巧构二面角高考数学解题模板文档格式.docx
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第一步首先分别在两个平面中找出与交线垂直的直线;
第二步然后运用平移或解三角形的知识求其夹角;
第三步得出结论.
例1.在边长为的正三角形中,于,沿折成二面角后,,这时二面角的大小为.
【变式演练1】【浙江省绍兴市柯桥区2016届高三教学质量调测(二模)数学(理)试题】
(本小题满分15分)如图,以为斜边的等腰直角三角形与等边三角形所在平面
互相垂直,且点满足.
(1)求证:
平面平面;
(2)求平面与平面所成的角的正弦值.
方法二射影法
第一步首先求出其中一个平面的垂线;
第二步然后过垂足作交线的垂线即可得到二面角的平面角;
第三步运用解三角形等相关知识即可求出其大小.
例2.【河北省衡水中学2017届高三上学期第三次调,19】
(本小题满分12分)如图所示,在直三棱柱中,平面侧面,且.
;
(2)若直线与平面所成角的正弦值为,求锐二面角的大小.
【变式演练2】如图,在直四棱柱中,底面为等腰梯形,,,,,分别是棱的中点.
(1)证明:
直线平面;
(2)求二面角的余弦值.
【变式演练3】如图,在三棱锥中,平面,,,,分别在线段,上,,,是的中点.
平面;
(2)若二面角的大小为,求.
方法三空间向量法
第一步首先建立适当的直角坐标系并写出相应点的空间直角坐标;
第二步然后求出两个平面的法向量;
第三步再利用即可得出结论.
例3.如图,在四棱锥中,底面为等边三角形,,为的中点.
(1)求;
(2)求平面与平面所成二面角的正弦值.
例4、如图,已知矩形所在平面垂直于直角梯形所在平面,平面平面,且,且.求二面角的余弦值.
【变式演练4】如图,四棱锥中,,,,,侧面为等边三角形.
(2)求二面角的正弦值.
【变式演练5】如图,在边长为的菱形中,,点分别是边,的中点,,沿将翻折到,连接,得到如图的五棱锥,且.
平面;
(2)求二面角的余弦值.
【变式演练6】如图所示,在四棱锥中,底面四边形为等腰梯形,为中点,平面,.
(2)若直线与平面所成的角为30°
,求二面角的余弦值.
【高考再现】
1.【2016高考新课标1卷】
(本小题满分为12分)如图,在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中,面ABEF为正方形,AF=2FD,,且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是.
()证明:
平面ABEF平面EFDC;
()求二面角E-BC-A的余弦值.
2.【2016高考新课标2理数】如图,菱形的对角线与交于点,,点分别在上,,交于点.将沿折到位置,.
(Ⅰ)证明:
(Ⅱ)求二面角的正弦值.
3.【2016高考山东理数】在如图所示的圆台中,AC是下底面圆O的直径,EF是上底面圆O的直径,FB是圆台的一条母线.
(I)已知G,H分别为EC,FB的中点,求证:
GH∥平面ABC;
(II)已知EF=FB=AC=,AB=BC.求二面角的余弦值.
4.【2016高考天津理数】
(本小题满分13分)
如图,正方形ABCD的中心为O,四边形OBEF为矩形,平面OBEF⊥平面ABCD,点G为AB的中点,AB=BE=2.
(I)求证:
EG∥平面ADF;
()求二面角O-EF-C的正弦值;
()设H为线段AF上的点,且AH=HF,求直线BH和平面CEF所成角的正弦值.
5.【2016高考浙江理数】
(本题满分15分)如图,在三棱台中,平面平面
,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.
()求证:
EF⊥平面ACFD;
()求二面角B-AD-F的平面角的余弦值.
6.【2015高考浙江,理8】如图,已知,是的中点,沿直线将折成,所成二面角的平面角为,则()
A.B.C.D.
7.【2015高考安徽,理19】如图所示,在多面体,四边形,均为正方形,为的中点,过的平面交于F.
(Ⅰ)证明:
(Ⅱ)求二面角余弦值.
8.【2015江苏高考,22】
(本小题满分10分)
如图,在四棱锥中,已知平面,且四边形为直角梯
形,,
(1)求平面与平面所成二面角的余弦值;
(2)点Q是线段BP上的动点,当直线CQ与DP所成角最小时,求线段BQ的长
9.【2015高考重庆,理19】如题(19)图,三棱锥中,平面分别为线段上的点,且
(1)证明:
平面
(2)求二面角的余弦值。
10.【2015高考四川,理18】一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示,在正方体中,设的中点为,的中点为
(1)请将字母标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)
(2)证明:
直线平面
(3)求二面角的余弦值.
【反馈练习】
1.【2016辽宁大连高三双基测试卷,理19】如图,四棱锥中,底面是边长为的菱形,.面,且.在棱上,且,在棱上.
(Ⅰ)若面,求的值;
(Ⅱ)求二面角的大小.
2.【河南省新乡市2017届高三上学期第一次调研测试数学(理)试题】
(本小题满分12分)
如图①所示,四边形为等腰梯形,,且于
点为的中点.将沿着折起至的位置,得到如图②所示的四棱锥.
(2)若平面平面,求二面角的余弦值.
3.【四川巴中市2017届“零诊”,19】(本小题满分12分)如图,在直三棱柱中,是的中点.
(2)若,,,求平面与平面所成二面角的正弦值.
4.【湖南永州市2017届高三第一次模拟,18】
如图1,在的平行四边形中,垂直平分,且,现将沿折起(如
图2),使.
(Ⅰ)求证:
(Ⅱ)求平面与平面所成的角(锐角)的余弦值.
5.【广西南宁二中、柳州高中、玉林高中2017届高三8月联考,19】
(本小题满分12分)如图,三棱柱中,,,平面平面,与相交于点.
6.【河北邯郸2017届9月联考,19】
如图,已知等边中,,分别为,边的中点,为的中点,为边上一点,且,将沿折到的位置,使平面平面.
(Ⅱ)求二面角的余弦值.