数值分析课后部分习题答案.docx
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数值分析课后部分习题答案
习题一（P.14）
1.下列各近似值均有4个有效数字,,试指出它们的绝对误差和相对误差限.
解有4个有效数，即，
由有效数字与绝对误差的关系得绝对误差限为
，
由有效数字与相对误差的关系得相对误差限为
；
有4个有效数，即，
由有效数字与绝对误差的关系得绝对误差限为
，
由有效数字与相对误差的关系得相对误差限为
；
有4个有效数，即，
由有效数字与绝对误差的关系得绝对误差限为
，
由有效数字与相对误差的关系得相对误差限为
.
2．下列各近似值的绝对误差限都是,试指出它们各有几位有效数字.
解，即
由有效数字与绝对误差的关系得，
即，所以，；
，即
由有效数字与绝对误差的关系得，
即，所以，；
，即
由有效数字与绝对误差的关系得，
即，所以，.
4.设有近似数且都有3位有效数字，试计算，问有几位有效数字.
解方法一
因都有3位有效数字，即，，则
，，，
，
，
又，此时，，从而得.
方法一
因都有3位有效数字，即，，则
，，
，，
，
，
，
由有效数字与绝对误差的关系得.
5.序列有递推公式
若（三位有效数字），问计算的误差有多大，这个计算公式稳定吗？
解用表示的误差，由，得，由递推公式，知计算的误差为，因为初始误差在计算的过程中被逐渐的放大，这个计算公式不稳定.
习题2（P.84）
3.证明，对所有的
其中为Lagrange插值奇函数.
证明令，则，
从而，
又，
可得，从而.
4.求出在和3处函数的插值多项式.
解方法一因为给出的节点个数为4，而从而余项
，
于是
（n次插值多项式对次数小于或等于的多项式精确成立）.
方法二因为
而，
，
，
，
从而.
5.设且，求证
.
证明因，则，
从而，
由极值知识得
6.证明.
证明由差分的定义
或着
7.证明n阶差商有下列性质
（a）如果，则.
（b）如果，则
.
证明由差商的定义
（a）如果，则
.
（b）如果，则
8.设，求，.
解由P.35定理7的结论
（2），得
7阶差商（的最高次方项的系数），
8阶差商（8阶以上的差商均等与0）.
9.求一个次数不超过4次的多项式，使它满足：
，，.
解方法一先求满足插值条件，，的二次插值多项式
（L-插值基函数或待定系数法），
设
从而，
再由插值条件，，得
所以，
即.
方法二设，
则
由插值条件，，，得
解得，
从而.
方法三利用埃尔米特插值基函数方法构造.
10.下述函数在上是3次样条函数吗？
解因为，
而，，，
又是三次函数，所以函数在上是3次样条函数.
补设f（x）=x4，试利用L-余项定理写出以-1,0,1,2为插值节点的三次插值多项式.
解因为，
从而
习题3（P.159）
1．设为上具有权函数的正交多项式组且为首项系数为1的次的多项式，则于线性无关.
解方法一因为为上具有权函数的正交多项式组,则其Gram行列式不等于零，采用反证法：
若于线性相关，于是，存在不全为零使
上式两边与作内积得到
由于不全为零，说明以上的齐次方程组有非零解故系数矩阵的行列式为零，即与假设矛盾.
方法二因为为上具有权函数的正交多项式组,则其Gram行列式不等于零，由（P.95）定理2得于线性无关.
2．选择，使下述积分取得最小值
解
，
令，得.
令，得.
3．设试用求一次最佳平方逼近多项式.
解取权函数为（为了计算简便），则
,
，，
得法方程，解得，
所以的一次最佳平方逼近多项式.
8．什么常数C能使得以下表达式最小？
解，
令，得.
14．用最小二乘法求解矛盾方程组
.
解方法一方程组可变形为，
原问题转化成在已知三组离散数据
下求一次最小二乘逼近函数（x与y为一次函数的系数，t为自变量），取基,求解法方程
即，得到矛盾方程组的解为.
方法二方程组可变形为，
令
，
令，得，
解之得矛盾方程组的解为.
习题4
7.对列表函数
求
解一阶微商用两点公式（中点公式）,得
二阶微商用三点公式（中点公式）,首先用插值法求,
由得一次插值函数
从而,
于是,
8.导出数值数分公式
并给出余项级数展开的主部.
解由二阶微商的三点公式（中点公式）,得
从而
将分别在处展开,得
（1）－
（2）×3+（3）×3－（4）,得
即余项主部为
习题5（P.299）
3.设为对称矩阵，且，经高斯消去法一步后，A约化为，试证明亦是对称矩阵.
证明设，其中
，，，
则经高斯消去法一步后，A约化为，
因而，若为对称矩阵，则为对称矩阵，且，易知为对称矩阵.
13.设
（1）计算；
（2）计算，及.
解
（1）计算,
，其特征值为，
又为对称矩阵，则的特征值为，因此；
（2），，
所以，
为对称矩阵，其特征值为，
则的特征值为，因此
所以
15.设，求证
（1）；
（2）.
证明
（2）由
（1），得，则，
从而，
由算子范数的定义
，，
得.
17.设为非奇异阵，又设为上一向量范数，定义，求证：
是上向量的一种范数（称为向量的W一范数）.
证明①正定性，因为一向量，，下证，
若即，由向量范数的正定性得
，为非奇异阵，所以；
若，则，由向量范数的正定性得即.
②齐次性，任意实数有，由向量范数的齐次性，得
；
③三角不等式，任意实数，有
，
再由向量范数的三角不等式，得
.
习题6（P.347）
1.设有方程组（b），考查用Jacobi迭代法,G-S迭代法解此方程组的收敛性.
解系数矩阵分裂如下,
Jacobi迭代矩阵为，
J的特征方程为，
展开得，即，
所以用Jacobi迭代法解此方程组是收敛的.
G-S迭代矩阵为
，
G的特征方程为，
展开得，即或，
由迭代基本定理得用G-S迭代法解此方程组是不收敛的.
4.设有方程组，其中为对称正定阵，且有迭代公式
（），
试证明当时，上述迭代法收敛（其中的特征值满足）.
证明为对称正定阵，的特征值满足
，
且，则
又迭代公式可变形为
（），
从而迭代矩阵，
迭代矩阵的特征值为，且满足
，
即，
由迭代基本定理得该迭代法是收敛的.
5.设，其中为实数，试确定满足什么条件时，解的Jacobi迭代法收敛.
解系数矩阵分裂如下,
Jacobi迭代矩阵为，
J的特征方程为，
展开得，即或，
当且仅当，所以当时，解的Jacobi迭代法收敛.
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