分块矩阵在行列式计算中应用1Word格式文档下载.docx

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其中

，，，．

1.2矩阵的运算

进行分块矩阵的加、减、乘法与转置运算时，可将子矩阵当做通常矩阵的元素看待．

加法运算设和为同型矩阵（行数和列数分别相等），若用相同的分块方法，即

，，

其中、是矩阵，，且，，则与可直接相加，即

．

数乘运算设分块矩阵，为任意数，则分块矩阵与的数乘为

乘法运算一般地说，设，，将矩阵、分块，

其中每个是小矩阵，每个是小矩阵，于是有

其中是矩阵，．

应该注意，在进行乘法运算求乘积时，对矩阵、分块要求，矩阵的列的分法必须与矩阵的行的分法一致．

矩阵的乘法不适合交换律，即一般来说，没有．分块矩阵是一类特殊的矩阵，它的乘法同样不适合交换律．

根据上文所述分块矩阵也是一个矩阵，因此有与一般矩阵的加法、数乘、乘法的运算性质相同．不过，分块矩阵运算时应注意以下几点：

（1）进行加法运算时，对应子块的结构需相同；

（2）进行数乘运算时，必须对每一子块都乘以相同的数；

（3）进行乘法运算时，不能随意交换两个相乘子块的顺序．

在具体运算过程中，我们要灵活地分块，目的是使运算更简便．而对于乘法，在矩阵与矩阵相乘时，对的一个分块方式，可以有几种分块方式都可与相乘，同样对的一个分块方式，也是如此．但不论怎样分块，始终坚持相乘的两个矩阵前一个矩阵列的分法与后一个矩阵行的分法一致，因为只有这样乘积才有意义．

例如，已知

我们把分块为

其中为二阶单位阵，这时若只考虑乘法的相容性，可以分块为

、或，

我们可以看到第一种分法中有单位块，而

对于乘法运算显然更加简便，即

设

是一个分块矩阵，那么它的转置为

分块矩阵的转置应遵守如下规则：

（1）的每一块都看成元素，对转置；

（2）对的每一块都转置．

1.3特殊的分块矩阵

形式如

的矩阵，其中是矩阵，通常称为准对角矩阵．

准对角矩阵具有如下性质：

（1）设

，

则有

；

（2）可逆可逆，且

（3）对于两个有相同分块的准对角矩阵

如果它们相应的分块是同级的，那么显然有

，

它们还是准对角矩阵．

与普通矩阵的初等变换类似，分块矩阵的初等变换有三种：

（1）互换分块矩阵二个块行（列）的位置；

（2）用一个可逆矩阵左乘（右乘）分块矩阵的某一块行（列）；

（3）将分块矩阵某一块行（列）的（矩阵）倍加到另一块行（列）．

定义2由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵．

现将某个单位矩阵如下进行分块，

对它进行两行（列）对换；

矩阵的某行（列）乘以行列可逆阵；

某一行（列）乘以矩阵加到另一行（列）上，就可得到如下三种分块初等矩阵：

（1）分块初等对换阵

（2）分块初等倍乘阵

，；

（3）分块初等倍加阵

，．

与初等矩阵和初等变换的关系一样，用上面这些矩阵左乘任一个分块矩阵

只要分块乘法能够进行，其结果就等于对它进行相应的初等变换：

（1）；

（2）；

（3）．

同样，用它们右乘任一矩阵，也有相应的结果．我们通过验证，当用分块初等矩阵左乘（右乘）一个分块矩阵，就相当于对该分块矩阵作了一次相应的分块矩阵的初等行（列）变换．

分块矩阵的初等行（列）变换具有直观的优点，用分块初等矩阵左乘（右乘）一个分块矩阵能得到矩阵间的等式，从而有利于计算矩阵行列式的值．

定义3在一个级行列式中任意选定行列．位于这些行和列的交点上的个元素按照原来的次序组成一个级行列式，称为行列式的一个级子式．当时，在中划去这行列后余下的元素按照原来的次序组成的级行列式称为级子式的余子式．

引理（拉普拉斯定理）设在行列式中任意取定了个行．由这行元素所组成的一切级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式．

定理1设是阶方阵，是阶矩阵，是阶矩阵，则

证明利用拉普拉斯定理，只要将行列式

按后行展开，在其所有的阶子式中，除外至少包含一列零向量，因此它们的值为零．而的余子式为，且位于整个矩阵的第行，第列，即可得

类似地行列式的形式为

时，由行列式的转置值不变，因此仍有

通过上面的定理，我们自然想到，若是将行列式

换成

又会有怎样的结论，它的值等于吗？

定理2设、、均为阶方阵，则

证明将拉普拉斯定理应用于上式的后行，在其所有阶子式中，除外至少包含一列零向量，因此它们的值为零．而的余子式为，且位于整个矩阵的第行，第列，因此

其中，即

定理3是分块阶矩阵，其中为阶方阵，为阶阵，为阶阵，为阶方阵．

（1）若可逆，则；

（2）若可逆，则．

证明

（1）当时，有

两边取行列式可得

（2）当时，有

=．

将定理3中条件特殊化，可得到如下推论．

推论1设、、、分别是，，，矩阵，则有

（2）．

证明

（1）只需在定理3中令，即有

（2）只需在定理3中令，即有

推论2设、分别是，，则有

证明只需在定理3中令，，则有

定理4设、、、都是阶方阵，则

（1）当且时，；

（2）当且时，；

（3）当且时，；

（4）当且时，．

证明由、、、均为阶方阵，当且时，利用定理3得

即

（2）、（3）、（4）类似可得．

定理5设、都是阶方阵，则有

证明根据分块矩阵性质有

定理6设为阶可逆方阵，与均为维列向量，则

证明因

，

（1）

，

（2）

（1）式、

（2）式两边各取行列式，又

从而有