初中数学建模类型浅析数学与统计学院.docx

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初中数学建模类型浅析数学与统计学院

初中数学建模类型浅析

　　　　　　　　　　　江苏省邳州市陆井中学

　　　　　　　　　　　　　　　　　　袁银宗

　　解决简单的实际问题是大纲规定的教学目的之一，数学建模就是将具有实际意义的应用题，通过数学抽象转化为数学模型，以求得问题的解决．选取若干范例，对其建模类型略陈管见，供参考．

　　一、建立几何模型诸如工程定位、边角余料加工、拱桥计算、皮带传动、修复破残轮片、跑道的设计与计算等应用问题，涉及一定图形的性质常需建立几何模型，转化为几何问题求解．

　　例1　如图1，足球赛中，一球员带球沿直线l逼近球门AB，他应在什么地方起脚射门最为有利？

　　分析　这是几何定位问题，根据常识，起脚射门的最佳位置P应该是直线l上对AB张角最大的点，此时进球的可能性最大，问题转化为在直线l上求点P．使∠APB最大．为此，过AB两点作圆与直线l相切，切点P即为所求．当直线l垂直线段AB时，易知P点离球门越近，起脚射门越有利．可见“临门一脚”的功夫理应包括选取起脚射门的最佳位置。

　　二、建立三角模型对测高、测距、航海，燕尾槽、拦水坝、人字架的计算等应用问题，则可建立三角模型，转化为解三角形问题．

例2海中有一小岛A，它周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°．如果渔船不改变航向，继续向东捕捞，有没有触礁的危险？

　　简析　根据题意作出如图2的示意图，继续航行能否触礁，就是比较AC与8的大小。

问题转化为解直角三角形，求AC的长。

　　AC

　　对这类问题中涉及到的测量专用名词的含义及测量仪器的使用，教学中应予以重视。

　　三、建立方程模型对现实生活中广泛存在的等量关系，如增长率、储蓄利息、浓度配比、工程施工及人员调配、行程等问题，则可列出方程转化为方程求解问题．

　　例3　某家俱的标价为132元，若降价为9折出售即优惠10％），仍可获利10％（相对于进资价）。

求该家俱的进货价。

　　简析　设该家惧的进货价为x元．则问题转化为求方程

　　例4　如图3

（1），在宽为20m，长为32m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路（两条纵向一条横向且横向与纵向互相垂直）．把耕地分成大小相等的六块作实验田，要使实验地面积为570m2，问道路应为多宽？

（1997年安徽省中考题）

　　简析　如图3

（2）．作整体思考，设道路的宽为xm，则问题转化为求方程（20－x）（32－2x）＝570的解，解得x1＝1，x2＝35（不合题意，舍去）。

　上述三种建模类型是初中教材中涉及最多的，也是学生感知最为丰富的现实原型。

　　四、建立直角坐标系模型当变量的变化具有（近似）函数关系，或物体运动的轨迹具有某种规律时，可通过建立平面直角坐标系，转化为函数图象问题求解。

　　例5　在如图4所示的自动喷灌设备中，喷出的水流呈现抛物线状．设水管AB高出地面1．5米．水流最高点C比喷头B高2米，且与B点连线夹角与水平面成45°，求水流落地点到A点的距离。

　　简析　因水流路线是抛物线，可建立如图4所示的平面直角坐标系，问题转化为求抛物线与x轴交点的横坐标．由已知条件可求得抛物

　　对于飞机投物、打炮射击、投篮、平抛等问题，其物体运动的轨迹都是抛物线，往往可转化为二次函数图象问题去解决．当变量之间具有线性关系时，则可转化为直线或平面区域问题去解决．五、建立目标函数模型对于现实生活中普遍存在的最优化问题，如造价用料最少，利润产出最大等，可透过实际背景、建立变量之间的目标函数，转化为函数极值问题．

　　例6　某商店如将进货价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售200件，现在采用提高售价，减少进货量的方法增加利润，已知这种商品每涨价0.5元，其销售量就减少10件，问应将售价定为多少时，才能使所赚利润最大，并求出最大利润．

　　简析　设每件售价提高x元，则每件得利润（2＋x）元，每天销售量变为（200－20x）件，所获利润y＝（2＋x）（200－20x）＝－20（x－4）2＋720．故当x＝4时，即售价定为14元时，每天可获最大利润720元．

　　函数关系是普遍存在的，所呈现的函数关系也并非都是二次的．因此建立目标函数模型的应用十分广泛。

　　六、建立不等式模型　在市场经营、生产决策和社会生活中，如估计生产数量，核定价格范围，盈亏平衡分析，投资决策等，则可挖掘实际问题所隐含的数量关系，转化为不等式（组）的求解或目标函数在闭区间的最值问题。

　　例7　某工厂生产的产品每件单价是80元，直接生产成本是60元，该工厂每月其它总开支是50000元．如果该工厂计划每月至少要获得200000元利润，假定生产的全部产品都能卖出，问每月的生产量应是多少？

　　简析　设每月生产x件产品，则总收入为80x，直接生产成本为60x，每月利润为80x－60x－50000＝20x－50000．问题转化为求不等式20x－50000≥200000的解．解得x≥12500（件）。

透视数学中考中应用建模题

山东省东营市广饶县稻庄镇实验中学　张良鹏

著名数学家华罗庚先生曾这样论述数学的应用：

“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用到数学。

”伴随着素质教育的实施，联系实际，贴近生活的数学中考题已经走入各省市的中考试卷。

它引导学生从已有的知识和生活经验出发，使其在解决问题的过程中体会数学与自然以及人类社会的密切联系，了解数学的价值，增进对数学的理解和应用数学的信心。

这类问题在解决时，首先要在阅读材料、理解题意的基础上，把实际问题抽象为数学问题，即将实际问题经过抽象概括，利用数学知识建立相应的数学模型。

再利用数学知识对数学模型进行分析、研究，从而得出结论。

然后再把解得的数学结论返回到实际问题中。

下面分类予以说明：

一、建立数式模型

数与式是最基本的数学语言，由于它能有效、简捷、准确地揭示由低级到高级、由具体到抽象、有特殊到一般的数学思维过程，富有通用性和启发性，数与式模型通常成为学生抽象和概括数学问题的重要方法。

例1　（2004年安徽芜湖市中考题）小王上周五在股市以收盘价（收市时的价格）每股25元买进某公司股票1000股，在接下来的一周交易日内，小王记下该股票每日收盘价格相比前一天的涨跌情况：

（单位：

元）

星期

一

二

三

四

五

每股涨跌（元）

＋2

－0.5

＋1.5

－1.8

＋0.8

根据上表回答问题：

①星期二收盘时，该股票每股多少元？

②周内该股票收盘时的最高价，最低价分别是多少？

③已知买入股票与卖出股票均需支付成交金额的千分之五的交易费。

若小王在本周五以收盘价将全部股票卖出，他的收益情况如何？

解：

（1）星期二收盘价为25＋2－0.5＝26.5（元/股）

（2）收盘最高价为25＋2－0.5＋1.5＝28（元/股）

收盘最低价为25＋2－0.5＋1.5－1.8＝26.2（元/股）

（3）小王的收益为：

27×1000（1－5‰）－25×1000（1＋5‰）

＝27000－135－25000－125

＝1740（元）

∴小王的本次收益为1740元。

二、建立方程（组）模型

方程（组）是研究现实世界数量关系的最基本的数学模型，求解此类问题的关键是：

针对给出的实际问题，设定合适的未知数，找出相等关系，但要注意验证结果是否适合实际问题。

例2　（2004年山东省枣庄市中考题）某家庭新购住房需要装修，如果甲、乙两个装饰公司合做，12天可以完成，需付装修费1.04万元；如果甲公司先做9天，剩下的由乙公司来做，还需16天完成，共需付装修费1.06万元。

若只选一个装饰公司来完成装修任务，应选择哪个装饰公司？

试说明理由

解：

设甲公司单独做x天完成，乙公司单独做y天完成。

根据题意，得解之，得。

经检验，是原方程组的解，且符合题意。

设甲公司单独完成装修工程需装修费a万元，乙公司单独完成装修工程需装修费b万元。

则

解之，得

所以，甲公司完成装修工程需21天，装修费0.98万元；乙公司完成装修工程需28天，装修费1.12万元。

从节约时间、节省开支的角度考虑，应选择甲公司来完成此项装修任务。

三、建立不等式模型

现实世界中不等关系是普遍存在的，许多现实问题很难确定（有时也不需要确定）具体的数值。

但可以求出或确定这一问题中某个量的变化范围，从而对所有研究问题的面貌有一个比较清楚的认识。

例3　（2004年河北省中考题）光华农机租赁公司共有50台联合收割机，其中甲型20台，乙型30台。

先将这50台联合收割机派往A、B两地区收割小麦，其中30台派往A地区，20台派往B地区。

两地区与该农机租赁公司商定的每天的租赁价格见下表：

每台甲型收割机的租金

每台乙形收割机的租金

A地区

1800元

1600元

B地区

1600元

1200元

（1）设派往A地区x台乙型联合收割机，租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金为y（元），求y与x间的函数关系式，并写出x的取值范围；

（2）若使农机租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金总额不低于79600元，说明有多少种分配方案，并将各种方案设计出来；

（3）如果要使这50台联合收割机每天获得的租金最高，请你为光华农机租赁公司提一条合理化建议。

解：

（1）若派往A地区的乙型收割机为x台，则派往A地区的甲型收割机为（30－x）台；派往B地区的乙型收割机为（30－x）台，派往B地区的甲型收割机为（x－10）台。

∴y＝1600x＋1800（30－x）＋1200（30－x）＋1600（x－10）＝200x＋74000

x的取值范围是：

10≤x≤30（x是正整数）

（2）由题意得200x＋74000≥79600

解不等式得x≥28由于10≤x≤30（x是正整数）

∴x取28，29，30这三个值。

∴有3种不同的分配方案。

①当x＝28时，即派往A地区的甲型收割机为2台，乙型收割机为28台；派往B地区的甲型收割机为18台，乙型收割机为2台。

②当x＝29时，即派往A地区的甲型收割机为1台，乙型收割机为29台；派往B地区的甲型收割机为19台，乙型收割机为1台。

③当x＝30时，即30台乙型收割机全部派往A地区；20台甲型收割机全部派往B地区。

（3）由于一次函数y＝200x＋74000的值y是随着x的增大而增大的，所以当x＝30时，y取得最大值。

如果要使农机租赁公司这50台联合收割机每天获得租金最高，只需x＝30，此时，y＝6000＋74000＝80000。

建议农机租赁公司将30台乙型收割机全部派往A地区；20台甲型收割机全部派往B地区，可使公司获得的租金最高。

四、建立函数模型

函数应用问题涉及的知识层面丰富，解法灵活多变，是考试命题的热点问题。

解答此类问题，一般都是从建立函数关系入手，将实际问题模型化或结合函数图象来挖掘解题思路。

例4　（2004年安徽南山区中考题）如图，一位篮球运动员跳起投篮，球沿抛物线运行，然后准确落入篮框内。

已知篮框的中心离地面的距离为3.05米。

（1）球在空中运行的最大高度为多少米？

（2）如果该运动员跳投时，球出手离地面的高度为2.25米，请问他距离篮框中心的水平距离是多少？

解：

（1）∵抛物线的顶点坐标为（0，3.5）

∴球在空中运行的最大高度为3.5米

（2）在中

当y＝3.05时x＝±1.5又∵x＞0∴x＝1.5

当y＝2.25时x＝±2.5又∵x＜0∴x＝－2.5

故运动员距离篮球中心水平距离为｜1.5｜＋｜－2.5｜＝4米

五、建立统计模型

统计知识在现实生活中有着广泛的应用，作为学生要学会深刻理解基本统计思想，要善于提出问题，考虑抽样，收集数据，分析数据，做出决策，并能进行有效的交流、评价与改进。

例