs(ω)=1
Tsn=-∑∞X(ω-nωs)
用Nyquist低通采样[1]是不现实,而实际上软件无
线电中各种无线电信号瞬时信号带宽都比较
窄,这样采用带通采样将使采样速率大大降低。
本
文重点是通过对带通采样定理进行严格数学推导
和论证,利用一系列不等式组提出了带通采样理论
上能达到最小采样速率。
用matlab对定理进行仿真
fs=100000;
%抽样频率
N=2^16;
t=(0:
N-1)/fs;
%t时间
W=(0:
N-1)*fs/N;
%W频率
y=cos(1200*2*pi*t)+cos(1250*2*pi*t)+cos(1300*2*pi*t);
%y原始信号
chyang=zeros(1,N);
%抽样信号
T=round(fs/250);
%频率为250HZ
fori=1:
N
if(mod(i,T)==0)
chyang(i)=1;
end
end
y2=y.*chyang;
%y2为抽样后信号
hw=fft(y,N);
%快速傅里叶变换
HW=abs(hw);
%取幅度值
%频率值
figure
(1);
subplot(2,1,1);
plot(t(1:
8000),y(1:
8000));
gridon;
title('
滤波前信号y'
);
xlabel('
时间/s'
%原始信号
subplot(2,1,2);
plot(W(1:
N/64),HW(1:
N/64));
%查看信号频谱
滤波前信号频谱图'
频率/Hz'
ylabel('
振幅|H(e^jw)|'
hwch=fft(chyang,N);
HWCH=abs(hwch);
%频率值
figure
(2);
stem(t(1:
10000),chyang(1:
10000));
抽样信号chyang'
N/64),HWCH(1:
agridon;
抽样信号频谱图'
hw2=fft(y2,N);
HW2=abs(hw2);
figure(3);
8000),y2(1:
采样之后'
subplot(2,1,2);
N/64),HW2(1:
%设置带通滤波器
ws=[1130/fs*2,1370/fs*2];
%ws1ws2阻带截止频率
wp=[1180/fs*2,1320/fs*2];
%wp1wp2通带截止频率
[n,wn]=buttord(wp,ws,3,15);
%求滤波器阶数n及截止频率wn
[b,a]=butter(n,wn);
%求滤波器H(s)表达式分子分母系数b,a
y3=filter(b,a,y2);
%y2为y经过滤波器之后函数
hw3=fft(y3,N);
HW3=abs(hw3);
figure(4);
8000),y3(1:
%axis([0,0.1,-0.02,0.02]);
滤波后信号'
N/64),HW3(1:
滤波后信号频谱图'
信号还原完成