初中数学突破中考压轴题几何模型之正方形的半角模型教案有答案Word格式.docx
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由题意可知∠ADG=GDM,
则△ADG≌△MDG.
∴DM=DA=2.AC=GM
又易知:
GM=BM.
而BM=BD-DM=2-2=2(-1),
∴AG=BM=2(-1).
例2.如图,为正方形内一点,,并且点到边的距离也等于,求正方形的面积?
过作于交于.
设,则,.
由.
可得:
.
故.
.
例3.如图,、分别为正方形的边、上的一点,,垂足为,,则有,为什么?
要说明EF=BE+DF,只需说明BE=EM,DF=FM即可,而连结AE、AF.只要能说明△ABE≌△AME,△ADF≌△AMF即可.
理由:
连结AE、AF.
由AB=AM,AB⊥BC,AM⊥EF,AE公用,
∴△ABE≌△AME.
∴BE=ME.
同理可得,△ADF≌△AMF.
∴DF=MF.
∴EF=ME+MF=BE+DF.
例4.如下图、分别在正方形的边、上,且,试说明。
将△ADF旋转到△ABC,则△ADF≌△ABG
∴AF=AG,∠ADF=∠BAG,DF=BG
∵∠EAF=45°
且四边形是正方形,
∴∠ADF﹢∠BAE=45°
∴∠GAB﹢∠BAE=45°
即∠GAE=45°
∴△AEF≌△AEG(SAS)
∴EF=EG=EB﹢BG=EB﹢DF
例5.如图,在正方形的、边上取、两点,使,于.求证:
欲证AG=AB,就图形直观来看,
应证Rt△ABE与Rt△AGE全等,但条件不够.
∠EAF=45°
怎么用呢?
显然∠1+∠2=45°
,若把它们拼在一起,问题就解决了.
【证明】:
把△AFD绕A点旋转90°
至△AHB.
∵∠EAF=45°
,∴∠1+∠2=45°
.
∵∠2=∠3,∴∠1+∠3=45°
又由旋转所得AH=AF,AE=AE.
∴△AEF≌△AEH.
例6.
(1)如图1,在正方形中,点,分别在边,
上,,交于点,.
求证:
.
(2)如图2,在正方形中,点,,,分别在边,
,上,,交于点,,.
求的长.
1.已知点,,,分别在矩形的边,,,上,
交于点,,.直接写出下列两题的答案:
①如图3,矩形由个全等的正方形组成,求的长;
②如图4,矩形由个全等的正方形组成,求的长(用的代数式表示).
【解析】
(1)证明:
如图1,∵四边形ABCD为正方形,
∴AB=BC,∠ABC=∠BCD=90°
,
∴∠EAB+∠AEB=90°
∵∠EOB=∠AOF=90°
∴∠FBC+∠AEB=90°
,∴∠EAB=∠FBC,
∴△ABE≌△BCF,∴BE=CF.
(2)解:
如图2,过点A作AM//GH交BC于M,
过点B作BN//EF交CD于N,AM与BN交于点O/,
则四边形AMHG和四边形BNFE均为平行四边形,
∴EF=BN,GH=AM,
∵∠FOH=90°
AM//GH,EF//BN,∴∠NO/A=90°
故由
(1)得,△ABM≌△BCN,∴AM=BN,
∴GH=EF=4.
(3)①8.②4n.
【双基训练】
1.如图6,点在线段上,四边形与都是正方形,其边长分别为和,则的面积为________.
(6)(7)
2.你可以依次剪6张正方形纸片,拼成如图7所示图形.如果你所拼得的图形中正方形①的面积为1,且正方形⑥与正方形③的面积相等,那么正方形⑤的面积为________.
3.如图9,已知正方形的面积为35平方厘米,、分别为边、上的点.、相交于,并且的面积为14平方厘米,的面积为5平方厘米,那么四边形的面积是________.
4.如图,、、三点在同一条直线上,。
分别以
、为边作正方形和正方形,连接,
。
求证:
5.如图,是正方形.是上的一点,于,于.
(1)求证:
;
(2)求证:
【纵向应用】
6.在正方形中,.
7.在正方形中,.,
8.如图13,点为正方形对角线上一点,,
9.已知:
点、分别正方形中和的中点,连接和相交于点,
于点.
一、求证:
;
二、如果,求的长;
三、求证:
【练习题答案】
1.6cm2.
2.36.
3.4cm2(面积法).
4.证明:
FN=EC。
证明:
在正方形ABEF和正方形BCMN中,
AB=BE=EF,BC=BN,∠FEN=∠EBC=90°
∵AB=2BC
∴EN=BC
∴△FEN≌△EBC
∴FN=EC。
5.略
6.提示:
注意到基本图形中的AE=AF.
1.两次应用内角平分线定理和CE=CF可证
2.过点O作OG‖DE和CO=CG,CF=CE可证.
3,过点O作OH‖BE,OF=OH=
7.提示:
一条线段的一半或2倍这两者的位置关系有哪两种
8.提示:
延长AE交GF于点M,DC,使CH=DG,连接HF,
证四边形对角互补,法2:
延长FE,AE证全等三角形
9.
(1)略
(2)(3)作CM⊥DG,证DM=AG=0.5DG
(1)定义:
有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
(2)特征:
边:
两组对边分别平行;
四条边都相等;
内角:
四个角都是90°
对角线:
对角线互相垂直;
对角线相等且互相平分;
每条对角线平分一组对角。
(3)主要识别方法:
1:
对角线相等的菱形是正方形
2:
对角线互相垂直的矩形是正方形
3:
四边相等,有一个角是直角的四边形是正方形
4:
一组邻边相等的平行四边形是正方形
5:
一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形。
不管原四边形的形状怎样改变,中点四边形的形状始终是平行四边形。
正方形的中点四边形是正方形。
例1.已知:
如图,是正方形内点,.
是正三角形.
如下图做△DGC使与△ADP全等,
可得△PDG为等边△,从而可得
△DGC≌△APD≌△CGP,
得出PC=AD=DC,和∠DCG=∠PCG=150
所以∠DCP=300,从而得出△PBC是正三角形
例2.如图,分别以的和为一边,在的外侧作正方形和正方形,点是的中点.
点到边的距离等于的一半.
过E,C,F点分别作AB所在直线的高EG,CI,FH。
可得PQ=。
由△EGA≌△AIC,可得EG=AI,
由△BFH≌△CBI,可得FH=BI。
从而可得PQ==,
从而得证。
例4.如图,四边形为正方形,,,与相交于.
顺时针旋转△ADE,到△ABG,连接CG.
由于∠ABG=∠ADE=900+450=1350
从而可得B,G,D在一条直线上,可得△AGB≌△CGB。
推出AE=AG=AC=GC,可得△AGC为等边三角形。
∠AGB=300,既得∠EAC=300,从而可得∠AEC=750。
又∠EFC=∠DFA=450+300=750.
可证:
CE=CF。
例6.设是正方形一边上的任一点,,平分.
作FG⊥CD,FE⊥BE,可以得出GFEC为正方形。
令AB=Y,BP=X,CE=Z,可得PC=Y-X。
tan∠BAP=tan∠EPF==,可得YZ=XY-X2+XZ,
即Z(Y-X)=X(Y-X),既得X=Z,得出△ABP≌△PEF,
得到PA=PF,得证。
D
例7.已知:
是边长为1的正方形内的一点,求的最小值.
顺时针旋转△BPC600,可得△PBE为等边三角形。
既得PA+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要AP,PE,EF在一条直线上,
即如下图:
可得最小PA+PB+PC=AF。
既得AF===
==
=。
例8.为正方形内的一点,并且,,,求正方形的边长.
【证明】顺时针旋转△ABP900,可得如下图:
既得正方形边长L==。
1.如图,四边形是正方形,对角线、相交于,四边形是菱形,若正方形的边长为6,则菱形的面积为________.
2.如图,是正方形,为上一点,四边形恰是一个菱形,则=________.
3.如图,四边形是边长为的正方形,点,分别是边,的中点,,且交正方形外角的平分线于点.
(1)证明:
(2)证明:
(3)求的面积.
【横向拓展】
4.如图,四边形是正方形,是等边三角形,为对角线(不含点)上任意一点,将绕点逆时针旋转得到,连接、、.
⑴求证:
⑵①当点在何处时,的值最小;
②当点在何处时,的值最小,并说明理由;
⑶当的最小值为时,求正方形的边长.
1.36
2.【解析】连结BD交AC于点O,作EM⊥AC于点M.
设正方形边长为a,则AC=BD=AE=a
又∵AC∥BF,BO⊥AC,EM⊥AC,
∴BO=EM=BD=a.
在Rt△AEM中,AE=a,EM=a.
∴∠CAE=30°
则∠EAB=15°
3.
(1)证明:
∵∠AEF=90o,
∴∠FEC+∠AEB=90o.在Rt△ABE中,∠AEB+∠BAE=90o,
∴∠BAE=∠FEC;
∵G,E分别是正方形ABCD的边AB,BC的中点,
∴AG=GB=BE=EC,且∠AGE=180o-45o=135o.
又∵CF是∠DCH的平分线,
∠ECF=90o+45o=135o.
在△AGE和△ECF中,
∴△AGE≌△ECF;
(3)解:
由△AGE≌△ECF,得AE=EF.
又∵∠AEF=90o,
∴△AEF是等腰直角三角形.
由AB=a,BE=a,知AE=a,
∴S△AEF=a2.
4.【解析】:
⑴∵△ABE是等边三角形,
∴BA=BE,∠ABE=60°
∵∠MBN=60°
,
∴∠MBN-∠ABN=∠ABE-∠ABN.
6、化学变化