第四章线性方程组的迭代法文档格式.docx
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为了讨论迭代公式（4）的收敛性,我们引进误差向量.
（5）
由（3）和（4）便得到误差向量所满足的方程
（6）
递推下去,最后便得到
（7）
二、迭代法的收敛性
若欲由（4）所确定的迭代法对任意给定的初始向量都收敛,则由（7）确定的误差向量应对任何初始误差都收敛于0.
定义2若
（8）
则称矩阵序列依范数‖·
‖收敛于.
由范数的等价性可以推出，在某种范数意义下矩阵序列收敛，则在任何一种范数意义下该矩阵序列都收敛.因此,对矩阵序列收敛到矩阵，记为
（9）
而不强调是在那种范数意义下收敛.
从定义及矩阵的行（列）范数可以直接推出下面定理.
定理1设矩阵序列及矩阵，则收敛于的充分必要条件为
因此，矩阵序列的收敛可归结为元素序列的收敛.此外,还可以推出下面定理.
定理2迭代法（4）对任何都收敛的充分必要条件为
（10）
定理3矩阵序列收敛于0的充分必要条件为
（11）
证明：
如果,则在任一范数‖·
‖意义下有
而由第六节定理4有
所以必有
反之，若则存在足够小的正数，使,则第六节定理5可知,存在范数使，.于是
因为
所以
定理4：
迭代法（4）对任意都收敛的充分必要条件为
三、迭代法的收敛速度
考察误差向量
设B有n个线性无关的特征向量,相应的特征值为,由
得
可以看出，当愈小时，愈快，即愈快，故可用量来刻划迭代法的收敛快慢.
现在来确定迭代次数k，使
（12）
取对数得
定义3称
（13）
为迭代法（4）的收敛速度.
由此看出,愈小,速度R（B）就愈大，（12）式成立所需的迭代次数也就愈少.
由于谱半径的计算比较困难,因此,可用范数‖B‖来作为的一种估计.
定理5如果迭代矩阵的某一种范数，则对任意初始向量，迭代公式（4）收敛,且有误差估计式
（14）
或
（15）
证明利用定理4和不等式,可以立即证得收敛的充分条件,下面推导误差估计式.
因为方程组的精确解，则
又,则由第六节定理7可知,I-B可逆，且
由于
两边取范数即得
又由于
所以，即
有了定理5的误差估计式,在实际计算时,对于预先给定的精度，若有
则就认为是方程组满足精度的近似解.此外，还可以用第二个估计式（15）来事先确定需要迭代的次数以保证
第二节雅可比迭代法与高斯—塞德尔迭代法
一、雅可比迭代法
设线性方程组
的系数矩阵A可逆且主对角元素均不为零,令
并将A分解成
（2）
从而
（1）可写成
令
其中.（3）
以为迭代矩阵的迭代法（公式）
称为雅可比（Jacobi）迭代法（公式）,用向量的分量来表示,（4）为
其中为初始向量.
由此看出,雅可比迭代法公式简单,每迭代一次只需计算一次矩阵和向量的乘法.在电算时需要两组存储单元,以存放及.
例1用雅可比迭代法求解下列方程组
解：
将方程组按雅可比方法写成
取初始值按迭代公式
进行迭代，其计算结果如表1所示
表1
0
1
2
3
4
5
6
7
0.72
0.971
1.057
1.0853
1.0951
1.0983
…
0.83
1.070
1.1571
1.1853
1.1951
1.1983
0.84
1.150
1.2482
1.2828
1.2941
1.2980
二、高斯—塞德尔迭代法
由雅可比迭代公式可知,在迭代的每一步计算过程中是用的全部分量来计算的所有分量,显然在计算第i个分量时,已经计算出的最新分量没有被利用，从直观上看,最新计算出的分量可能比旧的分量要好些.因此，对这些最新计算出来的第次近似的分量加以利用,就得到所谓解方程组的高斯—塞德（Gauss-Seidel）迭代法.
把矩阵A分解成
（6）其中,分别为的主对角元除外的下三角和上三角部分,于是,方程组
（1）便可以写成
其中
（7）
以为迭代矩阵构成的迭代法（公式）
（8）
称为高斯—塞德尔迭代法（公式）,用量表示的形式为
（9）
由此看出,高斯—塞德尔迭代法的一个明显的优点是,在电算时,只需一组存储单元（计算出后不再使用,所以用冲掉,以便存放近似解.
例2用高斯——塞德尔迭代法求解例1.
取初始值，按迭代公式
进行迭代，其计算结果如下表2
表2
1.04308
1.09313
1.09913
1.09989
1.09999
1.1
0.902
1.16719
1.19572
1.19947
1.19993
1.19999
1.2
1.1644
1.28205
1.29777
1.29972
1.29996
1.3
1.3
从此例看出,高斯—塞德尔迭代法比雅可比迭代法收敛快（达到同样的精度所需迭代次数少）,但这个结论,在一定条件下才是对的,甚至有这样的方程组,雅可比方法收敛，而高斯—塞德尔迭代法却是发散的.
三、迭代收敛的充分条件
定理1在下列任一条件下,雅可比迭代法（5）收敛.
①;
②;
③
定理2设分别为雅可比迭代矩阵与高斯—塞德尔迭代矩阵,则
从而，当
时，高斯—塞德尔迭代法（8）收敛.
由的定义,它们可表示成
用表示维向量,则有不等式
这里,记号｜·
｜表示其中矩阵的元素都取绝对值,而不等式是对相应元素来考虑的,于是
容易验证
所以,及可逆，且
从而有
因此必有
因为已知所以.即高斯—塞德尔迭代法收敛.
若矩阵为对称，我们有
定理3若矩阵正定,则高斯—塞德尔迭代法收敛.
把实正定对称矩阵A分解为
则为正定的,迭代矩阵
设是的任一特征值,为相应的特征向量,则
以左乘上式两端,并由有
用向量的共轭转置左乘上式两端,得
求上式左右两端的共轭转置,得
以和分别乘以上二式然后相加,得
由,得
因为A和D都是正定的,且x不是零向量,所以由（11）式得,而由（12）式得,即,从而,因而高斯—塞德尔迭代法收敛.
定义1设为n阶矩阵.
1①如果
（13）
即A的每一行对角元素的绝对值都严格大于同行其他元素绝对值之和，则称A为严格对角优势矩阵.
2②如果
且至少有一个不等式严格成立,则称A为弱对角优势矩阵.
例如是严格对角优势矩阵，是弱对角优势矩阵.
定义2设是n阶矩阵，如果经过行的互换及相应列的互换可化为,即存在n阶排列矩阵P,使
其中为方阵，则称A是可约的,否则称A为不可约的.
是可约矩阵,意味着可经过若干次行列重排,化为两个低阶方程组,事实上,可化为,记
于是，求解化为求解
可以证明,如果A为严格对角优势矩阵或为不可约弱对角优势矩阵,则A是非奇异的.
定理4如果A为严格对角优势矩阵或为不可约弱对角优势矩阵,则对任意,雅可比迭代法（4）与高斯—塞德尔迭代法（8）均为收敛的.
下面我们以A为不可约弱对角优势矩阵为例，证明雅可比迭代法收敛，其他证明留给读者.
要证明雅可比迭代法收敛，只要证,是迭代矩阵.
用反证法,设矩阵有某个特征值,使得,则,由于A不可约,且具有弱对角优势，所以存在，且
从而
另一方面，矩阵与矩阵A的非零元素的位置是完全相同的，所以也是不可约的,又由于,且A弱对角优势，所以
并且至少有一个i使不等号严格成立.因此,矩阵弱对角优势，故为不可约弱对角优势矩阵.从而
矛盾，故的特征值不能大于等于1，定理得证.
第三节超松驰迭代法
逐次超松驰迭代法（SuccessiveOverRelaxationMethod,简称SOR方法）是高斯—塞德尔方法的一种加速方法，是解大型稀疏矩阵方程组的有效方法之一，它具有计算公式简单，程序设计容易,占用计算机内存较少等优点,但需要较好的加速因子（即最佳松驰因子）.下面我们首先说说松驰一词的含意,再利用它来解释雅可比迭代法与高斯—塞德尔迭代法,最后给出逐次超松驰迭代法的推算公式和收敛性条件.
其中可逆，且对角元素均不为0，如果是
（1）的近似解，一般说来
（2）
不是0，这可理解为“不合格”，把不合格的更换为新的近似解X，希望新的残向量r’“变小”，想实现这一点的简单方法是每一次只把在
（2）中的一个式（例如第i个）中的一个分量进行更换,使新的残向量的第i个分量变成0.这样,我们就说第i个方程被松弛了.一般都把第i个式中第i个元换掉,这相当于求使
（3）
因此，雅可比迭代法将代换为的过程，实际上是对1≤i≤n把
（4）
变为
（5）
的过程（松驰的过程）.
由代换为还可看作是
（6）
而修正量与修正公式可写成为
倘若在修正量之前乘以一个因子，即以第i个分量
为向量作新的近似向量（第k+1次迭代向量）代替原来的就得到所谓带松驰因子的迭代法.注意到,用（8）中的代替（4）中的,一般并不能使
为0，而为
在（8）中取,就是（7）中的,恰好使新的残量为0，这就使第i个方程松驰了；
如，则用代换第i个方程中的将使残量由变成与有不同符号的新残量,于是我们就说第i个方程被松驰过头了（超松驰），或说被修改过分了（超过了使残量正好为0的程度）；
如,则用代换第i个方程中的时,新残量与同号，并且当时，它的绝对值小于之绝对值，于是我们不妨认为第i个方程还松驰得不够（低松驰）或称被修改得不够，不管是超松驰还是低松驰（或）,我们一概都称为超松驰,即时,我们称
为带松驰因子的同时迭代法（公式）.
带松驰因子的同时迭代法用处并不大,讲它的目的只是为了解释迭代,修改和松驰的含意,使我们能容易懂得什么是逐次超松驰法.下面介绍什么是逐次超松驰法.
类似于高斯—塞德尔迭代法，在（11）式中用新的代替旧的可得
称为带松驰因子的逐个法或逐个超松驰迭代法（公式）.显然,（12）式可改写成
（13）
为高斯—塞德尔迭代所得，所以逐
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